Permutaciones y Variaciones con elementos repetidos

Presentación del tema: "Permutaciones y Variaciones con elementos repetidos"— Transcripción de la presentación:

1 Permutaciones y Variaciones con elementos repetidos
IIIº Medio 2019 Clase Nº 6

2 Objetivo Comprender el concepto de permutaciones con elementos repetidos. Resolver situaciones de probabilidad utilizando permutaciones y variaciones, valorando la flexibilidad y creatividad en la búsqueda de soluciones.

3 Permutaciones con elementos repetidos
Cuando se tienen “n” objetos que se quieren ordenar, pero dentro de ellos existen elementos iguales entre si, hablamos de una permutación con elementos repetidos o con repetición.

4 Entonces, si dentro del total de n elementos hay uno que se repite “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc. La notación para esta permutación es: nPa,b,c,… ó Pna,b,c… ó nPRa,b,c,… ó PRna,b,c… ¿Cómo será la cantidad de maneras de ordenar estos elementos en comparación con una permutación sin elementos repetidos? ¿Serán o menos formas?

5 Sí, son menos posibilidades, ya que al existir elementos repetidos hay opciones que se repiten.
Ejemplo: ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 6 banderines si de ellos 2 son rojos, 3 verdes y uno morado

6 Variación con repetición
Se denomina variación con repetición al proceso de seleccionar y ordenar “r” objetos de un conjunto de “n”, donde se pueden repetir los elementos. Su notación es: 𝑉 𝑟 𝑛 ó 𝑉𝑅 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟

7 Como las identificamos
𝐶𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑃 𝑛 =𝑛! 𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑃 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑛 = 𝑛! 𝑎!𝑏!𝑐! 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! 𝐶𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛→ 𝑉𝑅 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟 𝑆𝑖𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛→ …

8 Ejemplo ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? n = 5     r = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321 Sí se repiten los elementos.

9 Ejercicios 1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? n = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

10 2. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 3.  Si un equipo de fútbol participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? Respuestas:

11 4. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? 6. En el mástil de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? Respuestas