1. Términos de un fracción 2. Equivalencia de fracciones

Presentación del tema: "1. Términos de un fracción 2. Equivalencia de fracciones"— Transcripción de la presentación:

1 1. Términos de un fracción 2. Equivalencia de fracciones
Index 1. Términos de un fracción 2. Equivalencia de fracciones 3. Ampliación y simplificación de fracciones 4. Fracciones con el numerador mayor que el denominador 5. Reducción de fracciones a común denominador 6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador 7. Comparación de fracciones 8. Suma y resta de fracciones 9. Multiplicación de fracciones 10. Fracciones inversas y opuestas 11. División de fracciones 12. Resolución de problemas 22/02/2019

2 Las fracciones representan partes de una unidad.
1. Términos de una fracción Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos: El numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad. El denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad. 22/02/2019

3 Los productos cruzados son iguales
2. Fracciones equivalentes (I) En las figuras: La parte coloreada de azul es la misma, luego Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo. También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 Los productos cruzados son iguales Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una de ellas por el denominador de la otra son iguales. 22/02/2019

4 Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
2. Fracciones equivalentes (II) Observa las partes coloreadas de naranja que se representan: indican lo mismo. están en el mismo punto de la recta numérica. 1 3 : 4 = 0,75 dan el mismo cociente. 6 : 8 = 0,75 de 16 = 12 actúan sobre un número de la misma manera. de 16 = 12 Cuando dos fracciones son equivalentes: Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica. Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número. 22/02/2019

5 4  8 = 16  2 Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
2. Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez. ¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras blancas? Puedes decirlo de muchas maneras: Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la regla de los productos cruzados. Observa: Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una de ellas por el denominador de la otra son iguales. 4  8 = 16  2 22/02/2019

6 Observa las fracciones:
3. Ampliación y simplificación de fracciones (I) Observa las fracciones: Las fracciones son fracciones ampliadas de equivalentes a Observa estas otras fracciones: Las fracciones son fracciones reducidas de equivalentes a Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción: Multiplicando sus términos por un mismo número. Dividiendo sus términos por un mismo número. (Este número debe ser distinto de cero.) 22/02/2019

7 Fracción irreducible:
3. Ampliación y simplificación de fracciones (II) Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan: Las fracciones son fracciones ampliadas de y equivalentes a ella. Observa: Las fracciones son fracciones reducidas de y equivalentes a ella Fracción irreducible: no se puede reducir más. Es evidente que: Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada. Son equivalentes: irreducible 22/02/2019

8 Hemos transformado la fracción en
3. Simplificación de fracciones En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes. Observa que: Hemos transformado la fracción en que es equivalente a ella e irreducible. Este proceso se denomina simplificación de fracciones. Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos. Dividiendo por 10 Ejemplo: 3 y 5 son primos entre sí. Dividiendo por 8 22/02/2019

9 Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
4. Fracciones con numerador mayor que el denominador Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum. A estas fracciones también se les llama números mixtos En concreto, 2 hojas completas y de otra. Esto se puede escribir así: Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será + = Por tanto: Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el numerador entre el denominador. En el caso de 22 : 9 = 2, resto 4. La fracción Otro ejemplo: pues 53 : 12 = 4, resto 5. 22/02/2019

10 4. Números mixtos Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es: Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1 Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y de una fracción menor que 1: El número se escribe así: Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos. Ejercicio resuelto: Escribe como número mixto y como fracción. Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2 22/02/2019

11 Tenemos las fracciones:
5. Reducción de fracciones a común denominador (I) Tenemos las fracciones: y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el mismo denominador. Escribimos fracciones equivalentes: Sus denominadores son múltiplos de 3. Sus denominadores son múltiplos de 4. Sus denominadores son múltiplos de 6. Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez. Por ejemplo, 24. 22/02/2019

12 Otro ejemplo: Para reducir fracciones a común denominador
5. Reducción de fracciones a común denominador (II) Para reducir fracciones a común denominador Halla un múltiplo común a los denominadores. Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador. Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador. Lo aplicamos a las fracciones: Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:. Otro ejemplo: Las fracciones: 22/02/2019

