Introducción A La Lógica Proposicional Diana Cruz Celis Wilson Giraldo Rodríguez.

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1 Introducción A La Lógica Proposicional Diana Cruz Celis Wilson Giraldo Rodríguez

2 Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es el proceso de razonamiento. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusión. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que clásicamente se ha denominado lógica. LOGICA

3 Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. También podríamos decir que una proposición es una sentencia que expresa una propiedad para un individuo o ente, o que expresa la validez de una relación entre individuos o entes. Por ejemplo: Hoy es sábado. Los triángulos tienen cuatro vértices. 25 + 24 = 49. Juan va al trabajo en tren. Las sentencias exclamativas, las interrogativas y las imperativas tales como: ¡Viva la patria!, ¿Está lloviendo? ´ Oprima la tecla { ENTER } No son proposiciones puesto que no pueden ser declaradas como verdaderas o falsas. La veracidad V o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la proposición Proposiciones

4 En el cálculo proposicional se suelen utilizar letras minúsculas como p, q, r,... para simbolizar las proposiciones. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando lugar a proposiciones compuestas. Los operadores o conectores básicos son: la negación: ¬, la conjunción: ∧, la disyunción: ∨, la disyunción exclusiva: ∨, la implicación: ⇒ y la doble implicación: ⇔ Operadores o conectores lógicos Ejemplo: Consideremos las proposiciones p: “4 es positivo” y q: “√2 es racional”. Algunas posibles combinaciones de p y q son: ¬p : 4 no es positivo. p ∧ q : 4 es positivo y √2 es racional. ¬p ∧ q : 4 no es positivo y √2 es racional. p ∨ q : 4 es positivo o √2 es racional. p ⇒ q : Si 4 es positivo entonces √2 es racional. p ⇔ q : 4 es positivo si y solo sí √2 es racional.

5 Si p es una proposición, simbolizamos con ¬p a su negación. La negación es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el efecto de revertir el valor de verdad. Esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es falsa entonces ¬p es verdadera. EJEMPLO: Si p simboliza la proposición “estamos en la clase de Algebra”, entonces ¬p es “no estamos en la clase de Algebra”. En la siguiente tabla mostramos la relación entre los valores de verdad de p y ¬p: Una tabla de este tipo, en la que se listan simultáneamente los valores de verdad de la proposición p y la que resulta de aplicar un conectivo se llama tabla de verdad. Negación

6 Es un conectivo que permite formar proposiciones compuestas a partir de dos o más proposiciones. Una conjunción de proposiciones es verdadera si y sólo si cada una de ellas es verdadera. Basta que un solo término de la conjunción sea falso para que toda la conjunción sea falsa. En castellano, normalmente la conjunción se expresa por medio de la ’y’, de comas o de una combinación de ´estas, o palabras como ’pero’. Así, por ejemplo, la proposición compuesta “Córdoba tiene sierras y tiene ríos” es verdadera porque cada parte de la conjunción es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposición “Córdoba tiene sierras y tiene mar”. Esta proposición es falsa porque Córdoba no tiene mar. Conjunción La siguiente tabla corresponde a la tabla de verdad de la conjunción: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas aves vuelan y el gato es un ave”, que es obviamente falsa pues los gatos no son aves

7 Existen dos operadores de disyunción: La disyunción exclusiva o excluyente y la disyunción inclusiva o incluyente. La disyunción exclusiva de dos proposiciones es verdadera si sólo una de las proposiciones es verdadera, y la indicamos con el símbolo ∨. La disyunción inclusiva entre dos proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones son falsas y se indica con el símbolo ∨. En el lenguaje coloquial y en matemática es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva, también llamada el “o inclusivo”. A veces el contexto de una frase indica si la disyunción es excluyente o incluyente. Un ejemplo de disyunción de tipo inclusivo es: “Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban dos parciales y tienen un 80 % de asistencia.” En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero por ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se nos dice que tenemos como postre ’helado o flan’ normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyunción exclusiva. Frecuentemente y cuando no es claro en el contexto de la oración se indica que una disyunción es incluyente (excluyente respectivamente) terminando la frase con o ambas (respectivamente pero no ambas). Disyunción

8 Las siguientes tablas resumen los valores de verdad de p ∨ q y p ∨ q:

9 Condicional Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el antecedente (hipótesis) es verdadero y el consecuente (conclusión) es falso, en los demás casos siempre es verdadero. (p = antecedente o hipótesis y q = consecuente o conclusión) Ejemplos: · Es herbívoro si se alimenta de plantas. · El numero 4 es par puesto que es divisible entre 2. · Se llama isósceles siempre que el triangulo tenga dos lados iguales. · Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez. · De salir el sol iremos a la playa. · La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica. · Nuestra moneda solamente si su valor disminuye. Proposiciones condicionales y equivalencias lógicas

