SISTEMAS NUMERICOS “Introducción a la Programación” Rolando Montero.

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1 SISTEMAS NUMERICOS “Introducción a la Programación” Rolando Montero

2 Introducción ¿Qué sistema numérico usa el computador? Se ha modelado una nueva “realidad”: sólo 1’s y 0’s Si realiza operaciones aritméticas con números válidos en el sistema binario, ¿qué sistema numérico tendrán los resultados de esas operaciones?

3 Sistema Decimal Sistema numérico cuyas posiciones aumentan en potencias de 10 cuanto más a la izquierda se encuentre, teniendo el dígito de menor peso el valor de 0. Estructura de un número decimal: a n *10 n + …+ a 3 *10 3 + a 2 *10 2 + a 1 *10 1 +a 0 *10 0

4 Sistema Decimal 10 n...... 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 Valor posicional de los dígitos. a n....... a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 Número decimal (0 – 9). Ejemplo: 345 = 3 x 10 2 + 4 x 10 1 + 5 x 10 0 = 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1 = 345.

5 Sistema Binario Sistema numérico binario o de base 2, tiene los mismos conceptos que en el decimal, pero en vez de potencias de 10 éstas son de 2. Estructura de un número binario: a n *2 n +..+a 4 *2 4 + a 3 *2 3 + a 2 *2 2 + a 1 *2 1 +a 0 *2 0

6 Sistema Binario 2 n...... 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 Valor posicional de los dígitos. a n....... a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 Número binario (0 – 1). Ejemplo: 1101 =1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = (13) 10

7 Sistema Binario Ejemplo: 1011 8 4 2 1 pesos de los dígitos. 1 0 1 1 Cantidad = 8 + 0 + 2 + 1 = 11. Es decir que el número binario será el resultado de la suma de los estados a nivel lógico "1" de la expresión binaria.

8 Sistemas de numeración Los dígitos “p” siempre debe ser menor a su base “b”, o sea p<b

9 Conversión de Código Código: Conjunto de bits ordenados de acuerdo a un modelo que se emplea para representar información. Conversor de código: Cambia el formato de una información codificada a otro formato de código.

10 Conversión Binario a Decimal En la conversión binario-decimal, debemos tener en cuenta los pesos de los dígitos (basta con sumar los estados que contienen un “1”). Ejemplo: número binario 10111. N=1x2 4 + 0x2 3 + 1x2 2 + 1x2 1 + 1x2 0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23) 10

11 Conversión Binario a Decimal Otra forma más sencilla consiste en escribir los pesos correspondientes a los 5 bits y situar los estados de bit debajo, el resultado será la suma de los pesos de los bits a ¨1¨. 16 8 4 2 1 pesos (1 0 1 1 1) 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = (23) 10

12 Conversión Decimal a Binario Para realizar la conversión, deberemos realizarla mediante la división de N por 2, y el cociente del resultado, deberemos dividirlo también por 2, hasta llegar a un cociente que sea menor de 2. El número binario será el conjunto de los restos de las divisiones y el último cociente, en orden inverso de aparición.

13 Conversión Decimal a Binario Ejemplo: número decimal 58. 58 / 2 = 29 resto: 0 (LSB) ; 29 / 2 = 14 resto: 1 14 / 2 = 7 resto: 0; 7 / 2 = 3 resto: 1 3 / 2 = 1 resto: 1; 1 / 2 = 0 resto: 1 (MSB) => 58 = 1 1 1 0 1 0

14 Conversión Decimal a Binario Ejercicio: Realice las siguientes conversiones: (93) 10 = (…) 2 (135) 10 = (…) 2 (256) 10 = (…) 2 …y viceversa (1011101) 2 (100000000) 2 (10000111) 2 http://forums.cisco.com/CertCom/game/binary_game_page.htm

15 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Se separa la parte entera de la fraccional La parte entera se convierte a binario según el procedimiento habitual. La parte fraccionaria se realiza multiplicando por 2 dicho número. Se considera la parte entera como el número binario resultante (puede ser 0 ó 1).

16 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Si la parte entera resultante es 1, se cambia a cero. La parte fraccionaria del resultado también se multiplica por 2, así como todas las partes fraccionarias de los resultados que vayan apareciendo. El proceso continúa hasta que no haya parte fraccionaria o hasta que la fracción interese.

17 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Las partes enteras de cada uno de los resultados de las multiplicaciones constituyen el número binario.

