FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL MATEMÁTICAS I.

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1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL MATEMÁTICAS I

2 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Una aplicación transforma elementos de un conjunto (ORIGEN) en elementos de otro conjunto (IMAGEN), de manera que a cada elemento del conjunto origen no le corresponda más de un elemento del conjunto imagen, y que no queden elementos del conjunto origen si su correspondiente transformado en el conjunto imagen. ORIGEN IMAGEN Cuando los conjutos que se contemplan son conjuntos numéricos, la aplicación se denomina FUNCIÓN. Si ambos conjuntos son partes del conjunto de los números reales, entonces la función se dice que es real (conjunto imagen de números reales) de variable real (conjunto origen de números reales)

3 D f = {x  / f(x)  } R f = {y  / x D f , y = f(x)}
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Tres elementos esenciales de las funciones: DOMINIO, RECORRIDO y GRÁFICA. DOMINIO de una función es el conjunto de números reales para los que se puede calcular su transformado. Los elementos del dominio se representarán con la letra ‘x’ y constituyen la VARIABLE INDEPENDIENTE. D f = {x  / f(x)  } RECORRIDO de una función es el conjunto de números reales que resultan como transformados de los elementos del dominio. Los elementos del recorrido se representarán con la letra ‘y’ y constituyen la VARIABLE DEPENDIENTE: y = f(x) R f = {y  / x D f , y = f(x)} GRÁFICA de una función es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = f(x).

4 D f = R f = [–4, +) D f = (0, +) R f =
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Ejemplos: D f = y = x2 – 2x – 3 Todas las funciones polinómicas tienen dominio R f = [–4, +) y = log x D f = (0, +) R f =

5 D f = D g = [0, +) D (f – g) = [0, +)
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES SUMA: (f+g)(x) = f(x) + g(x) D (f+g) = D f  D g f(x) = x + 5 g(x) = logx (f + g)(x) = x logx D f = D g = (0, +) D (f+g) = (0, +) DIFERENCIA: (f-g)(x) = f(x) - g(x) D (f-g) = D f D g f(x) = senx g(x) = (f – g)(x) = senx – D f = D g = [0, +) D (f – g) = [0, +) PRODUCTO: (f·g)(x) = f(x) · g(x) D (f·g) = D f D g f(x) = 2x g(x) = (f·g)(x) = 2x D f = D g = [0, +) D (f ·g) = [0, +) COCIENTE: (f/g)(x) = f(x)/g(x) D (f/g) = D f D g – { x  D g / g(x)=0} f(x) = cosx g(x) = x (f/g)(x) = D f = D g = D (f / g) = – {0}

6 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES
COMPOSICIÓN: (f◦g)(x) = f(g(x)) D (f ◦ g) = D g  { x  D f / f(x) D g } f(x) = logx g(x) = (f◦g)(x) = f(g(x)) = log( ) D f = (0, +) D g = [0, +) D (f ◦ g) = (0, +) f(x) = logx g(x) = (g◦f)(x) = g(f(x)) = D f = (0, +) D g = [0, +) D (g ◦ f) = [1, +) Observamos que la composición de funciones, en general, no es conmutativa.

7 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES
FUNCIÓN INVERSA Una función f es inyectiva en D f, si para a, b  D f tal que f(a) = f(b)  a = b Si f es inyectiva, la función inversa de f, [se indica f –1], satisface y = f –1(x)  x = f(y) f(x) = x + 5 es inyectiva, porque: f(a) = a + 5 f(b) = b + 5 f(a) = f(b)  a + 5 = b + 5  a = b Por tanto tiene sentido plantearse el cálculo de f–1 El procedimiento para calcular f –1 puede resumirse en las siguientes pautas: En la expresión y = f(x) cambiamos la ‘x’ por la ‘y’ Despejamos ‘y’. Así obtendremos y = f –1(x) y = f(x) = x + 5 Cambiamos ‘x’ por ‘y’: x = y + 5 Despejamos y: y = x – 5  f–1(x) = x – 5 Ejemplo: f(7) = = 12 f–1(12) = 12 – 5 = 7