10 Sean las proposiciones: p: 3 es un número primo (V) q: 31 es un número par (F) p  q: si 3 es un número primo entonces 31 es un número par (F) Simbólicamente: (p  q) = F NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el antecedente Ejemplo: No jugué porque llegué tarde p: no jugué (consecuente) q: llegué tarde (antecedente) Simbólicamente: q  p Ejemplo:

11 La siguiente tabla corresponde a la tabla de verdad de la condicional:

12 Este operador lógico también se denomina doble implicación. Una proposición bicondicional, es aquella que está formada por dos proposiciones atómicas o moleculares, condicionadas una de la otra, con la característica de que la condición debe cumplirse forzosamente Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “p si y solo si q”. La nueva proposición será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición compuesta será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes. Ejemplos: · Es fundamentalista si y solo si es Talibán. · Habrá cosecha cuando y solo cuando llueva. · Si apruebo el examen de admisión, entonces y solo entonces ingresará a la UT Bicondicional

13 Sea el siguiente enunciado: "Un ser está vivo, si y sólo si, tiene respiración" Donde: p: Un ser está vivo. q: Tiene respiración. Ejemplo. Un ser está vivo, si y sólo si, tiene respiración. Un ser tiene respiración, si y sólo si, está vivo. La siguiente tabla corresponde a la tabla de verdad de la bicondicional:

14 Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de cada una de las variables proposicionales. Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se necesitan 2 2 = 4 valores de verdad en cada columna. En general el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la fórmula 2 n, donde “n” es el número de variables que hay en el esquema molecular o proposición lógica. OBSERVACIÓN - Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, se realiza lo siguiente: n = 2 (2 variables) - Se aplica la fórmula 2 n = 2 2 = 4 - Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2 verdaderos y 2 falsos - En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en este caso, un verdadero y un falso Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor jerarquía. Tabla de valores de verdad

15 Ejemplo: Construye la tabla de verdad de la proposición lógica: ~ (p  q )   (~ p)  (~ q)  Solución: Aplicando la fórmula 2 n = 2 2 = 4 (n=2) porque el número de variables o proposiciones son 2, p y q. En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos, seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un verdadero y un falso, un verdadero y un falso. La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.

16 “Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por v (verdadero)”. Ejemplo Tautología

17 “Se define como la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por F (falso)”. Ejemplo Contradicción

18 “Es la que no es ni tautología ni contradicción, pudiendo tener el valor verdadero o falso en cualquiera de sus componentes” Ejemplo Contingencia o indeterminación

19 Ejercicios Prácticos De Aplicación

20 Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las que llamaremos leyes del álgebra proposicional LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

21 Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de una proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones compuestas. Ejemplo: Simplifica la proposición  (p   q)  (p  q) aplicando las leyes del álgebra proposicional.  (p   q)  (p  q)   (p   q)  (p  q) ……………… Ley condicional (p   q)  (p  q) ……………… Ley de doble negación p  ( q  q) ……………… Ley distributiva p  V ……………… Ley del tercio excluido p ……………… Formas normales

22 Ejercicios Prácticos De Aplicación

23 MODUS PONENDO PONENS (PP) p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa) p “Llueve” (premisa) __________________________________________________ q “Luego, las calles se mojan” (conclusión) El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q). REGLAS DE INFERENCIA

24 ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar. p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” ¬q “Las calles no se mojan” __________________________________________________ ¬p “Luego, no llueve” Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente. MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

25 ¬¬p ↔ p El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así: ¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante” _____________________________________________________ p “Ana es una estudiante” La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado. DOBLE NEGACIÓN (DN)

26 Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción). p “Juan es cocinero” q “Pedro es policía” ___________________________________ p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía” Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado. p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera” ____________________________________________ p “Tengo una manzana” q “Tengo una pera” ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

27 La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos. A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado. p V q “He ido al cine o me he ido de compras” ¬q “No he ido de compras” __________________________________________________________ p “Por tanto, he ido al cine” MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

28 Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado. a “He comprado manzanas” ______________________________________________________________ a V b “He comprado manzanas o he comprado peras” LEY DE LA ADICIÓN (LA)

29 Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero. Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica: p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve” q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve” ______________________________________________________________________ p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve” SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

30 Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla. p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen” p V r “Llueve o la tierra tiembla” ____________________________________________________ q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen” SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

31 Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones. p V q “Helado de fresa o helado de vainilla” p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites” q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites” ____________________________________________________ r Luego, repites SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

32 Ejercicios Prácticos De Aplicación

33 Operación NOT La operación NOT, también llamada Negación, es la operación que implementa el conectivo lógico Negación. Consta de una entrada y una salida. Su salida siempre es la negación de su entrada. Miremos el símbolo de la operación NOT y su tabla de verdad: Aplicación en el procesamiento electrónico

34 Operación OR La palabra OR proviene del inglés que significa «o» y se interpreta como Cualquiera o Todo. Esta compuerta implementa el conectivo lógico Disyunción. Así, su salida es 1 si en sus entradas se cumple una o ambas condiciones. A continuación su símbolo y su tabla de verdad.

