Ingeniería de Sistemas Ingeniería de Sistemas Docente: M.Sc. Ing. Nieves Soledad Vásquez Perales 1.

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1 Ingeniería de Sistemas Ingeniería de Sistemas Docente: M.Sc. Ing. Nieves Soledad Vásquez Perales 1

2 En el libro de Ackoff y Sasieni, “Investigación de Operaciones”, 1994: “La Investigación de Operaciones (IO) es la aplicación del método científico por equipos interdisciplinarios a problemas que comprenden el control de sistemas organizados hombre- máquina, para dar soluciones que sirvan mejor a los propósitos de 2 la organización como un todo”.

3 En el libro de Shamblin y Stevens, “Un Enfoque Fundamental”, 1991: “La Investigación de Operaciones es un enfoque científico de la toma de decisiones”. En el libro de Winston llamado Investigación de Operaciones, “Aplicaciones y Algoritmos 2ª edición”, 1994: “Planteamiento científico a la toma de decisiones que busca determinar cómo diseñar y operar mejor un sistema, normalmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos”. 3

4 En los siglos XVII y XVIII, matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y Lagrange, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones. El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal (PL) y la potencialidad que de ellos se deriva. 4

5 El matemático Gaspar Monge (1746-1818), en 1776 se interesó por problemas de PL. En 1939 el matemático ruso Leonidas Vitalyevich Kantarovitch publica la monografía: “Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción”, donde explica a una teoría matemática precisa conocida actualmente como programación lineal. 5

6 En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado por Koopmans y Kantarovitch, donde se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch. Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal, conocido actualmente como el problema de la dieta. 6

7 La primera actividad de IO se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Inglaterra, donde la Administración Militar convocó a un grupo de científicos de distintas áreas del conocimiento para tomar decisiones con respecto a la mejor utilización del material bélico. El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). [Ver vídeo: Historia de la IO.mp4] 7

8 Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias. 8

9 En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en E.E.U.U. se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal. 9

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11 Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones. Antes de la aplicación de la IO en una organización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de las interrelaciones que existen entre los componentes del sistema. Mejora la coordinación entre los múltiples componentes de la organización. En otras palabras, la IO genera un mayor nivel de ordenación. 11

12 Mejora el control del sistema. Al hacer que éste opere con costos más bajos, con interacciones más fluidas y logrando una mejor coordinación entre los elementos más importantes de todo el sistema. 12

13 Recursos Humanos Recursos Financieros Planes de Marketing OPTIMIZA: Procesos de Producción Asignación de Recursos Distribución de Productos … 13

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15 Determina las unidades a producir, a partir de una disponibilidad en tiempo y materia prima. Determina el correcto sistema de distribución de los productos desde las fábricas (origen) hacia las sucursales (destinos). 15

16 Elabora un plan de producción, balanceando la oferta y la demanda, de manera que se satisfaga adecuadamente las variables que intervienen en los mismos procesos para así aumentar la utilidad y producción. 16

17 Arte de Modelar ¿Qué es un modelo? ¿Qué es un modelo? Un modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de una situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. 17

18 Ejemplo teórico: Área: Área: Aplicación al ámbito de la salud. Problema a resolver: Problema a resolver: Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud. Fases de construcción del modelo: 1)Definir las categorías de enfermos (en función de sus necesidades y respuestas a un determinado tratamiento). 2)Definir un conjunto de servicios (obtener una clasificación de acuerdo a las necesidades de los enfermos y con la disponibilidad de recursos). 3)Planificar y asignar los recursos (asignar los servicios entre las distintas categorías de enfermos a lo largo del tiempo). 18

19 Ejercicio en clase 1: En base al ejemplo planteado, proponer un modelo teórico de su entorno. Área: Área: ……………………….. Problema a resolver: Problema a resolver: ………………………….. Fases de construcción del modelo: 1)………………………………………………. 2)......................................................................... 3)………………………………………............. 19

20 Si bien los modelos de IO presentan naturaleza matemática, se tiende a pensar que un estudio de investigación de operaciones está inmerso en un análisis matemático. Sin embargo, en algunos casos se puede obtener una solución de “sentido común” mediante observaciones sencillas. 20

21 Ejemplo: Al atender quejas sobre la lentitud de los elevadores en un gran edificio de oficinas, el equipo de IO percibió la situación en principio como un problema de línea de espera que podría requerir el uso del análisis matemático o la simulación de colas. 21 Después de estudiar el comportamiento de las personas que se quejaron, el psicólogo del equipo sugirió que se instalaran espejos de cuerpo completo a la entrada de los elevadores. Las quejas desaparecieron, ya que las personas se mantenían ocupadas observándose a sí mismas y a las demás mientras esperaban el elevador.