18 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Ejemplo: número decimal 12,6543. Parte entera 12 / 2 = 6 resto: 0 6 / 2 = 3 resto: 0 3 / 2 = 1 resto: 1 1 / 2 = 0 resto: 1 Parte fraccionaria 0,6543 x 2 = 1,3086 0,3086 x 2 = 0,6172 0,6172 x 2 = 1,2344 0,2344 x 2 = 0,4688 Resultado: 1 1 0 0, 1 0 1 0

19 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Ejercicio: Realice las siguientes conversiones: (32,64) 10 = (…) 2 (24,12) 10 = (…) 2 … y viceversa … (…) 2 = (…) 10

20 Conversión Decimal Fraccionario a Binario Ejercicio: Complete la siguiente tabla, realizando las conversiones que corresponda. BinarioOctalDecimalHexadecimalBase 4 10110110 11000111 11110001 10001111 11111111 11011011

21 Conversión Binario a Hexadecimal En la base hexadecimal tenemos 16 dígitos que van del 0 al 9 y de la letra A hasta la F (estas letras representan los números del 10 al 15). Por lo tanto, contamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Dividir en grupos de 4 bits, empezando de derecha a izquierda. En caso de que el último grupo (el que quede más a la izquierda) sea menor de 4 bits se rellenan los faltantes con ceros. Convertir cada grupo de 4 bits en su equivalente hexadecimal

22 Conversión Binario a Hexadecimal Ejemplo: 101011 Lo dividimos en grupos de 4 bits y nos queda: 10 1011 Rellenando con ceros el último grupo (el de la izquierda): 0010 1011 0010 equivale a 2, mientras que 1011 equivale a B Resultado: 2B h (16=h=hexadecimal)

23 Conversión Hexadecimal a Binario Se toma el primer dígito hexadecimal y se convierte a binario, y luego el segundo, y así sucesivamente hasta completar el número. Ejemplo: 3C h 3 = 0011 C = 1100 Resultado: 11 1100

24 Conversión Hexadecimal a Binario Ejercicio: Realice las siguientes conversiones: (F6) 16 = (…) 2 (4B8) 16 = (…) 2 (11011001001) 2 = (…) 16

25 Ejercicios Convierta los siguientes números decimales a binario: 55 = 49 = Ejecute las siguientes conversiones de base: (1001101) 2 = (...) 8 (32) 6 = (...) 2

26 Ejercicios Determine si las siguientes sentencias son correctas: (1101) 2 = (9) 10 (1101) 2 > (11) 10

27 Conversiones Convertir (10010110) 2 a decimal. Solución: =1*2 7 +0*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =128+16+4+2 =150

28 Conversiones Convertir (10010110) 2 a hexadecimal. Solución: = 1001 0110 = 9 6 (10010110) 2 = 96 h

29 Conversiones Convertir (35) 10 a base 3. Solución: 35/3 = 11 2 11/3 = 3 2 3/3 = 1 0 1/3 = 01 1 35 10 = 1022 3

30 Conversiones Convertir (122) 3 a binario. Solución recomendada: Se convierte primero a decimal y luego a binario = 1*3 2 +2*3 1 +2*3 0 = 9 + 6 + 2 = 17 17/2 = 8 1 8/2 = 4 0 4/2 = 2 0 2/2 = 1 0 1/2 = 0 1 122 3 = 10001 2

31 Conversiones Convertir (142) 10 a hexadecimal. Solución: 142/16 = 8 14 8/16 = 0 8 142 10 = 8E h

32 Conversiones Convertir (110101.1011) 2 a decimal. Solución: Parte entera: 110101 =1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =32+16+4+1 =53 Parte fraccionaria:.1011 =1*2 -1 +0*2 -2 +1*2 -3 +1*2 -4 =0.5 + 0.125 + 0.0625 =0.6875 Final: 53.6875

33 Conversiones Convertir (43.8125) 10 a binario Solución: Parte entera: 43 43 = 101011 Parte fraccionaria: 0.8125 0.8125 * 2 = 1.625 0.625 * 2 = 1.25 0.25 * 2 = 0.5 0.5 * 2 = 1.0 = 0.1101 (43.8125) 10 = 101011.1101 2

34 Conversiones Convertir (25.5) 10 a base 3 Solución: Parte entera: 25 25 = 221 3 (25/3=8, resto 1; 8/3=2, resto 2; 2/3=0, resto 2) Parte fraccionaria: 0.5 0.5 * 3 = 1.5 =.11 (25.5) 10 = 221.1 3