UNIDAD II: CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO.

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1 UNIDAD II: CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO

2 52 PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos básicos de la geometría Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validación empírica.

3 53 APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD DOS. Al finalizar la unidad el alumno: ☺ Reconoce los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas, etc.) ☺ Obtiene de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo, bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y escrita. ☺ Identifica los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta. Establecer los elementos mínimos que se requieren para trazar una circunferencia. ☺ Recuerda la clasificación de ángulos por su abertura (agudo, recto, obtuso, llano) y posición adyacentes, suplementarios, complementarios, opuestos por el vértice). ☺ Reconoce ángulos rectos en cualquier figura que los contenga. ☺ Explica en forma verbal y escrita, los trazos que siguió para realizar una construcción geométrica dada ☺ Identifica y construye segmentos y ángulos congruentes.Recordar la clasificación de triángulos según sus lados y ángulos ☺ Construye un triángulo congruente a partir de otro dado

4 54 ☺ Explica en qué casos es posible construir un triángulo, a partir de tres segmentos dados cualesquiera ☺ Verifica triángulos congruentes haciéndolos coincidir. ☺ Identifica las alturas de un triángulo sin importar la posición que estas tengan ☺ Distingue las características que determinan a cada una de las rectas notables de un triángulo. ☺ Reconoce las diferencias entre unas y otras. ☺ Traza las rectas notables del triángulo ☺ Identifica los puntos notables de un triángulo y podrá explicar cuáles son sus características. ☺ Observa que los puntos notables de un triángulo están alineados. ☺ Identifica cuerdas, radios, secantes y tangentes de una circunferencia. ☺ Construye rectas tangentes a una circunferencia. ☺ Descrie correctamente el procedimiento requerido para realizar una construcción dada. ☺Argumenta, empíricamente, sobre la validez de las construcciones realizadas y explicarlas de forma oral y escrita.

5 55  TEMÁTICA DE LA SEGUNDA UNIDAD CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS 2.1).Construcciones con regla y compás: 2.1.1).Segmentos congruentes 2.1.2).Ángulos congruentes 2.1.3).Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento 2.1.4).Bisectriz de un ángulo agudo. 2.1.5).Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: 2.1.5.1).Que pertenece a la recta. 2.1.5.2).Fuera de ella

6 56 2.2).Triángulos: 2.2.1).Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA). 2.2.2).Desigualdad del triángulo. 2.2.3).Rectas notables en el triángulo: mediatriz, bisectriz, mediana y altura. 2.2.4).Puntos notables de un triángulo: Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro. 2.2.5).Reproducción de un polígono por triangulación. 2.3).Circunferencia: 2.3.1).Rectas y segmentos. 2.3.2).Rectas tangentes a una circunferencia. 2.3.2.1).Desde un punto sobre ella. 2.3.2.2).Desde un punto fuera de ella. 2.3.3).Localización del centro de una circunferencia dada.

7 57 LOS TRES PROBLEMAS FAMOSOS. Tres problemas geométricos interesaron tanto a los griegos de la antigüedad que han pasado de generación en generación a través de los siglos y se han conocido por mucho tiempo como los tres problemas famosos de la geometría elemental. Estos problemas son: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo, y la cuadratura del círculo.

8 58 Se entiende que cada una de las tres construcciones debe de hacerse únicamente con regla, escuadra y compás. Muchos intentos se han hecho para resolver estos problemas. De hecho han atraído la atención de los mejores matemáticos del mundo. Pero todos estos intentos estaban destinados al fracaso, pues fue demostrado en el siglo XIX que su solución es imposible. Esto no significa, sin embargo, que un ángulo no pueda ser trisecado, o que es imposible duplicar un cubo, o construir un cuadrado equivalente a un círculo dado. Si la restricción a regla, escuadra y compás se modifica de manera adecuada, cada uno de estos problemas puede ser rápidamente resuelto.

9 59  ¿QUE ES UNA CONSTRUCCIÓN? Un problema de construcción se plantea de la siguiente manera: de elementos ya construidos (puntos, segmentos, rectas, ángulos, círculos, etc.) otros elementos deben derivarse bajo las siguientes reglas:  Solamente deben usarse ciertos elementos bien definidos. Cada uno de los instrumentos puede usarse de manera previamente determinada. La construcción debe terminarse en un número finito de pasos.  CONSTRUCCIÓN CON REGLA, ESCUADRA Y COMPÁS. Los alcances constructivos de la regla, escuadra y el compás, están caracterizados en los tres postulados de Euclides que se enumeran a continuación:  Puede trazarse una recta de un punto a otro.  Una recta finita puede prolongarse continuamente en una línea recta.  Una circunferencia puede describirse tomando cualquier centro y cualquier distancia.

