SUPERFICIES CURVAS Prof. Arq. Rubén Darío Morelli Departamento de Sistemas de Representación Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad.

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1 SUPERFICIES CURVAS Prof. Arq. Rubén Darío Morelli Departamento de Sistemas de Representación Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario Secciones planas e intersecciones. Trabajo con sólidos geométricos. Conceptos y procedimientos para su posterior resolución en el sistema CAD Clasificación de las superficies curvas geométricas Superficies de 2º grado: Son las superficies que no pueden ser intersecadas por ninguna recta en más de dos puntos, y sus secciones planas son curvas de 2º grado 1- Cónicas y cilíndricas de directriz circular, elíptica, parabólica o hiperbólica. 2- Hiperbólicas de revolución. 3- Parahiperbólicas. 4- Esféricas. 5- Elípticas alargadas y achatadas. 6. Parabólicas de revolución 7- Hiperbólicas de 2 hojas

2 Cilindro Esfera Cono

3 Superficie cilíndrica de revolución. Generación. Generatriz – g e -Eje de revolución perpendicular al plano de la directriz Directriz - circunferencia g // e

4 Superficie cilíndrica oblicua. Generación. Generatriz g Dirección d Directriz La dirección d es oblicua al plano de la directriz La generatriz se mueve paralela a la dirección d (g // d), manteniéndose apoyada en la curva directriz.

5 Cilindro recto Proyecciones del cilindro Cilindro oblicuo

6 Superficie cónica de revolución. Generación. Generatriz - g MANTO CÓNICO INFERIOR Directriz de centro O Circunferencia e – Eje: Definido por V-O y ┴ al plano de la directriz. O V MANTO CÓNICO SUPERIOR V – Punto fijo llamado Vértice

7 Cono recto. Proyecciones

8 Cono oblicuo. Proyecciones

9 Generatriz Gira alrededor de su diámetro Superficie esférica. Generación. Proyecciones Monge PARALELOS: Cada punto de la generatriz, en su giro alrededor del diámetro vertical, genera una circunferencia llamada “paralelo”. Todos los paralelos son secciones de planos horizontales. El paralelo de máximo diámetro es el que contiene al centro de la esfera y se denomina “ecuador”. El ecuador es el contorno aparente de la proyección I. MERIDIANOS: Las infinitas circunferencias de diámetro vertical que define la generatriz en su giro son los “meridianos” de la esfera. El meridiano contenido en plano frontal, en Sistema Monge, es el “meridiano principal” y es contorno aparente de la proyección II. m” m’ e” e’

10 Secciones planas en cilindro recto. 1- PLANO PARALELO A LA DIRECTRIZ: CIRCUNFERENCIA 2- PLANO PARALELO A LA GENERATRIZ: RECTÁNGULO

11 Secciones planas en cilindro recto 3- PLANO OBLICUO AL EJE: ELIPSE

12 Secciones planas en cono ::: 1/5 PLANO PARALELO A LA DIRECTRIZ: CIRCUNFERENCIA

13 Secciones planas en cono ::: 2/5 PLANO QUE CONTIENE AL VÉRTICE: TRIÁNGULO

14 Secciones planas en cono ::: 3/5 PLANO PARALELO A UNA GENERATRIZ: PARÁBOLA

15 Secciones planas en cono ::: 4/5 PLANO OBLICUO Y CORTANTE A TODAS GENERATRICES: ELIPSE

16 Secciones planas en cono ::: 5/5 1 PLANO PARALELO A DOS GENERATRICES: caso con plano Frontal (paralelo al eje del cono) HIPÉRBOLA

17 Secciones planas en cono ::: 5/5 2 PLANO PARALELO A DOS GENERATRICES: caso con plano proyectante (no paralelo al eje del cono) HIPÉRBOLA

18 Secciones planas en esfera Sección única con cualquier plano secante: CIRCUNFERENCIA DEMOSTRACIÓN DE QUE LA SECCIÓN ES UNA CIRCUNFERENCIA Datos: - plano alfa con sección plana en la esfera - recta (n) perpendicular al plano alfa que pasa por el centro de la esfera Tesis: 1- la sección de alfa es una circunferencia 2- la recta normal al plano que pasa por el centro de la esfera, pasa por el centro de la sección circular. Demostración: - Se eligen dos puntos cualesquiera de la sección: A y B - Se comparan los triángulos que se determinan: ACO y BCO > tienen lado común CO (recta n) > OA=OB por ser radios de la esfera > ambos triángulos son rectángulos en C - Por lo anterior se demuestra que ACO=BCO - > esto implica que AC= BC y por ser puntos cualesquiera, entonces vale para cualquier par de puntos de la sección, por lo tanto AC y BC son radios de una CIRCUNFERENCIA de centro C (se prueba punto 1) -> El centro de la sección y el centro de la esfera determinan la recta (n) perpendicular al plano de la sección (se prueba punto 2).

19 Secciones planas en esfera PROYECCIONES SISTEMA MONGE

20 APLICACIÓN EN INTERSECCIÓNES TÍPICAS DE CILINDRO CON CONO - AutoCAD Intersección de Superficies Curvas MODELADO 3D EN SISTEMA CAD DE LOS SÓLIDOS APLICACIÓN DE OPERACIONES BOOLEANAS 1- UNIÓN 2- SUSTRACCIÓN 3- INTERSECCIÓN > produce el sólido común

21 OPERACIÓN UNIÓN – AutoCAD genera un único sólido de ambos cuerpos Intersección de Superficies Curvas OPERACIÓN DIFERENCIA – AutoCAD genera un vaciado, por sustracción. SÓLIDO COMUN (INTERSECCIÓN)

22 SOBRE LAS VISTAS AUTOMÁTICAS SE HACE LA REFLEXIÓN CRÍTICA TEÓRICA PARA FUNDAMENTAR LAS SECCIONES, VISIBILIDADES, PUNTOS NOTABLES, TANGENCIAS, CAMBIOS DE CURVATURA. SABER EL SIGNIFICADO DE CADA LÍNEA DEL PLANO. VISTAS AUTOMÁTICAS Proyecciones Sistema Monge Proyecciones axo-isométricas

23 PARA PODER REFLEXIONAR Y APRENDER SOBRE LO HECHO, SE DEBE OPERAR CON LA LÓGICA DE LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, QUE ES DIFERENTE AL PROCESAMIENTO QUE HACE EL ORDENADOR. LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA PERMITE INTERACTUAR CON EL SOFTWARE. LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA y el medio analógico Método general de intersección de recta con superficie curva. El plano secante debe provocar una sección “franca”, es decir, una sección fácil de trazar con precisión con instrumentos (circunferencia, triángulo, generatrices) Método general de intersección de superficies. El plano secante debe provocar una sección “franca”, en ambas superficies. El/los punto/s común/es de ambas secciones francas son puntos de la línea de intersección