35 Operación AND La palabra inglesa AND quiere decir Y. Se interpreta como Todo. Esta compuerta implementa el conectivo lógico Conjunción, de manera que su salida es 1 si en sus entradas se cumplen ambas condiciones. Miremos el símbolo de la operación AND y su tabla de verdad.

36 Operación NOR La operación NOR niega la salida de la puerta OR, es decir, su resultado es inverso al resultado de la operación OR. Suele expresarse como NOR, del inglés NOT OR.

37 Operación NAND Similar a la anterior, la operación NAND quiere decir «NO Y», y viene a negar la operación AND. Esta operación viene siendo también una asociación de la operación AND con la negación del NOT. En otras palabras, viene siendo la complementación de la operación AND.

38 Operación XOR El resultado de la operación XOR es 1, si y solo si, una condición en sus entradas se cumple. Supongamos el siguiente ejemplo con ésta afirmación: «Mañana iré a estudiar o a jugar fútbol». Sin embargo, con tal afirmación cabría hacer las dos cosas, tal como sucede en la lógica de la operación OR. En ningún momento dije que solo haría una de las dos cosas. Ahora bien, especifiquemos un poco más la afirmación: «Mañana iré solamente a estudiar o iré solamente a jugar fútbol». Observe usted que al mencionar «solamente» estoy descartando que pueda ocurrir ambas cosas, y esa es precisamente la función de la operación XOR. De ahí su nombre, Exclusive OR (OR Exclusivo). Por tal razón esta compuerta implementa el conectivo lógico Disyunción Excluyente.

39 Operación XNOR Esta compuerta lógica implementa el conectivo lógico Bicondicional. Así, su salida es 1 si, y solo si, en ambas entradas se cumplen una condición. O si, y solo si, en ambas entradas no se cumplen una condición. De ahí el nombre del conectivo lógico.

40 Ejercicios Prácticos De Aplicación

41 Enunciado abierto Analicemos la expresión “x es el fundador de la lógica” Un enunciado como el anterior se determina como enunciado abierto. Evidentemente se puede notar que, “x” no es el nombre de un individuo en particular tal como lo es “a”; es decir, x no es una constante; x es una variable que puede ser sustituida por cualquier nombre de individuo (en este caso el nombre de una persona) formando así una proposición. La expresión no es una proposición; es un enunciado abierto, porque no se puede asegurar que es verdadero o falso. Cuantificadores En efecto, veamos algunos casos: Si x toma el valor Luis XV, el enunciado quedaría: “Luis XV es el fundador de la lógica”, que es una proposición falsa. Si x es Pitágoras el enunciado quedaría: “Pitágoras es el fundador de la lógica”, que es una proposición falsa. Si x es Aristóteles: “Aristóteles es el fundador de la lógica”, que es una proposición verdadera

42 Se puede observar que el enunciado algunas veces es falso y otras veces es verdadero. Luego, el enunciado se podría escribir: “algún x es el fundador de la lógica”, y se denominará “enunciado particular” Ahora, analicemos el enunciado “x es idéntico a si mismo” Este enunciado es equivalente a “x es idéntico a x” Observe que cualquier nombre que sustituya a x forma una proposición verdadera, pues cualquier individuo es idéntico a si mismo. Por lo tanto, el enunciado se podría escribir “todo x es idéntico a si mismo” y se llamará “enunciado universal”.

43 Los enunciados en los cuales se presentan expresiones tales como algunos (o existe o hay), todo (o siempre o cada) se denominan cuantificador existencial (o particular) y cuantificador universal (o referencial), respectivamente. Ejemplo de enunciados cuantificados: Hay árboles, todos son árboles, algunos números, siempre son números, algunos árboles son maderables, todos los árboles son maderables, hay árboles maderables que tiene flores, los árboles maderables tienen flores. Concepto de cuantificador Notación de enunciados cuantificados Para denotar un enunciado cuantificado se escribe el cuantificador correspondiente seguido del predicado del enunciado cuantificado. El predicado previamente se escribe con letras mayúsculas, seguido de dos puntos; entre comillas se agrega el enunciado afirmativo, utilizando el verbo principal en infinitivo. Los enunciados “algunas flores” y “todas las flores” tienen como predicado F: “ser flor”

