DISLOCACIONES & deslizamiento ESTRUCTURA Y COMPORTAMIENTO MECÁNICO J. Gil Sevillano.

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1 DISLOCACIONES & deslizamiento ESTRUCTURA Y COMPORTAMIENTO MECÁNICO J. Gil Sevillano

2 SUMARIO Concepto de dislocación Dislocaciones en medios continuos “Distorsiones” de Volterra Campos de tensiones y deformaciones en medios continuos elásticos Dislocaciones en cristales Dislocaciones perfectas y parciales Convención FS/RH para definir el vector de Burgers Movimientos de dislocaciones Kinks y jogs Cross slip Energía asociada a la dislocación Reacciónes de asociación y disociación de dislocaciones Cross-slip de dislocaciones disociadas Tensión de la línea de dislocación Fuerzas sobre las dislocaciones Creación de dislocaciones Multiplicación de dislocaciones

3 Dislocación: Línea, en el interior de un sólido, a lo largo de la cual hay una discontinuidad de desplazamiento Conexión con el deslizamiento b (vector de Burgers). Si en un sólido se realiza un corte plano por una sección incompleta, se induce un desplazamiento de deslizamiento relativo b de las dos superficies (labios) del corte y se sueldan de nuevo esas dos superficies, la frontera que separa la parte deslizada de la no deslizada constituye una línea de dislocación (el vector b estará contenido en la superficie de la sección deslizada). El movimiento de la línea de dislocación sobre la sección parcialmente deslizada (expansión o contracción del bucle en el caso de que la línea sea cerrada) implica un incremento de deslizamiento. Si una línea de dislocación atraviesa completamente la sección del sólido, éste habrá sufrido un deslizamiento completo de valor b por esa sección.

4 “CARÁCTER” DE LA DISLOCACIÓN Definido por el ángulo que forman el vector de Burgers y la tangente a la línea de la dislocación en un punto Caso general: dislocación mixta Cuña: b  Tornillo: b //

5 Dislocaciones en medios continuos Caso general (Volterra, 1907) Vito Volterra: matemático italiano (1860-1940), realizó aportaciones importantes a las ecuaciones integrales y la biomatemática.

6 Las 6 “distorsiones” de Volterra* Dislocaciones Disclinaciones (*) Ideadas por Volterra para crear tensiones internas arbitrarias en un sólido elástico lineal mediante superposición de defectos lineales

7 El vector de Burgers de una dislocación de Volterra (dislocación en un medio continuo) b   ∂u∂s∂u∂s ds ds es un elemento de un “circuito de Burgers” alrededor de la línea de dislocación u es el vector desplazamiento elástico en el material

8 Campos elásticos asociados a las dislocaciones (elasticidad lineal) De un simple examen del concepto de dislocación se desprende que los campos de tensiones o deformaciones asociados a una línea recta de dislocación de vector de Burgers b en un sólido elástico lineal infinito son, en coordenadas cilíndricas (con el eje z en la dirección y sentido de la línea de dislocación), de la forma:  ij Gbf r 

9 Si b es finito y suponiendo elasticidad lineal, los campos de tensiones y deformaciones asociados a una línea de dislocación son singulares (tienden a infinito al aproximarnos a la línea de dislocación)  ij Gbf r  La aproximación elástica lineal sólo será válida hasta una cierta distancia de la línea de dislocación, r > r 0, a partir de la cual la linealidad elástica no puede aceptarse

10 Dislocación tornillo positiva (vector de Burgers colienal y del mismo sentido que la línea de la dislocación, ) en un material isótropo elástico lineal: zz  Gb 2 r     rr   zz  rr   rz  0 El campo tiene simetría rotacional alrededor de la línea de dislocación. La tensión de cortadura alcanza el valor de la tensión de desestabilización de una red cristalina,  G 10, para r  i b 

11 Dislocación cuña positiva (vector de Burgers perpendicular a la línea de la dislocación y b  r  0  1 ) en un sólido isótropo elástico lineal: rr  Gb 2  (1  ) r cos   rr     − Gb  2  (1 −  ) r sen   zz  − Gb   (1 −  ) r sen   rz  zz  0 −

12 Estados de tensiones alrededor de las líneas de dislocación Tornillo zz  Gb 2 r y Cuñax 

13 Dislocaciones mixtas: Mientras sea aceptable la aproximación elástica lineal, se descompone el vector de Burgers en sus componentes normal y tangencial a la línea de dislocación y se superponen los campos correspondientes a la componente cuña y tornillo de la dislocación