22 El anterior ejemplo demuestra que antes de aventurarse en un complicado modelado matemático, el equipo de IO debe explotar todas las posibilidades de manera que permita utilizar ideas para resolver la situación. La solución del problema de los elevadores instalando espejos, se basó en la psicología humana más que en un modelado matemático. 22

23 El objetivo de la Programación Lineal (PL) es optimizar (maximizar o minimizar) en variables reales con restricciones lineales. Para implementar la PL en la práctica, las principales fases son: 1)Problema a Resolver. 2)Construcción del modelo. 3)Solución del modelo. 4)Validación del modelo. 5)Implementación de la solución. 23

24 En general, la Programación Lineal se plantea así: Variables de decisión: Son las variables que se pretende determinar Función Objetivo (F.O.): Es el objetivo (o meta) que se desea optimizar (maximizar o minimizar). Sujeto a las siguientes restricciones (s.a.): Son las restricciones que la solución debe satisfacer. 24

25 Planteamiento de modelos en P.L. Problema 1. La fábrica de Tejidos “Sánchez” requiere fabricar dos tejidos de diferente calidad. Se dispone de 300 Kg. de lana tipo A, 200 Kg. de lana tipo B y 100 Kg. de lana tipo C. Para obtener un metro de Tejido Tipo 1 por día se necesitan 90 gr. de A, 80 gr. de B y 70 gr. de C. Para producir un metro de Tejido Tipo 2 por día se necesitan 60 gr. de A, 40 gr. de B y 20 gr de C. El Tejido Tipo 1 se vende a $30 el metro y el Tejido Tipo 2 se vende a $40 el metro Si se desea obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de cada tipo de tejido se deben fabricar? Plantear el problema como un modelo de P.L. 25

26 Resolución (Modelo): Previamente se elaborará un cuadro de ayuda para el problema: Para resolver el problema, las cantidades deben estar en una misma unidad gr. o Kg. (Se transformará en los gramos en Kg.) 26 Cant. requerida x tipo de Tejido en gr.Disponibilidad de lana (Kg) Tejido de tipo 1Tejido Tipo 2 Lana Tipo A9060300 Lana Tipo B8040200 Lana Tipo C7020100 Utilidad x m ($) 3040

27 Resolución (Modelo): La tabla final de ayuda convertido en Kg. es la siguiente: 27 Cant. requerida x tipo de Tejido en Kg.Disponibilidad de lana (Kg) Tejido de tipo 1Tejido Tipo 2 Lana Tipo A0.0900.060300 Lana Tipo B0.0800.040200 Lana Tipo C0.0700.020100 Utilidad x m ($) 3040

28 Resolución (Modelo): Variables de decisión: ( Se plantean a partir de la pregunta del problema) X 1 : Cantidad de metros de tejido tipo 1 a fabricar. X 2 : Cantidad de metros de tejido tipo 2 a fabricar. Función Objetivo (F.O.): (Se plantea generalmente a partir de los costos o beneficios que se desea optimizar.) Utilidad para el Tejido de Tipo 1 = 30X 1 Utilidad para el Tejido de Tipo 2 = 40X 2 Maximizar Z = 30X 1 + 40X 2 28

29 Resolución (Modelo): Sujeto a las siguientes restricciones (s.a.): (Se plantean a partir de los requerimientos y disponibilidad de recursos) 0.090 X 1 + 0.060 X 2 ≤ 300 0.080 X 1 + 0.040 X 2 ≤ 200 0.070 X 1 + 0.020 X 2 ≤ 100 X 1, X 2 ≥ 0 (restricción de no negatividad) La restricción de no negatividad implica que las variables no deben ser negativas. 29

30 Problema 2. Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema. Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla optima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. 30 Tn. de materia prima por Tn. deDisponibilidad diaria máxima (Tn.) Pintura para exteriores Pintura para interiores Materia prima, M16424 Materia prima, M2126 Utilidad x Tn. (En miles de $) 54

31 Resolución (Modelo): Variables de decisión: X 1 : Toneladas producidas diariamente de pintura para exteriores. X 2 : Toneladas producidas diariamente de pintura para interiores.F.O.: Maximizar Z = 5X 1 + 4X 2s.a.: 6 X 1 + 4 X 2 ≤ 24 X 1 + 2 X 2 ≤ 6 X 2 ≤ X 1 + 1  - X 1 + X 2 ≤ 1 X 2 ≤ 2 X 1, X 2 ≥ 0 31