44 Tipos de cuantificadores y sus diferencias Cuantificador existencial o particular Ejemplo: Los enunciados 1. Algunos son vegetales 2. Hay flores 3. Existen animales son existenciales o particulares

45 Para simbolizarlos lógicamente se determinan los predicados así: V: “ser vegetal” F: “ser flor” A: “ser animal” Simbólicamente los enunciados quedan como sigue:

46 Cuantificador universal o referencial Los enunciados de la forma: para todo, siempre o cualquiera se denominan enunciados universales o referenciales. Para trascribirlos se utiliza el denominado cuantificador universal y se simboliza con Sea P el predicado y x el elemento indefinido que cumple el predicado Ejemplo: Los enunciados 1. Todos son vegetales 2. Cualquier flor 3. Siempre son animales son referenciales o universales. Simbólicamente los enunciados quedan como sigue: Para simbolizarlos lógicamente se determinan los predicados así: V: “ser vegetal” F: “ser flor” A: “ser animal”

47 Cuando se tiene un enunciado existencial se está afirmando que hay o existen individuos que cumplen la propiedad. Ejemplo, el enunciado “algunas hojas de árboles son de color rojo” se está afirmando que existen hojas de árbol que son de color rojo. Sin embargo, no sucede lo mismo cuando se tiene un enunciado universal no se está asegurando que existan individuos que cumplan la propiedad dada. Por ejemplo, “todas las hojas de árboles son de color rojo”. Este enunciado no está afirmando que existan árboles con hojas; simplemente se está afirmando que cualquiera que sea hoja de árbol deberá ser de color rojo. Diferencias entre los cuantificadores

48 Se llama enunciado compuesto a aquellos enunciados que tienen dos o más predicados Cuantificadores con predicado compuesto Para usar correctamente el cuantificador tenga en cuenta lo siguiente:. Los enunciados particulares utilizan la conjunción como conectivo principal Los enunciados particulares se expresan enlazando los predicados con una conjunción, porque lo atribuido a un predicado también se le atribuye al otro.. Los universales utilizan el condicional como conectivo principal. Los enunciados universales se expresan enlazando los predicados con un condicional, porque lo atribuido al primer predicado es condición suficiente de lo atribuido al segundo predicado.

49 Los enunciados 1 y 2 tienen los siguientes predicados: F:”ser flor” R:”ser roja” El enunciado del numeral 3 lleva los siguientes predicados: H:”ser hombre” T:”tener empleo” D:”ser un delincuente en potencia” La expresión trascrita al lenguaje simbólico es: Ejemplo: Trascriba al lenguaje simbólico los enunciados 1 Hay flores rojas 2 Para toda flor roja 3 Algún hombre sin empleo es un delincuente en potencia Que se leería en lenguaje corriente: “hay un x tal que x es un hombre que no tiene empleo y es un delincuente en potencia”.

50 Para negar un enunciado cuantificado, basta con cambiar el cuantificador y negar la afirmación o predicado. En la negación del predicado deberá utilizar las leyes del álgebra proposicional Negación de cuantificadores Ejemplo: Niegue los enunciados del ejemplo

51 Algunos enunciados cuantificados llevan combinación de cuantificadores que se diferencian por el orden en que se disponen, con el fin de conformar una expresión. Con el propósito de aclarar el significado mediante el simbolismo lógico de cada expresión, se recomienda poner paréntesis. Combinación de cuantificadores Ejemplo: Determine si los siguientes enunciados son equivalentes. “Para todo número racional diferente de cero hay otro racional tal que el producto entre ellos es 1”.. “Hay un número racional diferente de cero que al multiplicarlo por otro racional el resultado es 1”. Para darle solución a este problema se sugiere escribir ambos enunciados en lenguaje simbólico y luego determinar el valor de verdad de cada uno

52 En efecto, escribamos simbólicamente la afirmación del primer enunciado. Ahora, escribamos el segundo enunciado Si analizamos el primer enunciado se puede deducir que este es verdadero, porque basta con multiplicarlo por su inverso multiplicativo a cualquier racional; por ejemplo, 5*(1/5)=1 ó (-12)*(1/(-12))=1; en general, si y= 1/x se tiene que x*(1/x)=1 para todo entero x≠0. En el segundo caso se tiene que es falso, porque no hay un número racional tal que al multiplicarlo por cualquier racional resulte 1; por ejemplo, 5 y 4 son números racionales y 5*4≠1. Efectivamente, los enunciados no son lógicamente equivalentes. Por consiguiente, del anterior ejemplo nos permite concluir que en general

53 Ejemplo: determine el valor de verdad de los siguientes enunciados:. Para todo número real se tiene otro número real que al sumarlos su resultado es cero..Hay números reales que al sumarles cualquier número real resulta cero.

54 Propiedades de los Cuantificadores