Experimento aleatorio  Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado, a pesar de conocer las condiciones en las que se realiza.  Para.

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2 Experimento aleatorio  Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado, a pesar de conocer las condiciones en las que se realiza.  Para estudiar un experimento aleatorio tenemos que determinar el conjunto de resultados posibles, a cada uno de ellos los llamamos suceso elemental. Al conjunto de resultados posibles lo llamamos espacio muestral. lo representamos por la letra E o por la letra griega Ω.

3 Experiencias aleatorias Determinista Su resultado es predecible de antemano. En idénticas condiciones, se obtiene el mismo resultado Lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración. Aleatoria Su resultado no se puede predecir, depende del azar, aunque se repita en idénticas condiciones Lanzar un dado y anotar el número obtenido.

4 Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. El mismo espacio muestral es un suceso llamado suceso seguro y el conjunto vacío, Ø, es el suceso imposible.

5 Para obtener el espacio muestral se puede utilizar alguna de estas técnicas:  Construir una tabla de doble entrada, si se combinan dos experimentos simples.  Hacer un diagrama de árbol, más útil si se combinan dos o más experimentos simples. Observa que si el primer experimento tiene m resultados distintos y el segundo n, el número de resultados para la combinación de ambos experimentos es m·n.

6 Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

7 Calcula las posibilidades mediante un diagrama de árbol: a)En un equipo de fútbol- sala disponen para jugar de pantalones blancos o negros, y de camisetas rojas, azules o verdes. ¿De cuántas maneras se pueden vestir para un partido? 6 resultados

8 Calcula las posibilidades mediante un diagrama de árbol: a)Se tira una moneda y un dado, ¿cuáles son los resultados posibles? 12 resultados

9 TIPOS DE SUCESOS

10 ¿Qué es el suceso elemental?  Es aquel que esta formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento y es uno de los elementos que forman el espacio muestral.  Ejemplo:  Al lanzar un dado tenemos sucesos elementales de : [1], [2], [3], [4], [5] y [6].

11 ¿Qué es el suceso compuesto ? Es aquel que esta formado por dos o mas sucesos elementales, es un subconjunto de sucesos elementales. Ejemplo: Lanzamos un dado y queremos que salga un numero par, este suceso es un numero par es un suceso integrado por 3 sucesos elementales que son el :2,4 y 6

12 ¿Qué es el suceso compatible?  Los Sucesos Compatibles o Eventos Compatibles son aquellos que tienen sucesos elementales en común.sucesos elementales  Ejemplo:  Al tirar un dado, que salga un número par y mayor que 3.  Suceso A = salir un número par = {2, 4, 6}  Suceso B = salir un número mayor que 3 = {4, 5, 6}  Sucesos elementales comunes = { 4, 6 }

13 Los Sucesos Incompatibles o Eventos Incompatibles son aquellos que no tienen en común sucesos elementales. Ejemplo:  Al tirar un dado que salga un número par y que salga un número impar:  Suceso A = salir un número par = {2, 4, 6}  Suceso B = salir un número impar = {1, 3, 5}  Ambos sucesos no tienen sucesos elementales en común, por lo que son incompatibles ¿Qué es el suceso incompatible?

14  Dos sucesos A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.  EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA, SIN REPOSICION. SON DEPENDIENTES ¿Qué es el suceso dependiente?

15  Dos sucesos A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no  AL LANZAR DOS DADOS LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES ¿Qué es el suceso independiente?

16 OPERACIONES CON SUCESOS Con los sucesos de un espacio muestral también se pueden hacer operaciones. Las operaciones básicas con sucesos de un espacio muestral son: la unión, la intersección, la diferencia y el complementario de un suceso. Las tres primeras involucran a 2 o más sucesos y la última sólo a uno de ellos.

17 UNIÓN  Llamamos unión de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A o en B. Lo representamos por AUB.  El suceso AUB se cumple si se cumplen A o B.

18 Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∪ B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A ∪ B = {2, 3, 4, 6}

19 INTERSECCION  Llamamos intersección de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A y B a la vez. Lo representamos por AB.  El suceso AB se cumple si se cumplen simultáneamente A y B.

20 Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∩ B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A ∩ B = {6}

21 DIFERENCIA  La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.  Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

22 Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

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24 Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular A. A = {2, 4, 6} A = {1, 3, 5}

25 CONJUNTO POTENCIA.  CONCEPTO: El conjunto potencia de A, o un conjunto potencia de A, es un conjunto que tiene todos los subconjuntos de A.  Un conjunto se lo puede representar usando llaves {} y dentro de ellas los elementos del conjunto.  Lo representamos por P(Ω) o P(A).

