Tema 5: Distribuciones continuas. Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque.

Presentación del tema: "Tema 5: Distribuciones continuas. Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque."— Transcripción de la presentación:

1 Tema 5: Distribuciones continuas

2 Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque sí en términos “probabilísticos”, es decir, con determinado grado de incertidumbre) y que toma valores en un intervalo. ¿Qué es la función de densidad, en este caso?

3 Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes. 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 Peso % 150 155160165170175180185 20 40

4 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 % 150 155160165170175180185 20 40 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Prob.=%=Area 1 Peso

5 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob.=%=Area ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

6 Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob.=%=Area 150-155 3 155-160 8 160-165 20 165-170 40 170-175 23 175-180 5 180-185 2 100 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

7 Peso % 150 155160165170175180185 20 40 Prob. (muestra) Muestra POBLACION Conocida (DATOS) Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces? ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

8 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Función de densidad y = f(x) 170 Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

9 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Función de densidad y = f(x) 170 Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

10 DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si: 1.- f(x)≥0 para todo valor de x 2.- Se cumple:

11 En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como: ab f(x)

12 IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

13 DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de x nos da la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.

14 La función de distribución cumple: 1.La derivada de la función de distribución, es la función de densidad. 2. Se verifica:

15 MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA MEDIA: Variable discreta: Variable continua:

16 MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

17 MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA DESVIACION TIPICA: Ejemplos/Ejercicios

18 PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS: A. Distribución normal: N(µ,σ) (Pizarra) B. Distribución exponencial: Exp(λ) Función de densidad:

19 B. Distribución exponencial: Exp(λ) µ=1/λ σ=1/λ - Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, etc.) o el tamaño (duración de llamadas, tamaño de yaci - mientos, etc.)

20 C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: dondeson variables aleatorias independientes ypara i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de densidad es:

21 C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Media: n Varianza: 2n Es importante en inferencia estadística

22 C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Está tabulada

23 D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad

24 D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Es SIMETRICA respecto al eje Y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadística

25 D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Está tabulada Es importante en inferencia estadística

26 E. Distribución F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Chi-cuadrado con n 1 grados de libertad Chi-cuadrado con n 2 grados de libertad

27 E. Distribución F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Está tabulada

28 Uso práctico de las tablas de Chi-cuadrado, t de Student y F de Snedecor: PIZARRA