14 Dislocaciones en cristales Taylor*, Orowan** y Polanyi***, 1934 Tratando de explicar los procesos atómicos subyacentes al deslizamiento cristalográfico y, en particular, la observación de deformación plástica en cristales sometidos a tensiones de cortadura mucho menores que la tensión necesaria para el deslizamiento de una red cristalina perfecta (Frenkel, 1927), Taylor, Orowan y Polanyi propusieron independientemente en 1934 que el deslizamiento cistalográfico ocurre mediante el movimiento de dislocaciones cuña sobre los planos de deslizamiento. (*) George Imgram Taylor (1886-1975), nacido en Londres, nieto del matemático Boole. Profesor de investigación en Cambridge, autor de contribuciones muy importantes a la mecánica de flúidos y de sólidos. (**) Egon Orowan (1902-1989), doctor en Física, nacido en Hungría y profesor sucesivamente en Birmingham y Cambridge (UK) y en el MIT (USA). Fue clave en el análisis de las roturas de los barcos Liberty. (***) Michael Polanyi (1891-1976), doctor en Medicina y en Química-física, nacido en Hungría, investigador en Berlín y profesor en Manchester (UK), sucesivamente de Química Física y finalmente de Ciencias Sociales. Padre de J. Polanyi, premio Nobel de Química.

15 Dislocaciones en cristales Si el vector de Burgers de una dislocación en un cristal es un vector de la red cristalina ( dislocación completa ), la red es perfecta salvo en la proximidad de la línea de dislocación (su núcleo). Polanyi, 1934 El movimiento “conservativo” de la dislocación completa produce deslizamiento cristalográfico: la perfección de la red se recupera al paso de la dislocación. El movimiento de una línea de dislocación frecuentemente exige una tensión de cortadura aplicada sobre el plano de deslizamiento mucho menor que la necesaria para el deslizamiento cristalográfico de la red perfecta

16 El deslizamiento por desplazamiento de una línea de dislocación es gradual y ocurre con alteraciones topológicas de la red sólo en el entorno próximo al núcleo (en contraste con el deslizamiento cristalográfico en la red perfecta)

17 Cualitativamente, se comprende bien la facilidad para desplazar una dislocación sobre su plano de deslizamiento: ┴ - Dos posiciones sucesivas de la línea de una dislocación separadas b implican sólo desplazamientos atómicos pequeños - Para cada átomo por delante de la línea de la dislocación que sufre un desplazamiento dado, existe otro situado simétricamente detrás de la línea que sufre un desplazamiento que compensa parcialmente el trabajo necesario para mover el primero (si la “anchura de la dislocación fuese infinita, esa compensación sería exacta y la dislocación se movería por aplicación d euna tensión infinitesimal

18 Las líneas de dislocación en los cristales son visibles por difracción de electrones o de rayos X (la difracción de la red cristalina en la proximidad de la línea de dislocación está perturbada respecto a la de la red perfecta Líneas de dislocación, contraste por difracción Red perfecta, fuera de contraste U. Viena

19 Si el vector de Burgers no es un vector de la red cristalina ( dislocación parcial ), la línea de dislocación delimita un defecto de apilamiento. Su movimiento produce un incremento del defecto de apilamiento, cuya energía superficial habrá que tener en cuenta al computar el trabajo plástico consumido por deslizamiento.

20 TEM. Defectos de apilamiento en un cristal de Si, limitados por dislocaciones parciales. Los defectos de apilamiento cortan las superficies libres de la lámina delgada, por eso los dos situados en la parte inferior de la figura se ven como cintas de anchura constante.

21 Determinación del VECTOR DE BURGERS de una línea de dislocación en un cristal Convención de Frank, FS/RH en la red perfecta: En un circuito alrededor de una línea de dislocación en un cristal, con la convención habitual de giro positivo (en sentido de las agujas del reloj mirando en el sentido positivo atribuído arbitrariamente a la línea de dislocación, i.e., RH (right handed), el vector necesario para cerrar, del punto final al inicial, FS (finish to start), sobre la red perfecta, el circuito equivalente al de la red imperfecta (todo medido en distancias interatómicas). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ [Alternativamente: el vector de cierre desde el punto inicial al punto final del circuito RH de la red imperfecta equivalente a un circuito cerrado en la red perfecta, SF/RH (medido en distancias interatómicas de la red perfecta)]

22 Los hermanos holandeses W. G. y J. M. Burgers (respectivamente, químico e ingeniero) se interesaron en las dislocaciones de los cristales poco después de que las dislocaciones cuña fueran propuestas por Taylor, Orowan y Polanyi en 1934. El primero propuso la dislocación tornillo (en 1939; ) y el segundo dio nombre al “vector de Burgers”.