8 (f ◦ f–1)(x) = (f–1 ◦ f)(x) = x
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES FUNCIÓN INVERSA La transformación realizada por una función es cancelada por su inversa. Por eso, la composición de una función con su inversa deja inalterada la variable independiente: (f ◦ f–1)(x) = (f–1 ◦ f)(x) = x Calculamos la inversa de f(x) = 3x + 2 y = 3x + 2  x = 3y + 2 x = 3y + 2  y = (x – 2)/3 Por tanto: f–1(x) = y = x (f ◦ f–1)(x) = f[f–1(x)] = 3· = x (f–1 ◦ f)(x) = f–1[f(x)] = = x y = 3x + 2 Por definición, la gráfica de y = f(x) y la de su función inversa y = f –1(x), son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

9 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: TRASLACIONES
Tenemos una función y = f(x) cuya gráfica conocemos: y = x2 + 2 y = x2 y = f(x) + a a y = f(x) 2 2 a -1 2 y = x2 – 1 a -1 -1 EJEMPLO Sumar una cantidad a la función, produce una traslación vertical de su gráfica. y = f(x) + a Naturalmente, si la cantidad ‘a’ que se suma es positiva, la traslación se produce en el sentido positivo del eje OY (hacia arriba) y si es negativa, en el sentido contrario (hacia abajo).

10 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: TRASLACIONES
Tenemos una función y = f(x) cuya gráfica conocemos: y = x2 y = (x – 2)2 y = x2 – 4x + 4 y = (x + 3)2 y = x2 + 6x + 9 y = f(x + a) a y = f(x) a a 3 -2 EJEMPLO Sumar una cantidad a la variable independiente, produce una traslación horizontal de su gráfica. y = f(x + a) Si la cantidad ‘a’ que se suma es positiva, la traslación se produce en el sentido negativo del eje OX (hacia la izquierda) y si es negativa, en el sentido contrario (hacia la derecha).

11 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: SIMETRÍAS
Existen simetrías entre las gráficas de la función y = f(x) y las de las funciones: y = –f(x) y = f(–x) y = f(x) y = f(x) y = f(–x) y = –f(x) y = ex y = e–x EJEMPLO y = –ex

12 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: COMPRENSIÓN - EXPANSIÓN
Si multiplicamos por una constante k una función, su gráfica sufre una deformación en el sentido de ‘comprimirse’ si k < 1, o de ‘expandirse’ si k > 1: y = 3senx y = senx

13 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: CLASIFICACIÓN
Función afín (lineal): y = mx + n Función cuadrática: y = ax2 + bx + c Funciones polinómicas de grado superior Enteras o Polinómicas ALGEBRAICAS Pn(x) Qm(x) Racionales (fraccionarias: cociente de dos polinomios) Irracionales o radicales: x forma parte del argumento de una raíz Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ··· TRASCENDENTES

14 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen y = x y = x – 2 –2 y = x + 3 3

15 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen m = pendiente A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal. La ordenada en el origen no cambia. y = 2x + 1 y = 5x + 1

16 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen m = pendiente y = –3x + 5 y = –3x + 1 Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen y = –3x + 2

17 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
D f = RESUMEN FUNCIÓN AFIN: y = mx + n Gráfica: RECTA R f = R f = {-2} ¡Ojo! Si m = 0, R f = {n}

18 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIÓN AFIN: y = mx + n Ejemplos de aplicaciones de la función afín: A) Movimiento uniforme: e = e0 + v·t B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L0(1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = I·R F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

19 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c Como todas las funciones polinómicas D f = Ahora observamos la gráfica con toda su significación Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Las claves están en los siguientes elementos: Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Cortes con el eje OX Vértice

20 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c D f = Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax2 + bx + c = 0  Soluciones: x1 y x2  Puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, una tabla con uno o dos valores más Es interesante el punto de corte con el eje OY

21 R f = [-25, +) F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c D f = Ejemplo: y = x2 – 8x – 9 1. Cortes con el eje OX: x2 – 8x – 9 = 0  x1 = –1; x2 = 9 2. Vértice: xV = 3. Corte con OY: Término independiente = –9  (0, –9) R f = [-25, +) Vértice (4, -25)

22 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x2: Son mayores conforme más ‘pronunciada’ es la curvatura V(2, -9) R f = [-9, +) V(2, -5) R f = [-5, +) V(2, -20) R f = [-20, +)

