Ejemplo 1: Sea la sucesión de enteros b 0, b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ……. donde b n = 2n para todo N Entonces tenemos: b 0 = 2*0 = 0 b 1 = 2*1 = 1 b 2 =

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2 Ejemplo 1: Sea la sucesión de enteros b 0, b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ……. donde b n = 2n para todo N Entonces tenemos: b 0 = 2*0 = 0 b 1 = 2*1 = 1 b 2 = 2*2 = 2 b 3 = 2*3 = 6 b 4 = 2*4 = 8 b 5 = 2*5 = 10

3 Ejemplo 2: Sea la sucesión de enteros ……. donde Sea la sucesión de enteros a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ……. donde a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 3 & para todo n>=3 a n = a n-1 + a n-2 + a n-3 para todo n>=3 Entonces tenemos: a 3 = a 2 + a 1 + a 0 =3 + 2 + 1 = 6 a 4 = a 3 + a 2 + a 1 = 6 + 3 + 2 = 11 a 5 = a 4 + a 3 + a 2 = 11 + 6 + 3 = 20

4 DEMOSTRACIÓN POR RECURSIVIDAD Se puede utilizar con expresiones lógicas. Si el valor es atómico si valor de verdad se asigna. Si el valor es molecular se divide y se halla la verdad de cada uno. No son necesariamente en los N. Es más general que la inducción matemática.

5 Si es finita y descendiente tiene dominio bien fundado. La recursividad debe ser finita. La noción de sucesión descendiente

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7 Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones: F 0 = 0, F 1 = 1 F n =F n-1 +F n-2 Por lo tanto la parte recursiva de esta definición se sigue que: F 2 = F 1 +F 0 = 0 + 1 = 1 F 3 = F 2 +F 1 = 1 + 1 = 2 F 4 = F 3 +F 2 = 2 + 1 = 3 F 5 = F 4 +F 5 = 3 + 2 = 5

8 También vemos que :  F 6 = 8  F 7 = 13  F 8 = 21  F 9 = 34  F 10 = 55  F 11 = 189  F 12 =144 La definición de los números Fibonacci se puede utilizar para establecer propiedades.

9 Consideremos la suma de cuadrados de los números Fibonacci F 0 2 + F 1 2 = 0 2 + 1 2 = 1 = 1*1 F 0 2 + F 1 2 + F 2 2 = 0 2 + 1 2 + 1 2 = 2 = 1*2 F 0 2 + F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 = 0 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 = 2*3 F 0 2 + F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 + F 4 2 = 0 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 = 15 = 3*5 F 0 2 + F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 + F 4 2 + F 5 2 = 0 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 5 2 = 40 =5*8 F 0 2 + F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 + F 4 2 + F 5 2 + F 6 2 = 0 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 5 2 + 8 2 = 104 =8*13

10 Según los cálculos anteriores tenemos: ∑F i 2 = F n *F n+1 Utilizando la inducción matemática demostramos a.Para n = 1 ∑F 1 2 = F 1 *F 1+1 F 1 = F 1 * F 2 1 = 1 ∑F 1 2 = F 1 *F 1+1

11 b. Para n = k ∑F i 2 (hasta k) = F k *F k+1 c. Para n = k+1 ∑F i 2 (hasta k+1) = F k+1 *F k+2 ∑F i 2 (hasta k+1) = ∑F i 2 (hasta k) + F k+1 2 = (F k *F k+1 ) + F k+1 2 = (F k +F k+1 ) * F k+1 = F k+1 *F k+2 ∑F i 2 (hasta k+1) = F k+1 *F k+2

12 Una segunda propiedad de los números Fibonacci establece que: F n =< (5/3) n Para todo n que pertenece a N para lo cual establecemos la inducción matemática a.Para n = 0 ∑F 1 2 =< (5/3) n F 0 =< (5/3) 0 1 =< 1 b. Para n = 1 ∑F 1 2 =< (5/3) n F 1 =< (5/3) 1 1 =< 5/3

13 L 0 = 2, L 1 = 1 L n = L n-1 +L n-2 nLnLn nLnLn nLnLn nLnLn 0234618976 114772910123 2351184711199

14 Al igual que los Fibonacci los números de Lucas tienen propiedades: ∑L i = L n+2 -1 Utilizando la inducción matemática demostramos: a.Para n = 0 ∑L i = L n+2 -1 2 = 3 -1 2=2

15 b. Para n = k ∑L i (hasta k) = L k+2 - 1 c. Para n = k+1 ∑L i (hasta k+1) = L k+3 - 1 ∑L i (hasta k+1) = ∑L i (hasta k) + L k+1 = (L k+2 - 1) + L k+1 = (L k+2 +L k+1 ) -1 =L (k+1)+2 – 1= L k+3 -1 ∑L i (hasta k+1) = L k+3 - 1

16 Existe una relación entre números de Lucas y números Fibonacci la cual está determinado por: L n = F n-1 + F n+1 Lo demostramos asignando a n = 1, y luego a n = 2:  L 1 = F 1-1 + F 1+1 L 1 = F 0 + F 2 = 1+0 = 1  L 2 = F 2-1 + F 2+1 L 2 = F 1 + F 3 = 1 + 2 = 3

17 Pero como tenemos que comprobarlo aplicamos la inducción matemática: a.Para n = k L k = F k-1 + F k+1 b. Para n = k+1 L k+1 = F k + F k+2 L k+1 = L k + L k-1 = (F k-1 + F k+1 ) + (F k-2 + F k ) = (F k-1 + F k-2 ) + (F k+1 + F k ) = (F k + F k+2 ) L k+1 = F k + F k+2

18 Ejercicios Sea la sucesión de números enteros: a 1, a 2, a 3, a n = 5n; dé una definición recursiva para a 1 y a n+1 : a 1 = 5 a n+1 = 5(n+1) a n+1 = 5n + 5 a n+1 = a n + 5

19 Ejercicios 1.De una definición recursiva para a 1 y a n+1 : A.c n = n(n+2) B.c n = 7n C.c n = 7 n D.c n = 3n + 7 E.c n = 11n – 8 F.c n = 7 G.c n = n 2 H.c n = 2n 2 I.c n = (n+1)(n+2) c 1 =3, c n+1 = c n +2n+3 c 1 =7, c n+1 = c n +7 c 1 =7, c n+1 = 7c n c 1 =10, c n+1 = c n +3 c 1 =3, c n+1 = c n +11 c 1 =7, c n+1 = c n C 1 =1, c n+1 = c n +2n+1 c 1 =2, c n+1 = c n +4n+2 c 1 =6, c n+1 = (n+2)(n+3)

20 Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

21 Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

22 Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

23 Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

24 Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

25 Relaciones de recurrencia Si fuera chico sería más fácil de contar! Empecemos por los más chicos: 2x1, 2x2, 2x3, etc:

26 Baldosado 2x3

27 Baldosado 2x2 2x3 2x4

28 Baldosado 2x2 2x3 2x4

29 Baldosado En general si voy a construir cualquier baldosado, tengo exactamente dos formas de empezar: con una baldosa vertical o Con dos baldosas horizontales En el primer caso el resto lo baldosamos como si el patio fuera largo n-1 mientras que en el segundo como si fuera de n-2 Así a n = a n-1 + a n-2 mientras que a 1 =1 y a 2 = 2.

30 Baldosado Así a n = a n-1 + a n-2 mientras que a 1 =1 y a 2 = 2. De aquí la sucesión es: 1235813 21345589144233377610 9871597 De donde hay 1597 formas de baldosar un patio de 2x16.

31 Baldosado ¿Asintóticas?