DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

Presentación del tema: "DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS"— Transcripción de la presentación:

1 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
U.D. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

2 TRABAJO CON PARÁMETROS
U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

3 Recordatorio DISCUSIÓN
Si al reducir la matriz ampliada A/B a la forma triangular aparece alguna fila en la que son nulos todos los elementos, excepto el correspondiente al término independiente, el sistema es INCOMPATIBLE ( No tiene solución). [ h = 0 , j <> 0 ] En caso contrario es sistema es COMPATIBLE (Tiene solución) y se distinguen dos casos: Si el número de filas no nulas en la matriz triangular coincide con el número de incógnitas, el sistema es DETERMINADO. ( Tiene UNA única solución ) Si el número de filas no nulas en la matriz triangular es menor que el número de incógnitas, el sistema es INDETERMINADO. ( Tiene INFINITAS soluciones ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

4 Ejemplo_1 Sea ax + y + z = 3 a 1 1 3 x + ay + z = 3  A/B = 1 a 1 3
x + y + az = a 3 Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda 1 1/a 1/a 3/a 1 1/a 1/a 3/a A/B = 1 a  0 a-1/a 1-1/a 3-3/a 1 1 a /a a-1/a 3-3/a 1 1/a 1/a /a a 0 a-1/a 1-1/a 3-3/a  (a+1)(a-1) a (a-1) 0 1-1/a a-1/a 3-3/a a (a+1)(a-1) 3(a-1) a a 0 0 -a(a-1)(a+2) -3.a(a-1)  a 0 a-1 (a+1)(a-1) 3(a-1) a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

5 ... Ejemplo Discusión: a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3
Si a+2 = 0 el sistema es incompatible, pues 3<>0 Si a+2 = 0  a = -2 Si a <> -2 el sistema es compatible. Si a = 1 Las tres filas son idénticas. Por tanto el rango de A es igual al rango de A/B = 1 El sistema es compatible e indeterminado. Si a <>1 y a <> -2 El sistema es compatible y determinado, pues ran(a)=ran(A/B) = n = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

6 Resolución_1 Para a <> -2 a 1 1 3 0 1 a+1 3 0 0 a+2 3 Por Gauss:
(a+2).z = 3  z = 3 / (a+2) y+ (a+1).3/(a+2) = 3  y = 3 – 3(a+1)/(a+2) = 3/(a+2) a.x + y + z = 3  x = [3 – 3/(a+2) – 3/(a+2)] / a = 3.a/a = 3 Para a = 1 x = 3 – y – z Si a <>1 y a <> -2 Idem para a <> -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

7 Ejemplo_2 Sea x + y + z = 3 1 1 1 3 x + 2y – 3z = 5 1 2 - 3 5
y – 4z = b b Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda A/B =  b b A/B =  Caso 1: b-2 = 0  b=2 b-2 Caso 2: b-2 <> 0  b<>2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

8 Resolución_2 Para b = 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =2 , n= 3
Sistema compatible e indeterminado. x + y + z = 3 y – 4z = 2 Por Gauss: y = z x = 3 – z – y = 3 – z – (2 + 4z) = 1 – 5.z Para b <> 2 Ran (A)=2, ran(A/B) =3 Sistema incompatible. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.