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Ing. Cristian Flores Cálculo 2 - FIOUNaM
TEOREMA DE GREEN El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana C con una integral doble sobre el recinto D que encierra la curva. C Pdx+Qdy= D Q x ` − P y ` dxdy Para el ejercicio 1-a) tenemos la sgte función vectorial: 𝐅 𝐱;𝐲 =𝐲𝐢 −𝐱𝐣 Entonces para resolver la primera parte del teorema (integral de línea) tenemos que: 𝐅 𝐱;𝐲 =𝐲𝐢 −𝐱𝐣 𝐏 𝐐 Ing. Cristian Flores Cálculo 2 - FIOUNaM
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Tenemos que la curva plana C esta definida por: Y X C3 C1 C2 C4 1 -1 𝑑𝑥=0 𝑑𝑦=𝑑𝑡 𝐶 1 : 𝑥=1 𝑦=𝑡 −1≤𝑦≤1 𝑑𝑥=𝑑𝑡 𝑑𝑦=0 𝐶 2 : 𝑥=𝑡 𝑦=1 1≥𝑥≥−1 𝑑𝑥=0 𝑑𝑦=𝑑𝑡 𝐶 3 : 𝑥=−1 𝑦=𝑡 1≥𝑦≥−1 𝐶 4 : 𝑥=𝑡 𝑦=−1 𝑑𝑥=𝑑𝑡 𝑑𝑦=0 −1≤𝑥≤1 Para los límites de integración de “t” hay que mirar la parametrización. Por ejemplo para la curva C1 tomamos y=t con lo cual t estará definida como: −1 ≤ t ≤ 1 Ing. Cristian Flores Cálculo 2 - FIOUNaM
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INTEGRAL DE LINEA La integral de línea para C esta dada por la suma de las integrales de línea de las curvas C1, C2, C3 y C4 C Pdx+Qdy= 𝐶 1 Pdx+Qdy+ 𝐶 2 Pdx+Qdy+ 𝐶 3 Pdx+Qdy+ 𝐶 4 Pdx+Qdy 𝐶 1 Pdx+Qdy= −1 1 t∙0−1dt= −1 1 dt= −𝑡 −1 1 =−1− − −1 =−2 𝐶 2 Pdx+Qdy= 1 −1 1dt−t∙0= 1 −1 dt= 𝑡 1 −1 =−1−1=−2 Suma de C1+C2+C3+C4 -8 𝐶 3 Pdx+Qdy= 1 −1 t∙0+1dt= 1 −1 dt= 𝑡 1 −1 =−1−1=−2 𝐶 4 Pdx+Qdy= −1 1 −1dt−t∙0= −1 1 dt= −𝑡 −1 1 =−1− − −1 =−2 Ing. Cristian Flores Cálculo 2 - FIOUNaM
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Y X C3 C1 C2 C4 1 -1 INTEGRAL DOBLE Ahora planteamos la integral doble para el recinto D: D D Q x ` − P y ` dxdy 𝐅 𝐱;𝐲 =𝐲𝐢 −𝐱𝐣 𝐏 𝐐 Hacemos las derivadas parciales: 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑦 Q x ` 𝑥;𝑦 =− 𝑦 P y ` 𝑥;𝑦 =1 D Q x ` − P y ` dxdy = −1 1 −1 1 −1−1 𝑑𝑥𝑑𝑦=−2 −1 1 −1 1 𝑑𝑥𝑑𝑦= − −2𝑥 −1 1 𝑑𝑦 − −2𝑥 −1 1 𝑑𝑦 = −1 1 −2−2 𝑑𝑦=−4 −1 1 𝑑𝑦 = −4𝑦 −1 1 =−4−4= -8 Se comprueba que la integrales de línea y doble dan el mismo resultado. Ing. Cristian Flores Cálculo 2 - FIOUNaM
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