23 DISLOCACIÓN “CUÑA”

24 DISLOCACIÓN “TORNILLO” z b Convención SF/RH (red imperfecta)

25 Mixed Dislocation (Loop) Atoms from upper and lower part of crystal are again aligned. Positive edge Slipped by 1 b. Positive screw Negative screw Negative Edge

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27 MOVIMIENTOS DE DISLOCACIONES (Y SUS EFECTOS) Movimiento conservativo: deslizamiento Velocidad de deslizamiento de las dislocaciónes y velocidad de deslizamiento cristalográfico: ecuación de Orowan Aniquilación por encuentro de dos dislocaciones coplanares de signo opuesto Cruce de dislocaciones no coplanares: firmación de kinks y jogs Cross-slip Movimiento no conservativo: trepado

28 MOVIMIENTO “CONSERVATIVO” DE UNA DISLOCACIÓN MIXTA Produce deslizamiento cristalográfico

29 Ecuación de Orowan Relaciona la velocidad de deformación por deslizamiento en un sistema con la velocidad del desplazamiento “conservativo” de las dislocaciones móviles de m Γbm vdΓbm vd La velocidad de desplazamiento “conservativo” de las dislocaciones móviles (sobre el plano de deslizamiento, en dirección perpendicular a la línea de dislocación, bajo la fuerza aplicada sobre la línea de dislocación) responde a procesos de activación térmica: vdvd  v0v0 exp − Δ G  RSS kT  densidad volumétrica, correspondientes a ese sistema de deslizamiento: 

30 El desplazamiento de una línea de dislocación ocurre intermitentemente por sucesos térmicamente activados que determinan avances discontinuos de segmentos de la línea. Cada suceso produce un incremento de deslizamiento elemental por avance ℓ de un segmento de línea de longitud media efectiva L ef, que ocurre en un volumen V tras un tiempo de espera promedio t w, recíproco de una frecuencia de activación: t w  vdvd  ΔΓ el Γ  b L eff V Γ

31 INTERACCIÓN DE DISLOCACIONES EN MOVIMIENTO 1. Encuentro de dos dislocaciones coplanares con vector de Burgers de signo opuesto Obviamente, se produce la aniquilación de ambas dislocaciones ┴b┴b −b┬−b┬

32 2. ENCUENTRO DE LÍNEAS DE DISLOCACIÓN NO COPLANARES Al cruzarse, las líneas de dislocación no coplanares se producen mútuamente escalones : KINKS o JOGS, según que el escalón esté sobre el plano de deslizamiento de la línea o fuera de él. V.g., b Los kinks pueden deslizar sobre el plano de deslizamiento de la dislocación original. En algún caso, son esenciales para el desplazamiento de líneas de dislocación (vg., en el movimiento de dislocaiones tornillo en metales BCC a baja T) Los jogs, en general no pueden moverse por deslizamiento.

33 Los kinkspueden controlar la velocidad de deslizamiento de una dislocación cuando tienen más movilidad que los segmentos de la propia línea de dislocación: Avance de una dislocación sobre su plano de deslizamiento mediante el desplazamiento lateral de “kinks”

34 CROSS SLIP Cambio del plano de deslizamiento de una dislocación durante su movimiento conservativo Sólo puede ocurrir para líneas de dislocacion con orientación tornillo* Plano de de cross-slip b Plano primario (*) La dislocación tornillo no tiene un plano propio de deslizamiento (desde un punto de vista cristalográfico)

35 Doble CROSS-SLIP PARA SALTAR UN OBSTÁCULO LEM Onéra

36 Avance de una dislocación perpendicularmente a su plano de deslizamiento ( movimiento no conservativo: “trepado” ) mediante el desplazamiento lateral de “jogs” El movimiento no conservativo exige transporte de materia por difusión

