La teoría de la gravitación universal: una revolución científica

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1 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica
La concepción pitagórica del universo y el modelo aristotélico  La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C.  El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números  A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas  El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta  Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente  El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo  El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números)  Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron Antitierra

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El modelo de Aristóteles  El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas  La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra  Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia  Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos  El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas

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El geocentrismo de Ptolomeo  Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad Paralaje anual de las estrellas fijas Estrella lejana Sol Tierra  ’  Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron: - La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas - Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina paralaje de las estrellas fijas  Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y predi-ciendo eclipses de Sol y de Luna

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El modelo de Ptolomeo. Excentricidad de las trayectorias  Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca Tierra  El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente Luna  Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra t  La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, artificio que denominó ecuante (Ec) Ec Ex  Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria

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El modelo de Ptolomeo. Eclíptica y epiciclos  Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste  Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones  El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra  La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo  Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos

6 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica
Copérnico. Movimiento retrógrado de los planetas  Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol I H G C D F E B A  Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos

7 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica
Galileo  Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano Galileo nació en Pisa en 1564  Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa  En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo  En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo  Un año después fue procesado por la Inquisición

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Las leyes de Kepler. Primera ley  Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico Sol Foco  Perihelio  Afelio  Eje menor  Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas b Eje mayor  Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario  La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio a  La posición más cercana, es el perihelio Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos

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Segunda ley de Kepler 1 de enero  Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita 30 de enero 30 de julio 1 de julio Sol A Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales  El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman. Para un triángulo:  Como en el sistema podemos considerar que no hay fuerzas externas, entonces y por tanto A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es: siendo dA/dt la velocidad areolar

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Tercera ley de Kepler  Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas  Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe  Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas Tercera ley: Los cuadrados del periodo de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (a), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los planetas  Como el sistema solar es un sistema aislado de fuerzas,  = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte  La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas  La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

11 Video leyes de Kepler

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Newton y la gravitación universal  La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro m h R r  Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:  A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como: - la protuberancia de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación - el origen de las mareas - las trayectorias de los planetas - la variación de la gravedad con la altura - el cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

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Aplicaciones de la ley de la gravitación  Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton  En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta (1)  Despejando v resulta: que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M (2)  Como v es aproximadamente constante:  Igualando (1) y (2):  Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites  Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

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Aplicación al cálculo de la masa del Sol Calcula la masa del Sol, sabiendo que la distancia media de la Tierra al Sol es de 1, m Datos: G = 6, Nm2/kg2 ; T = 1 año = 365,25 días  Cálculo del período de la Tierra alrededor del Sol: T = 1 año = 365,25 días/año . 24 (horas/día) . 60 (min/h . 60 (s/min) = s  Aplicación de la 3ª ley de Kepler:  Sustituyendo datos: Msol = 1, kg

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Aplicación al cálculo del período de un satélite Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una distancia del centro igual a tres veces el radio de esta. Sabiendo que la masa de la Tierra es 5, kg, ¿cuál es el período del satélite? Datos: G = 6, Nm2/kg2 ; R = 6370 km 2R  El radio de la órbita es r = 3R  La fuerza de atracción es la fuerza centrípeta, es decir: R FG = Fc  Dado que T = 2, s = 7,3 horas

16 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica
Aplicación al cálculo de la fuerza de atracción sobre una masa Las 3 masas de m1, m2, y m3 de la figura tienen 100 g cada una. La escala de la gráfica está en centímetros. Calcular la fuerza que se ejerce sobre m3 Datos: G = 6, Nm2/kg2  La masa m1 está 0,05 cm de la masa m3 y ejerce sobre ella la fuerza x y m1 m2 m3 X = - 3 X = 2  La masa m2 está 0,02 cm de la masa m3 y ejerce sobre ella la fuerza  En total: FT = F1, 3 + F2, 3 = 1, N  FT = 1, N

17 La teoría de la gravitación universal: una revolución científica
Aplicación al cálculo de la fuerza ejercida sobre cada masa Cuatro masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras Datos: G = 6, Nm2/kg2  Por la geometría de la figura, se cumple que: m 1 m F1 = F2 cuya suma es F’ = F1  La primera fuerza es: y por tanto: F’ = 4 G  La tercera fuerza es: luego: F3 = 2 G  La fuerza total será: FT = F’ + F3  FT = 4 G G = 7,66 G FT = 7,66 G (N) FINAL