La distribución de Weibull La distribución de Weibull es para una variable aleatoria continua que se utiliza en una variedad de situaciones. Una aplicación.

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1 La distribución de Weibull La distribución de Weibull es para una variable aleatoria continua que se utiliza en una variedad de situaciones. Una aplicación común de la distribución de Weibull es el modelo de la vida útil de los componentes. La distribucion de probabilidad de Weibull tiene dos parámetros, ambos constantes positivas, que determinan la forma y ubicación(o escala). Se indican estos parámetros  y . La distribución de Weibull es para una variable aleatoria continua que se utiliza en una variedad de situaciones. Una aplicación común de la distribución de Weibull es el modelo de la vida útil de los componentes. La distribucion de probabilidad de Weibull tiene dos parámetros, ambos constantes positivas, que determinan la forma y ubicación(o escala). Se indican estos parámetros  y . X ~ Weibull ( ,  ) X ~ Weibull ( ,  )

2 Weibull. La distribución de Weibull X ~ Weibull ( ,  ) X ~ Weibull ( ,  )

3 Weibull La distribución acumulada de Weibull La distribución acumulada de Weibull

4 Weibull. X ~ Weibull ( ,  ) X ~ Weibull ( ,  )

5 Weibull.

6 Weibull

7 Weibull.

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9 La forma en que el valor de β se relaciona con el comportamiento f í sico de los elementos que est á siendo modelado se hace m á s evidente al observar c ó mo sus valores diferentes afectan la confiabilidad y las funciones del porcentaje de aver í as.

10 Si η, aumenta, mientras que β se mantiene constante, la distribución se extiende a la derecha y reduce su altura, mientras que mantiene su forma. Si η, disminuye, mientras que β se mantiene igual, la distribución es empujada hacia la izquierda y su altura aumenta.

11 Weibull La distribución acumulada de Weibull La distribución acumulada de Weibull X ~ Weibull ( ,  )

12 Weibull Se sugiere utilizar una distribucion de Weibull para modelar la duracion de un proceso de horneado. Sea T la duracion en horas del proceso de horneado de una muestra elegida aleatoriamente. Si T ~ Weibull (0.3,10), -Cual es la probabilidad que el proceso de horneado dure mas de 4 horas? -Cual es la probabilidad que dure entre 2 y 7 horas

13 Weibull. X ~ Weibull ( ,  )

14 Weibull.

15 Weibull.

16 Weibull.

17 Weibull.

18 WEIBULL Y CONFIABILIDAD El análisis de Weibull es la técnica mayormente elegida para estimar una confiabilidad. Se caracteriza por considerar la tasa de fallas variables, siendo utilizadas por su gran flexibilidad al poder ajustarse a una gran variedad de funciones de confiabilidad de dispositivos o sistemas. Confiabilidad es la evaluacion de si un sistema funciona adecuadamente bajo las condiciones para las cuales se diseñó.

19 WEIBULL Y CONFIABILIDAD Respuestas que puede proporcionar un análisis weibull: - Tiempo de vida - Tiempo hasta que un mecanismo falle - Probabilidad de fallo en un tiempo determinado - Cuantas fallas se pueden esperar en determinado tiempo - Cuando se debe remplazar una parte existente con una nueva para minimizar costos.

20 La función de probabilidad de este modelo viene dada por: Como se observa depende de 2 parámetros: (  > 0 y β > 0) , es una parámetro de escala β, es un parámetro de forma

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22 La forma en que el valor de β se relaciona con el comportamiento f í sico de los elementos que est á siendo modelado se hace m á s evidente al observar c ó mo sus valores diferentes afectan la confiabilidad y las funciones del porcentaje de aver í as.

23 Si η, aumenta, mientras que β se mantiene constante, la distribución se extiende a la derecha y reduce su altura, mientras que mantiene su forma y ubicación. Si η, disminuye, mientras que β se mantiene igual, la distribución es empujada hacia la izquierda y su altura aumenta.

24 La distribución acumulada de Weibull viene dado por la integración de la función de probabilidad : 0< β<1Tasa fallas disminuyendo β = 1Tasa fallas constante (Distribución exponencial) 1< β<2Tasa fallas incrementando Β=2Distribución lineal Β>2Tasa fallas incrementando

25 La función de densidad de la distribución de Weibull para la variable aleatoria T está dada por la siguiente expresión: Donde, T: Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entre fallas. β: Parámetro de forma (0< β <∞), determina la forma (o perfil) de la distribución. η: Parámetro de escala (0< η <∞), indica la escala de la distribución, es decir, muestra que tan aguda o plana es la función.