32 Ejercicio en clase 2: A&B S.A. produce dos productos, los cuales se venden como materia prima para empresas que fabrican productos de limpieza. A&B S.A. ha especificado que el total de la producción de los productos 1 y 2 debe ser por lo menos de 800 litros. Asimismo, se debe cumplir con un pedido especial de uno de sus clientes con 80 litros del producto 1. El tiempo de procesar el producto 1 es de tres horas por litro y del producto 2 es de dos horas. Las disponibilidades de tiempo para el proceso es de 160 horas de proceso. Los costos de producción es de 3$us. para el producto 1 y de 4$us. para el producto 2. Plantear como un modelo de P.L. 32

33 Problema 3. La empresa Mercurio S.A. tiene una cartera de acciones, bonos entre otras opciones de inversión. En la actualidad existen fondos disponibles por $100.000, los cuales deben ser considerados para nuevas oportunidades de inversión. Mercurio está considerando cuatro tipo de acciones detallados a continuación: La tasa anual de rendimiento debe ser por lo menos el 9% de la inversión. Ninguna de las acciones puede representar más del 50% de la inversión total. Plantear como un modelo de P.L. para minimizar el riesgo. 33 Acciones ABCD Precio por acción $90607030 Tasa de rendimiento anual0.150.040.030.06 Riesgo0.080.060.040.07

34 Resolución (Modelo): Variables de decisión: X A : Cantidad de acciones de tipo A X B : Cantidad de acciones de tipo B. X C : Cantidad de acciones de tipo C. X D : Cantidad de acciones de tipo D.F.O.: Minimizar Z = 7.2 X A + 3.6 X B + 2.8 X C + 2.1 X D 34

35 Resolución (Modelo): s.a.: 90 X A + 60 X B + 70 X C + 30 X D ≤ 100.000 13.5 X A + 2.4 X B + 2.1 X C + 1.8 X D ≥ 0.09 (100.000) 90 X A ≤ 0.5 (100.000) 60 X B ≤ 0.5 (100.000) 70 X C ≤ 0.5 ( 100.000) 30 X D ≤ 0.5 ( 100.000) X A, X B, X C, X D ≥ 0 35

36 Problema 4. La empresa Saturno S.R.L. se dedica al negocio de venta de jugos de fruta. Saturno S.R.L. tiene una utilidad neta de 3 Bs. por cada jugo mediano y de 5 Bs. por cada jugo familiar. Cada jugo incluye dos ingredientes principales: agua y concentrado de fruta. La empresa tiene disponible 200 litros de agua y 150 litros de concentrado de fruta por día. Cada jugo mediano utiliza 400 ml. de agua y 300 ml. de concentrado de fruta. Cada jugo familiar utiliza 600 ml. de agua y 450 ml. de concentrado de fruta. Saturno S.R.L. tiene una venta por día de al menos 400 jugos mediados y a lo sumo 60 jugos familiares. Por otra parte, se debe cumplir con el requerimiento mínimo de un cliente de 20 jugos mediados diariamente. Plantear como un modelo de programación lineal. 36

37 Resolución (Modelo): Variables de decisión: X M : Cantidad de jugo mediano a fabricar. X F : Cantidad de jugo familiar a fabricar.F.O.: Maximizar Z = 3 X A + 5 X F 37

38 Resolución (Modelo): s.a.: 0,40 X M + 0,30 X F ≤ 200 0,60 X M + 0,45 X F ≤ 150 X M ≥ 400 X F ≤ 60 X M ≥ 20 X A, X B, X C, X D ≥ 0 Nota.- La restricciones X M ≥ 400 y X M ≥ 20 quedaría en una sola: X M ≥ 420, dado que se refieren ambas a jugos medianos y guardan relación similar. Por lo tanto, el modelo final, se muestra en la siguiente diapositiva. 38

39 Resolución (Modelo final): Variables de decisión: X M : Cantidad de jugo mediano a fabricar. X F : Cantidad de jugo familiar a fabricar.F.O.: Maximizar Z = 3 X A + 5 X Fs.a.: 0,40 X M + 0,30 X F ≤ 200 0,60 X M + 0,45 X F ≤ 150 X M ≥ 420 X F ≤ 60 X A, X B, X C, X D ≥ 0 39