10 Cada construcción con regla, escuadra y compás consiste en una sucesión de operaciones de las siguientes:  Unir dos puntos por una recta.  Hallar el punto de intersección de dos rectas.  Trazar una circunferencia de radio y centro dados.  Hallar los puntos de intersección de una circunferencia con otra circunferencia o con una recta. Un elemento (punto, recta, circunferencia) se considera conocido si se da desde el principio o si ha sido construido en algún paso previo. También es importante considerar que una vez que se ha logrado hacer la construcción propuesta, se debe verificar, mediante una demostración matemática, que dicha construcción resuelve realmente el problema. 60

11 61  APRENDIZAJES  Realizar los trazos en secuencia didáctica. Pasito a pasito, sin prisa pero con constancia.  Reconocer los elementos de una figura(punto, punto de intersección, líneas rectas, segmentos, semirrectas, etc.).  Obtener de las construcciones, las nociones de: recta, segmento de recta, punto medio, mediatriz, ángulo, bisectriz, circunferencia, perpendicularidad y distancia de un punto a una recta. Los expresará en forma oral y escrita  Identificar los elementos mínimos que se requieren para trazar un segmento de recta.

12 62 Problemas y Ejercicios.Ejercicios. 2.1).Dado el segmento de recta AP, construye un Segmento congruente a él. 2.1.1).Traza el segmento AP Igual a 9 centímetros. 2.1.2).Traza el segmento UB Igual a 11 centímetros. 2.1.3).Se pone una punta del compás en A y la otra en P y se lleva a UB 2.1.4).Con centro en U y con la medida AP, se traza un arco en UB. 2.1.5).Uniendo el punto centro y el punto del arco, resulta ST, que es el segmento congruente al segmento AP.

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14 64 ¿QUE NUMEROS PUEDEN SER CONSTRUIDOS CON REGLA Y COMPAS? No es difícil dar una respuesta inmediata a esta pregunta, los números mas fáciles de representar en la recta numérica son los números naturales, ver figura 2.1.

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16 66 FIGURA 2.3 Veamos ahora como se bisecta un segmento, ver figura 2.3: ☺ Construimos dos circunferencias con centros en los extremos del segmento y de igual radio de tal forma que estas circunferencias se intersecten, ☺ Trazamos la línea determinada por los puntos de intersección de las circunferencias. ☺ El punto donde esta línea corta al segmento original es el punto medio.

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33 83 2.9).Dado el segmento de recta PQ, construir con regla, escuadra y compás su perpendicular bisectriz. 2.9.1).Trazar el segmento PQ = 4 cm. 2.9.2).Con centro en P se traza una circunferencia con radio mayor que la mitad de PQ. 2.9.3).Con centro en Q se traza otra circunferencia, con un radio igual a la primera. 2.9.4).El radio de las dos circunferencias es mayor que la mitad de PQ, las dos circunferencias se intersectan en los puntos R y S. 2.9.5).Se unen los puntos R y S y el resultado es la perpendicular bisectriz del segmento PQ. 2.9..6).Con la regla verificar en la figura que: PR = QR = QS = PS

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41 91 FIGURA 2.20 Ángulo central ACB: Es el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y sus lados cortan en dos puntos a dicha circunferencia.

42 92 2.23).Construir rectas tangentes a una circunferencia escribiendo los pasos a dar, desde un punto de ella y desde un punto fuera de ella. 2.23.1). ¿Qué es una tangente a una circunferencia? Respuesta: 2.23.1). Trazar tangentes a la circunferencia desde cualesquiera de sus puntos. PQ, ST y UV son tangentes desde un punto en la circunferencia FIGURA 2.21

43 93 Une el centro(O) de la circunferencia con el punto de tangencia de cada recta (P, S y V), de tal forma que la unión en cada caso quede como radio de la circunferencia cumpliendo con su concepto principal, e indica ese concepto. 2.23.2). Desde un punto fuera de ella AB y CD son cada una de ellas una tangente a la circunferencia.

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45 95 2.25.3).En la circunferencia que tengas el polígono circunscrito, determina el perímetro del polígono y de la circunferencia, primero midiendo y luego formando una expresión para que verifiques lo que mediste, haciendo el cálculo correspondiente

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