37 ENERGÍA ASOCIADA A LAS DISLOCACIONES (Y CONSECUENCIAS)

38 Energía por unidad de longitud de línea de dislocación en un cristal. Respecto al cristal perfecto, el cristal defectuoso almacena una energía adicional por unidad de longitud de línea de dislocación: E d  E core  E el.lineal Por simulaciones atomísticas: E core  0.1Gb 2 La energía debida a la distorsión elástica lineal asociada a la presencia de la dislocación se obtiene de integrar la densidad de energía elástica en el volumen alrededor de la línea a partir de donde pueda suponerse comportamiento elástico lineal: Gb 2 1cos 2 E  ln el.lineal 4  1 −   R y r 0 son, respectivamente, un radio de corte exterior e interior, el primero ligado a la distancia de influencia de la dislocación (por el tamaño finito de la muestra o por la distancia a otras dislocaciones) y el segundo marcado por la inadecuación de la hipótesis de elasticidad lineal en la proximidad del núcleo de la Dislocación, r  b 0 Rr0Rr0  −−

39 Para situaciones comunesde tamaño de muestra, R, o densidad de dislocaciones R  -1/2 : E  E el.lineal  Gb 2 2 La energía de la dislocación por unidad de distancia interatómica es relativamente grande en términos de kT La nucleación térmica de dislocaciones es irrelevante Las dislocaciones sólo están presentes en configuraciones en equilibrio metaestable o porque cinéticamente su eliminación es inverosímil.

40 Asociación y disociación de dislocaciones Reacción:

41 Ejemplo de a) reacción entre dos dislocaciones no coplanares y b) b) de disolución de la reacción por aplicación d euna tensión crítica ReactionZipping & unzipping LEM-ONERA

42 Creación temporal de un segmento de dislocación por reacción entre dos dislocaciones que se cruzan en su movimiento (interacción atractiva). Es la base del endurecimiento por un “bosque” de dislocaciones (para el movimiento de una dislocación sobre su plano de deslizamiento, debe ir rompiendo todas las uniones que se forman con otras dislocaciones no coplanares (“árboles”) Simulación DDD. LEM-ONËRA (Dislocation Gallery)

43 DISOCIACIÓN DE UNA DISLOCACIÓN EN DOS PARCIALES Ejemplo, FCC: En cristales FCC de baja energía de defectos de apilamiento, las dislocaciones a/2 están disociadas en dos dislocaciones parciales a/6 La anchura de disociación (distancia entre las parciales) depende del valor de la energía de defectos de apilamiento

44 Ejemplo, ZrN: Defecto de apilamiento Pareja de dislocaciones parciales Two-Beam TEM Images of Dissociated Dislocations in ZrN showing visibility of Stacking Faults and Partial Dislocations (U. Virginia).

45 Kinks en dislocaciones parciales en un cristal de Si (HRTEM). Cai et al., 2004.

46 CROSS SLIP DE DISLOCACIONES DISOCIADAS Cambio del plano de deslizamiento de una dislocación disociada durante su movimiento conservativo CS sólo puede ocurrir para líneas de dislocacion de carácter tornillo (-111) Si la dislocación tornillo está disociada, sólo puede cambiar de plano a partir de una estrangulación en que se recombinen las dos parciales (mecanismo de Escaig) (1-11) Modelo de cross-slip de Friedel-Escaig Rasmussen et al, 1997

47 Mecanismo de cross-slip en cristales FCC propuesto por Friedel-Escaig a) Dislocación tornillo disociada en su plano primario b) Constricción puntual (vg., por colisión con un obstáculo puntual c) Disociación y expansión en el plano secundario a partir de la constricción

48 Mecanismo de cross slip en cristales FCC propuesto por Fleischer No requiere constricción. Un segmento de la segunda parcial de la dislocación disociada emite un germen de falla de apilamiento en el plano de cross slip (limitado por una dislocación sésil de tipo stair rod, /6). Su expansión ocurre a costa de la falla sobre el plano original, hasta que la primera parcial se combina con la stair rod y pasa a ser la segunda parcial en el plano de cross slip. El resultado final es similar al del proceso de F-E, pero las simulaciones atómicas indican que éste proceso exige tensiones muy altas y no ocurrirá en condiciones habituales de deformación plástica

49 Cross-slip. Simulación de DM, T. Vegge

50 Cross-slip. MD simulation

51 Una reacción entre disloacciones parciales que bloquea el movimiento de dos dislocaciones disociadas en cristales FCC Formation of Lomer-Cottrell lock junction dislocation by reaction of two glissile dissociated dislocations. A Lomer-Cottrell (LC) junction is formed when two (dissociated) glissile dislocations B-C on plane d = (111) and C-D on plane b = (111) collide and zip along direction AC. The reaction, expressed in Burgers vectors, is BC(d) + CD(b) →  BD 1212  10 11 1212 11 1 00  1212 00 1 11 The resulting dislocation has the same type of Burgers vector (BD = 1/2 [0-1-1]) as the incoming dislocations. But, because it is aligned along direction AC =[011], its glide plane is (100). Es difícil de mover, porque está disociada en dos planos inclinados respecto a su plano (100) de deslizamiento