13 Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
6. Mínimo común denominador Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador. Lo aplicamos a las fracciones: El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6. Múltiplos de 4: Múltiplos de 6: Múltiplos comunes: Escribimos: m.c.m. (4, 6) = 12 El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6. Puedes calcular el m.c.m. de varios números así: Descompones los números en factores primos. El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Observa: 4 = 22 El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4; el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22. 6 = 2  3 Luego, m.cm. (4, 6) = 22  3 = 12 22/02/2019

14 Lo aplicamos a las fracciones:
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I) Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige como denominador común el m.c.m. de los denominadores. Lo aplicamos a las fracciones: Descomponemos los denominadores en factores primos: 10 = 2  5 12 = 22  3 8 = 23 m.cm. (10, 12, 8) = 23  3  5 = 120 El mínimo común denominador será 120. 12 10 15 Luego: 22/02/2019

15 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II) Las fracciones son equivalentes a: reduciendo El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos. Reducir a mínimo común denominador Veamos otro ejemplo: 1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3: 3 24 : 8 = 3 2 24 : 12 = 2 8 24 : 3 = 8 22/02/2019

16 Con el mismo denominador: Si dos fracciones tienen el
7. Comparación de fracciones Con el mismo denominador: Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador Con el mismo numerador: Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador Con numeradores y denominadores distintos: Para comparar dos fracciones cualquiera se reducen a común denominador. Será mayor la que tenga nuevo mayor numerador. Comparamos: Reducimos a común denominador: Como 22/02/2019

17 + Con el mismo denominador: Suma Resta Con distinto denominador: Suma
8. Suma y resta de fracciones Con el mismo denominador: Se suman los numeradores Suma + Se restan los numeradores Resta En ambos casos se deja el mismo denominador. Con distinto denominador: Se reducen antes a común denominador: Para sumar o restar fracciones con distinto denominador: · Se reducen a común denominador. · Se suman o restan las fracciones obtenidas con el mismo denominador. Suma m.c.m (6, 4) = 12 Resta 22/02/2019

18 El numerador será el mismo.
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I) Ejercicio 1 Calcula: Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores. El numerador será el mismo. Luego: Ejercicio 2 Calcula: Para sumarlas hay que reducirlas a común denominador: Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90. Luego: 90 : 9 = 10 Observa que cada numerador se multiplica por el cociente entre el m.c.m (90) y los denominadores respectivos 90 : 5 = 18 90 : 10 = 9 22/02/2019

19 Calculamos el m.c.m de los denominadores:
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II) Calcula: Ejercicio 3 Calculamos el m.c.m de los denominadores: Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7 Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860 Por tanto: 1260 693 1540 396 Observa: 13860 : 11 = 1260 13860 : 20 = 693 13860 : 9 = 1540 13860 : 35 = 396 Sumando o restando los numeradores, queda: 22/02/2019

20 Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
8. Suma de un número entero y una fracción Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro: + + + + = 2 Observa que: Para sumar un número entero y una fracción: 1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por el denominador de la fracción. 2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador. Otro ejemplo Calcula: 22/02/2019

21 8. Resta de un número entero y una fracción
Tenemos un rectángulo completo y deseamos quitarle cinco séptimos del mismo: 1 Luego: Para restar un número entero y una fracción: 1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por el denominador de la fracción. 2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador. Calcula: Otro ejemplo 22/02/2019

22 = + + + + = Un número natural por una fracción
9. Multiplicación de fracciones Un número natural por una fracción Calculemos 5 veces 2 tercios: = + + + + = Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica el número por el numerador; se deja el mismo denominador. Producto de dos fracciones Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos: El producto de dos fracciones es una fracción con: El numerador igual al producto de los numeradores. El denominador igual al producto de los denominadores 22/02/2019

