Sean

Presentación del tema: "Sean "— Transcripción de la presentación:

1 Sean 𝐴= 1,2 y 𝐵= 3,4 vectores de 𝐸 2
Sean 𝐴= 1,2 y 𝐵= 3,4 vectores de 𝐸 2 . Halle los vectores 𝑃 𝑦 𝑄 para que se cumpla a la vez que 𝐴=𝑃+𝑄, 𝑃 es paralelo a 𝐵 y 𝑄 es ortogonal a 𝐵. Solución: 𝐴=𝑃+𝑄⟺ 1,2 = 𝑎,𝑏 + 𝑐,𝑑 ⟺ 1,2 = 𝑎+𝑐,𝑏+𝑑 Por igualdad entre vectores: ⟺ 𝟏=𝒂+𝒄 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏) 𝟐=𝒃+𝒅 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐) 𝑃∥𝐵 ⟺𝑃=𝑘𝐵 ⟺ 𝑎,𝑏 =𝑘 3,4 ⟺ 𝑎,𝑏 = 3𝑘,4𝑘 ⟺ 𝒂=𝟑𝒌 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑) 𝒃=𝟒𝒌 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟒) 𝑄⊥𝐵 ⟺𝑄⋅𝐵=0 ⟺ 𝑐,𝑑 ⋅ 3,4 =0 ⟺𝟑𝒄+𝟒𝒅=𝟎 (𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟓) Tenemos dados los vectores 𝐴= 1,2 , 𝐵= 3,4 Supongamos que los vectores buscados son 𝑃= 𝑎,𝑏 𝑄= 𝑐,𝑑 de tal manera que, 𝐴=𝑃+𝑄 , 𝑃∥𝐵 , 𝑄⊥𝐵 De esta manera, tenemos 5 ecuaciones con 6 variables, en este caso las variables son 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑘 , veamos cómo hallar las componentes de los vectores 𝑃 y 𝑄 :

2 Debemos resolver el sistema:
𝟏=𝒂+𝒄 𝟐=𝒃+𝒅 𝒂=𝟑𝒌 𝒃=𝟒𝒌 𝟑𝒄+𝟒𝒅=𝟎 Comencemos por eliminar incógnita 𝒌, para esto, tomemos las ecuaciones: Y despejamos 𝒌 de cada una: 𝒌= 𝒂 𝟑 𝒌= 𝒃 𝟒 Igualamos los valores de 𝒌 𝒂 𝟑 = 𝒃 𝟒 De esta forma, tenemos un nuevo sistema de ecuaciones 4𝑥4 formado por: 𝟏=𝒂+𝒄 (ecuación 1) 𝟐=𝒃+𝒅 (ecuación 2) 𝟑𝒄+𝟒𝒅=𝟎 (ecuación 3) 𝒂 𝟑 = 𝒃 𝟒 (ecuación 4) De las ecuaciones 1 y 2 despejamos respectivamente las variables 𝑐 y 𝒅: de la ecuación 1: 𝑐=1−𝑎 de la ecuación 2: 𝑑=2−𝑏 A continuación, reemplazamos los valores de 𝑐 y 𝑑 en la ecuación 3 veamos:

3 𝒃= 𝟒𝟒 𝟐𝟓 𝒂 𝟑 = 𝒃 𝟒 (ecuación 4) 𝟑𝒄+𝟒𝒅=𝟎 (ecuación 3) 𝑎= 3 4 44 25
Ahora sustituimos la ecuación B dentro de la ecuación A: 𝟑 𝟑 𝟒 𝒃 +𝟒𝒃=𝟏𝟏 𝟗 𝟒 𝒃+𝟒𝒃=𝟏𝟏 𝟐𝟓 𝟒 𝒃=𝟏𝟏 𝒃= 𝟒𝟒 𝟐𝟓 Para hallar 𝒂 sustituimos en la ecuación 𝒂= 𝟑 𝟒 𝒃 𝑎= 𝒂= 𝟑𝟑 𝟐𝟓 𝟑𝒄+𝟒𝒅=𝟎 (ecuación 3) 𝒂 𝟑 = 𝒃 𝟒 (ecuación 4) Al reemplazar en la ecuación 3: 3 1−𝑎 +4 2−𝑏 =0 3−3𝑎+8−4𝑏=0 11−3𝑎−4𝑏=0 𝟑𝒂+𝟒𝒃=𝟏𝟏 de la ecuación 4: 𝒂= 𝟑 𝟒 𝒃 𝟑𝒂+𝟒𝒃=𝟏𝟏 (ecuación A) 𝒂= 𝟑 𝟒 𝒃 (ecuación B)

4 𝒄=− 𝟖 𝟐𝟓 𝒅= 𝟔 𝟐𝟓 𝑨=𝑷+𝑸 𝑷∥𝑩 ⟺𝑷=𝒌𝑩 𝑸⊥𝑩 ⟺𝑸⋅𝑩=𝟎 𝑃= 𝑎,𝑏 𝑄= 𝑐,𝑑 obtenemos:
Recordemos que: de la ecuación 1: 𝑐=1−𝑎=1− = −8 25 de la ecuación 2: 𝑑=2−𝑏=2− = 6 25 Entonces, 𝒄=− 𝟖 𝟐𝟓 𝒅= 𝟔 𝟐𝟓 Finalmente, como los vectores buscados son 𝑃= 𝑎,𝑏 𝑄= 𝑐,𝑑 obtenemos: 𝑃= , = 𝟏𝟏 𝟐𝟓 𝟑,𝟒 𝑄= − 8 25 , = 𝟐 𝟐𝟓 −𝟒,𝟑 Te invito a comprobar que para los vectores 𝑃 y 𝑄 encontrados se cumplen las condicionales iniciales dadas: 𝑨=𝑷+𝑸 𝑷∥𝑩 ⟺𝑷=𝒌𝑩 𝑸⊥𝑩 ⟺𝑸⋅𝑩=𝟎