52 Ésta y otras reacciones atractivas entre las líneas de dislocación móviles con otras dislocaciones móviles o fijas pueden crear uniones temporalmente estables entre segmentos de dislocaciones, dando lugar a Redes tridimensionales de líneas de dislocación En cada nodo de tal red en que confluyen i dislocaciones: ∑i∑i bibi  0

53 TENSIÓN DE LA LÍNEA DE DISLOCACIÓN La energía asociada a la dislocación está concentrada en la proximidad de su línea y de ella se deriva que la dislocación posee una tensión de línea, una fuerza tractiva que la mantiene tensa, de magnitud aproximadamente igual a la energía de línea por unidad de longitud en la dirección de la línea (considérese una extensión virtual de la línea): T T  Gb 2 2 La dislocación, debido a esa tensión de línea, aplica fuerzas tractivas sobre los puntos en que su línea esté anclada

54 La tensión de línea de una dislocación depende del “carácter” de la dislocación, esto es, del ángulo, porque la energía de la línea también depende de él; un segmento recto de dislocación experimenta una tensión tractiva y una fuerza perpendicular a su línea. El segmento tiende no sólo a acortarse para disminuír la energía, sino a girar para cambiar de carácter con el mismo fin. La línea de dislocación libre adopta entonces una forma curva. Una expresión más general de la tensión de línea libre para curvarse hasta lograr el equilibrio es (de Wit-Koehler): T   E   ∂ 2 E∂22 E∂2  Gb 2 11 −  2  3  cos 3 4   1 −    ln Rr0Rr0 La tensión de la región cuña de una dislocación es menor que la de la región tornillo. La región cuña de la línea es más flexible.

55 FUERZAS SOBRE UNA LÍNEA DE DISLOCACIÓN inmersa en un campo de tensiones (fórmula de Peach-Koehler) Por unidad de longitud, bajo una tensión de cortadura reducida al sistema de deslizamiento, se ejerce una fuerza virtual perpendicular a la línea (recta) de la dislocación y paralela al plano de deslizamiento  rss b (se justifica fácilmente considerando desplazamientos virtuales de la línea de dislocación) Id., bajo una tensión normal al extraplano de la dislocación cuña, se ejerce una fuerza virtual perpendicular al plano de deslizamiento de valor  b  En el caso más general, si es el vector unitario en la dirección y sentido de la línea de dislocación sometida a una tensión  ij, F  ij    b 

56 Como cada línea de dislocación tiene un campo de tensiones asociado, las dislocaciones se influyen mútuamente: se atraen o se repelen [Como en el caso general las líneas de dislocación son curvas, cada segmento de una línea influye también en el resto de la propia línea] Igualmente, las líneas de dislocación interaccionan:con los defectos puntuales (átomos en solución sólida o vacantes) y con las superficies libres (“fuerzas de imagen”), etc.

57 Forma de la línea de dislocación La dislocación es una línea tensa Libre de tensiones aplicadas externamente y libre de moverse, adopta la forma recta En equilibrio con una tensión aplicada y libre de moverse, se curva con un radio inversamente proporcional a la tensión Con la aproximación de tensión de línea fija (independiente rd  del carácter de la dislocación), la forma de equilibrio es un arco de círculo de radio r: r  RSS brd  2T2T d2d2 r  T  RSS b  Gb 2  RSS Teniendo en cuenta la influencia del carácter de la dislocación sobre la tensión de línea, la forma de un bucle de dislocación es aproximadamente elíptica (alargado en la dirección del vector de Burgers)

58 Creación de dislocaciones Las dislocaciones: no existen en equilibrio termodinámico (su presencia siempre supone un aumento de energía libre del cristal demasiado grande para ser aportado por fluctuaciones térmicas en tiempos verosímiles). Sin embargo, es muy difícil obtener un cristal perfecto o eliminarlas por completo de un cristal con una densidad inicial de dislocaciones. La nucleación inicial de dislocaciones ocurre al crecer los cristales a partir del líquido o de fase vapor, o de transformaciones en fase sólida. Se trata de nucleación heterogénea. La velocidad de crecimiento de cristales con dislocaciones es mucho mayor que la de cristales perfectos. En particular, el crecimiento ocurre rápidamente creando la rampa en espiral asociada a una dislocación tornillo AFM images of screw-dislocation- generated growth spirals which occur on graphite. Most of the step edges are 6.7 Angstroms high (graphite's unit cell height along [001]), corresponding to a "double step". Arrows point to 3.3 Angstrom steps, which correspond to a single [001] d-spacing. Rakovan & Jaszczak, 2002