23 La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
10. Fracciones opuestas e inversas Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0? Dos fracciones son opuestas cuando su suma es 0. Si se elige , la suma es: Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas. La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada. Dada la fracción , ¿qué fracción multiplicada por ella da 1? Dos fracciones son inversas cuando su producto es 1. Si se elige , el producto es: Las fracciones y se dice que son fracciones inversas. La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción dada. 22/02/2019

24 común denominador para dividir
11. División de fracciones (I) Para dividir fracciones es de gran utilidad que las fracciones tengan el mismo denominador. ¿Cuántos pinchos de de tortilla hay en de tortilla? : = 4 pinchos ¿Cuántos vasos de refresco de de litro pueden llenarse con una botella de de litro? Hemos reducido a común denominador para dividir más cómodamente. 15 vasos ¿Cuántos vasos de leche de de litro pueden llenarse con una botella de de litro? Observa que Pueden llenarse cuatro vasos y medio. 22/02/2019

25 ¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3
11. División de fracciones (II) Contesta: ¿Qué número multiplicado por 8 da 24? ? · 8 = 24 ? = 3 Observa que: ? · 8 = 24 ? = 24 : 8 ? = 3 Está multiplicando Pasa dividiendo ? ? Por lo mismo: es equivalente a Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa. Por tanto: ? ? ? En definitiva: ? ? 22/02/2019

26 Ejemplo: ? ? Hemos visto que: Luego:
11. División de fracciones (III) ? ? Hemos visto que: Luego: Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda. inversas Por tanto: El producto cruzado es más rápido O bien: Ejemplo: inversas Utilizando el producto cruzado: 22/02/2019

27 12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada? Primero: Hacer un dibujo Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes: Faltan 6 partidos Segundo: Utilizar fracciones La fracción de partidos jugados es la suma Pero todavía “no sabemos” sumar fracciones. Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8. Si se sabe sumar fracciones puede seguirse esa idea 22/02/2019

28 El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo
12. Resolución de problemas (I) (2ª parte) Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada? Después de jugar la mitad más la cuarta parte, queda otra cuarta parte Tercero: Volver al dibujo Faltan 6 partidos Queda la mitad Queda la cuarta parte Cuarto: Volver a las fracciones La cuarta parte es la mitad de la mitad. Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte. Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte: ? : 8 = 6 El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo Comprueba que el resultado es correcto. 22/02/2019

29 12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado? Primero: Tantear Supongamos que se regalan 36 discos en total. Así: Al primero le tocarían 18; al segundo, 9; al tercero, la mitad de nueve. No puede ser (habría que romper un disco). Segundo: Utilizar fracciones ? Indiquemos con el total de discos: ? El primero recibe la mitad: ? El segundo la mitad de la mitad, que es la cuarta parte: de ? ? El tercero recibe la mitad que el segundo: ? ? + + ? ? Entre los tres han recibido: ? Al cuarto le quedará lo que falta: 22/02/2019

30 12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado? Tercero: Hacer cálculos Teníamos que al cuarto le quedaba: ? ? = 12 ? = 12 : = 96 Como el cuarto recibe 12 discos, se tiene que: El número de discos regalados es 96. Cuarto: Comprobar el resultado El primero recibe la mitad: El segundo recibe la mitad que el primero: 24 El tercero, la mitad que el segundo: 12 El cuarto recibe 12 (96 : 8 = 12) En total: = 96 22/02/2019

31 COMPRUEBA EL RESULTADO
12. Técnicas y estrategias PROBLEMA En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16 libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca? ELABORA UN DIAGRAMA Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo. Jueves Viernes Prestan 16 N Prestan = Quedan N – 16 = M 24 Quedan EMPIEZA POR EL FINAL Como la mitad de M son 24, se tiene: M = 48 El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras. N – 16 = 48 N = 64 COMPRUEBA EL RESULTADO Había 64. Después del jueves: 64 – 16 = 48 La mitad es: 48 : 2 = 24 22/02/2019