26 Ejemplo:

27 Factorial de un número natural  Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.  EJEMPLO :  Calcular el factorial de 5.

28 Teoría combinatoria Variaciones Combinaciones Permutaciones Variaciones con repetición Combinaciones con repetición  No entran todos los elementos.  Si importa el orden.  No se repiten los elementos. Permutación con repetición  No se repiten los elementos.  No entran todos los elementos.  No importa el orden.  Si entran todos los elementos.  Si importa el orden.  No se repiten los elementos.  No entran todos los elementos si m>n.  Si importa el orden.  Si se repiten los elementos.  Si entran todos los elementos.  Si importa el orden.  Si se repiten los elementos.  No se repiten los elementos.  No entran todos los elementos.  Si importa el orden.

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30 Variaciones sin repetición

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32 Variaciones con repetición

33 Variación con repetición

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35 Permutación ordinaria

36 EJEMPLO:

37 Permutación con repetición:

38 EJEMPLO:

39 PERMUTACIONES CIRCULARES  Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones.  Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

40 EJEMPLO: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

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42 Combinaciones sin repetición

43 EJEMPLO: En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Tenemos en cuenta que :  No entran todos los elementos  No importa el orden: Juan, Ana o Ana, Juan  No se repiten los elementos.

44 Combinaciones con repetición  Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en r (n ≥ r), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:  No entran todos los elementos  No importa el orden  Sí se repiten los elementos

45 EJEMPLO:  En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?  No entran todos los elementos. Sólo elije 4  No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís  Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

46  La probabilidad de un suceso, S, indica el grado de posibilidad de que ocurra dicho suceso. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y 1, y lo escribimos P(S).  Si P(S) está próximo a 0 el suceso es poco probable y será más probable cuanto más se aproxime a 1, que es la probabilidad del suceso seguro, P(E)=1.  La regla de Laplace  La probabilidad de un suceso cualquiera A, se puede calcular mediante la Regla de Laplace, según la cual basta contar, y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A y el nº de sucesos elementales del espacio muestral.

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48  0≤P(A)≤1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1.  P(E)=1, P(Ø)=0. La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible 0.  La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es P(AUB)=P(A)+P(B).  La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles A y B es la suma de sus probabilidades menos la de su intersección: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

49 P(A)=0,4 P(B)=0,2 P(AB)=0,6 P(AB)=P(A)+P(B) P(A)=0,4 P(B)=0,5 P(AB)=0.2 P(A)=0,7 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A)=0,4 P( A’ )=0,6 P( A’ )=1 – P(A)

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51 Cuando se producen sucesos consecutivamente de un espacio muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones: -Los sucesos son independiente s entre sí, de manera que no influyen uno en el otro. -Los sucesos son dependientes donde cada suceso está condicionado por el resultado del anterior. Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B, se dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada, expresado como P (B / A), cuyo valor es:

52 En una clase de COU el 45% de los estudiantes suspende Matemáticas, el 60% suspende física y el 30% suspende ambas. Se selecciona al azar un alumno: a) Si suspendió Física ¿Cuál es la probabilidad de que suspendiera Matemáticas? b) Si suspendió Matemáticas ¿ Cuál es la probabilidad de que suspendiera Física? Solución Sea A = “suspende Matemáticas” y B = “ suspende Física” p(A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A  B) = 0,30 a)p(A/B) = 0,30/0,60 =1/2; b)p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3

53 EJEMPLO

54 Se llama experimento aleatorio compuesto al que resulta de la realización varios experimentos aleatorios simples. En general, a un experimento compuesto se asocia una probabilidad compuesta, también llamada probabilidad producto y expresada como P (A  B) o, simplemente, P (AB). Sucesos dependientes P (A  B ) = P (A) × P (B/A) Sucesos independientes P (A  B) = P (A) × P (B) Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva de cartas o de bolas de una urna,..., en estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacar la siguiente o no.

55 Supongamos que tenemos una urna con 5 bolas rojas y 4 bolas negras y que extraemos dos bolas, esto lo podemos hacer de tres formas: Calcular la probabilidad de que las dos sean rojas.

56 Supongamos que tenemos una urna con 5 bolas rojas y 4 bolas negras y que extraemos dos bolas, esto lo podemos hacer de tres formas: Calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas una sea roja y la otra negra:.