26 DISTRIBUCION ACUMULADA DE WEIBULL La funci ó n confiabilidad R (T) de Weibull se determina por la siguiente expresi ó n : La funci ó n fiabilidad F (T) o probabilidad de falla es el complemento de la funci ó n confiabilidad y se define de la siguiente manera: (infiabilidad o tasa de fallos)

27 DISTRIBUCION ACUMULADA DE WEIBULL

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29 Aplicacion: Mnatenimiento en ascensores residenciales

30 Ejemplo: Daño de ascensores Suponga que se tiene una poblacion de 26 ascensores, seis de los cuales han presentado fallas. El tiempo transcurrido antes de la falla (en horas), Ti, fué: 93, 34, 16, 120, 53 y 75. Estimar los valores de los parámetros de una distribución de Weibull (dos parámetros)  Solucion:  Ordenar en forma ascendente los tiempos hasta la falla.

31 La función de densidad de la distribución de Weibull para la variable aleatoria T está dada por la siguiente expresión: Donde, T: Variable aleatoria que, para el caso de la confiabilidad, representa el tiempo entre fallas. β: Parámetro de forma (0< β <∞), determina la forma (o perfil) de la distribución. η: Parámetro de escala (0< η <∞), indica la escala de la distribución, es decir, muestra que tan aguda o plana es la función.

32 DISTRIBUCION ACUMULADA DE WEIBULL La funci ó n confiabilidad R (T) de Weibull se determina por la siguiente expresi ó n : La funci ó n fiabilidad F (T) o probabilidad de falla es el complemento de la funci ó n confiabilidad y se define de la siguiente manera: (infiabilidad o tasa de fallos)

33 DISTRIBUCION ACUMULADA DE WEIBULL

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35  OrdenTiempoRango Medio 11610,94 234 353 475 593 6120 Calculo del rango medio

36  OrdenTiempoRango Medio 11610,94 23426,56 35342,19 47557,81 59373,44 612089,06 Calculo del rango medio

37 Función acumulada de weibull Aplicando logaritmos naturales Propiedad exponencial Aplicando logaritmos naturales

38 OrdenTiempoRango Medio 11610,94 23426,56 35342,19 47557,81 59373,44 612089,06 Calculo del rango medio

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43 η =76,31

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45 Función acumulada de weibull Aplicando logaritmos naturales Propiedad exponencial Aplicando logaritmos naturales

46 Preguntas acerca del riesgo de diferentes fallas: a) Cuantos ascensores podrían fallar antes de 15 horas. #ascensores = 0.093*26= 2.41=3 ascensores.

47 b) Cuantas fallas se podrían esperar en la próxima semana, y cuantas en el próximo mes. Usando la metodología weibull. Asumiendo una utilización diaria de 3 horas se tiene: 3 h/dia * 7 dias= 21 horas #asc=0,15*26= 4 ascensores

48 b) Cuantas fallas se podrían esperar en la próxima semana, y cuantas en el próximo mes.

49  OrdenTiempoRango Medio 11610,94 23426,56 35342,19 47557,81 59373,44 612089,06 Calculo del rango medio

50  Graficar en: PAPEL WEIBULL.

51 Donde, i es el número de orden de fracaso y n es el tamaño de la muestra. Tiempo hasta la falla (hr) Rango medio, % 1610.91 3426.44 5342.14 7557.86 9373.56 12089.10 SOLUCION GRAFICA

52 Para calcular es decir el parámetro de escala, basta con encontrar la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al 63,2% de fallos acumulados. De esta manera se halla el valor de T correspondiente a la estimación de.

53 a) Cuantos ascensores podrían fallar antes de 15 horas. Entramos por el eje X de la grafica y se observa que aproximadamente el 10 % de la población podría fallar. #ascensores = 0.10*26= 3 ascensores.

54 b) Cuantas fallas se podrían esperar en la próxima semana, y cuantas en el próximo mes. Usando la metodología y el grafico weibull. Asumiendo una utilización diaria de 3 horas se tiene: 3 h/dia * 7 dias= 21 horas F(21h)=0,15 #asc=0,15*26= 4 ascensores F(4 semanas)=F(84h)=0,68 #asc=0,68*26= 18 ascensores

55 EVOLUCION DE FALLOS

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60 La distribución acumulada de Weibull viene dado por la integración de la función de densidad : 0< β<1Tasa fallas disminuyendo β = 1Tasa fallas constante Distribución exponencial 1< β<2Tasa fallas incrementando Β=2Distribución lineal Β>2Tasa fallas incrementando

61 EVOLUCION DE FALLOS

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64 Uso del método de los mínimos cuadrados, permitiendo transformar la función de distribución acumulativa en una ecuación lineal de regresión. Función acumulativa de weibull Aplicando logaritmos naturales Propiedad exponencial Aplicando logaritmos naturales La expresión representa una ecuación lineal de la forma De manera similar, Se realiza también la regresión del rango en y

65 Weibull R.V. The probability density function of a Weibull random variable x is [1] :probability density functionrandom variable [1] where k > 0 is the shape parameter and λ >0 is the scale parameter of the distributionshape parameterscale parameter