59 Grafito. J. A. Jaszczak STM image of growth spiral on scandium nitride (001). Steps between terraces are 1 ScN atomic layer high. Ohio Univ. NSNM Multiatomic layer, spiral-growth steps on a silicon carbide (0001) epitaxial film. NASA Glenn R. C. SiC, Schaffer et al.

60 Screw Dislocation Enhanced Growth or etching of a Diamond-Cubic {111} Surface (e.g., Si) Center 6,580 columns shown out of original 24,947. The screw dislocation geometry alone is incorporated (Burgers vector=3 bilayers). Atomic bonding strongly influences the morphological evolution of the growth spiral. Initial surface has a perfect straight, one-period high shear. Michigan Tech. Univ., D. Woodraska

61 La nucleación mecánica de dislocaciones en una zona perfecta del cristal (nucleación homogénea) exige alcanzar aproximadamente la “Tensión ideal”,  i ≈ G / 10 incluso a temperaturas moderadas. Por ello sólo ocurre en circunstancias muy extremas (en zonas con muy alta concentración de tensiones: intercaras tensionadas, puntas de grieta bajo carga, etc.). Sin embargo, la deformación plástica multiplica fácilmente las dislocaciones a partir de segmentos preexistentes.

62 MULTIPLICACIÓN DE DISLOCACIONES La deformación plástica multiplica fácilmente las dislocaciones a partir de segmentos preexistentes, mediante “fuentes de dislocaciones” Vg., fuentes de Frank-Read por deslizamiento o fuentes de Bardeen-Herring por trepado que se activan para niveles bajos de tensión aplicada.

63 Fuente de Frank-Read Sessile segments Tensión crítica L eff RSS c  Gb 2r  Gb L  

64 Fuente de Frank-Read

65 F-R sources in Al (MD simulation, normal F-R source operation). The two partials move together. V. Bulatov & W. Cai, 2002, LLNL

66 Fuente de F-RFuente espiral LEM, ONERA

67 Fuente de Frank-Read en un cristal de Silicio

68 Robert W. Cahn (Cambridge University), on the discovery of the Frank-Read source “The most remarkable episode of simultaneity that I know of concerns Charles Frank of Bristol, England, (the same man who proposed growth spirals on crystals) and Thornton Read of Bell Labs, and it concerns what came to be called the Frank-Read dislocation source. Frank often visited America in the 1950s; one of his first visits was in 1950. He was supposed to lecture at Cornell University. Arriving early, he was shunted off to amuse himself for a couple of hours in the afternoon while the faculty attended a meeting (an incurable addiction of faculty!). Frank was obsessed at the time by the problem of how multiple dislocations could be generated by a single "source"...a length of dislocation in a network. As he walked around the Cornell campus that afternoon, between 3 and 5, he suddenly saw an analogy between his problem and the spiralling behavior of a dislocation during crystal growth, and the concept of a source that could generate repeated dislocation loops was born. The next day, Frank travelled to Pittsburgh and was introduced to Thornton Read who was attending the same conference on crystal plasticity. To quote Frank's own words many years afterwards at a symposium on the history of solid-state physics (F.C. Frank, Proceedings of the Royal Society (London) 371, p. 136, 1980): "John Fisher brought Thornton Read [to a hotel lobby]. Thornton, as soon as he was introduced to me, said "Frank, there is something I want to tell you" and John Fisher replied, "Frank has something to tell you." So we started talking and we found that we were telling each other what was in all basic principles the same. So I said, "When did you think of that?" and he said, "When I was drinking my tea last Wednesday afternoon about 4 o'clock." I said, "I was walking on the Cornell campus from 3 till 5." Thornton Read said, [the paper has 'John Fisher said,' but that was plainly a typo] "There is only one solution to that, you and I must write a joint publication" (Frank and Read, Philosophical Magazine, 79, p. 722 (1950))”. afterwardsatasymposiumonthehistoryofsolid-statephysics(F.C.Frank,ProceedingsoftheSociety371,p.136,1980):"JohnFisherbroughtThorntonRead[toahotel79,p.722