23 R f = (–, yv] F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c D f = Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = – 3x2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: R f = (–, yv] y = – 3x2 + x – 2 y = – x2 + 7x – 10

24 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax2 + bx + c D f = Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s0 + v0t + ½·at2 B) Teorema de Torricelli v2 = 2gh

25 D f = R f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = x3 y = 2x3 y = 5x3 D f = R f = Obsérvese el efecto y = c·f(x)

26 D f = R f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x + 1)(x – 2)(x – 3) = x3 – 4x2 + x +6

27 D f = R f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – 2 Solución doble

28 D f = R f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x2 + 1)(x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2 Raíces complejas

29 D f = R f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x – 1)(x – 2)(3 – x) = – x3 + 6x2 – 11x + 6 Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo

30 D f = F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 D f = Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e y = (x +1)x(x – 1)(x – 2) = x4 – 2x3 – x2 + 2x

31 D f = – {x/ Qm(x) = 0} R f = – {0}
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) Qm(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y = Asíntota horizontal y = 0 x = 0 x = 3 R f = – {0} x = -3/4 Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntotas verticales

32 D f = – {x/ Qm(x) = 0} D f = – {–2} R f = – {3/5} = 0  x = –2
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) Qm(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y = y = Asíntota vertical 5x + 10 = 0  x = –2 Asíntota horizontal D f = – {–2} R f = – {3/5} Gráfica: HIPÉRBOLA

33 D f = – {x/ Qm(x) = 0} D f = – {– 1, 4} Asíntotas verticales
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) Qm(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y = Asíntotas verticales x = x = 4 Asíntota horizontal y = 1 D f = – {– 1, 4}

34 F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES.
Pn(x) Qm(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y = Ejemplos de aplicaciones de funciones racionales: A. Principio de continuidad hidrodinámica S1V1 = S2V2 = G (Gasto)  S = G/V B. Ley de Boyle: PV = k  V = k/P C. Ley de Gravitación Universal: D. Ley de Coulomb:

35 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL.
y = 10x y = ex y = 2x D f = R f = (0, +) Asíntota horizontal y = 0 e  2’ Función monótona creciente

36 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL.
y = 0’5x y = (1/e)x y = 0’1x D f = R f = (0, +) Asíntota horizontal y = 0 Función monótona decreciente

37 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL.
y = ax a>0 Ejemplos de aplicaciones RESUMEN A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P0·akt B. Crecimiento logístico: C. Presión atmosférica: a = 8 km; p(0) = presión a nivel del mar h en km D f = R f = (0, +) f(0) = 1 Monótona creciente si a > 1 Monótona decreciente si 0 < a < 1

38 D f = R f = (0, +) a0 = 1 D f = (0, +) R f =
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y = ax D f = simetría R f = (0, +) a0 = 1 Loga(1) = 0 Función logarítmica y = loga(x) D f = (0, +) R f = Bisectriz y = x

39 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Ejemplos: y = log2(x) y = ln(x) y = log(x)

40 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Ejemplos: y = log2(x) y = ln(x) y = log(x) y = log0’1(x) y = log1/e(x) y = log0’5(x)

41 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
Ejemplos de aplicación de la función logarítmica A. Ley de Fechner: logI2 - logI1 = 2(logP2 - logP1) Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL) Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON) B. Escala de Richter: M = LogA + C A = Amplitud de las ondas superficiales C = 3’3 + 1’66·LogD - LogT T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro

42 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
y = cos(x) y = sen(x) D f = D f = R f = [-1, 1] R f = [-1, 1]

43 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
La función y = sen(x) es periódica: Período = 2  sen(x + 2) = sen(x)

44 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
La función y = cos(x) es periódica: Período = 2  cos(x + 2) = cos(x)

45 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
y = tan(x) : función periódica D f = – {(2k+1) ; k  } Asíntotas verticales R f = Período =   tan(x + ) = tan(x)

46 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas RAMA PRINCIPAL RAMA PRINCIPAL PRINCIPAL RAMA y = arc sen(x) y = arc cos(x) y = arc tg (x)

47 F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas A. Intensidad de corriente alterna: i = im·sen(ωt + φ) B. Movimiento vibratorio armónico simple: x = a·sen(ωt + φ) C. Desarrollos de Fourier

48 FIN DEL CAPÍTULO