ÁLGEBRA 2 ÁLGEBRA El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y además las trata como números en operaciones y propiedades, se.

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2 ÁLGEBRA 2

3 ÁLGEBRA El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y además las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. Álgebra es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos de las operaciones aritméticas. 3

4 UN NÚMERO CUALQUIERAX SUCESOR DE UN NÚMEROX + 1 ANTECESOR DE UN NÚMEROX – 1 DOBLE DE UN NÚMERO2X TRES NÚMEROS CONSECUTIVOSX, X + 1, X + 2 EL CUADRADO DE UN NÚMEROX² UN NÚMERO AUMENTADO EN 3X + 3 LA MITAD DE UN NÚMEROX/2 4

5 UTILIDAD Y SIGNIFICADO En el lenguaje algebraico utilizamos letras para números de valor desconocido o indeterminado. UTILIDADES:  Para expresar propiedades de las operaciones aritméticas Ejemplo; la propiedad distributiva: “el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales del número por cada sumando” a. (b + c) = a. b + a. c 5

6  Para manejar números de valor indeterminado y sus operaciones (expresiones lagebraicas) Ejemplos: Un número natural … a El siguiente número natural … a + 1 El doble del número … 2a Otro número ocho unidades menor … a – 8 El cuadrado del número más el triple del número … a² + 3a 6

7  Para expresar relaciones que faciliten la resolución de problemas (ecuaciones) Ejemplo, encuentra un número tal que el cuádruplo del número más veinte unidades sea igual a sesenta y ocho. 4 a + 20 = 68 4 a = 68 – 20 4 a = 48 a = 48/4 = 12 7

8 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y paréntesis, relacionados con las operaciones. Los elementos de una expresión algebraica son: TÉRMINOS, TÉRMINOS, cada uno de los sumandos TÉRMINO INDEPENDIENTE TÉRMINO INDEPENDIENTE, el que solo tiene parte numérica VARIABLES VARIABLES, cantidades desconocidas. Se representan generalmente con x, y, z COEFICIENTE COEFICIENTE, parte numérica que multiplica las variables 8

9 Ejemplo de una expresión algebraica y sus términos 9 Expresión algebraica TérminosTérmino independiente VariablesCoeficientes 5x² - 2y + 65x², 2y, 66x, y5, 2, 6 Valor numérico de una expresión algebraica Es el valor numérico que toma la expresión algebraica cuando sustituimos las letras por números y realizamos las operaciones. Ejemplos: EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALOR QUE LE DAMOS A LAS LETRAS VALOR NUMÉRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA 4 aa = 24. 2 = 8 2 x3x = 32. 3. 3. 3. 3 = 162 x + 3yx = 2, y = 32 + 3. 3 = 18

10 ACTIVIDAD EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALOR QUE LE DAMOS A LA LETRA VALOR NUMÉRICO EXPRESIÓN ALGEBRAICA x + yx = 3, y = 12 3 a + b - ca = 5, b = 3, c = 4 ½ xx = 10 2x + 1x = 8 10

11 11 GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio es el exponente de la variable que forma la parte literal. Si tiene más de una variable se suman los exponentes.

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13 Lenguaje Algebraico En el mundo hay una amplia variedad de idiomas, tales como el castellano, inglés y portugués. También hay lenguajes propios de los oficios que se realizan; por ejemplo, una pauta de música para una músico.

14 El lenguaje algebraico el lenguaje del Álgebra y ésta es una rama de la matemática que estudia el concepto de cantidad considerándolo del modo más general posible. El concepto de Álgebra es mucho más amplio que el de aritmética, ya que en ésta las cantidades se representan por números, los que expresan valores determinados, mientras que en el Álgebra las cantidades se representan por medio de letras, lo que permite lograr una generalización.

15 Hoy en día, el uso del lenguaje algebraico es imprescindible, puesto que la mayoría de las actividades del hombre, ya sean científicas, económicas o tecnológicas, requieren de él. Fórmulas como: Son universales y seguramente te resultan muy familiares.

16 El lenguaje algebraico nos permite expresar, mediante números, letras y operaciones, una información dada. Ejemplos: El área del rectángulo está dada por: El perímetro del cuadrado está dado por: a cm b cm A = a b cm 2 x cm P = 4 x cm Si un auto recorre 50 km en t minutos, la velocidad promedio del auto está dada por: V=km/h

17 Al utilizar el lenguaje algebraico, normalmente no escribimos los signos de multiplicación (,  ) o división ( , :) en las expresiones. Así, 3 2x Se escribe 6x 1 n o n 1 Se escribe n p q o q p pq b (x + 3) Se escribe b(x + 3) (a + b)  c Se escribe 3 a 3a n n Se escribe n2n2 Usualmente se escriben las letras en orden alfabético. Usualmente se escriben primero los números. Se lee “n al cuadrado”.

18 Escribe las siguientes expresiones sin utilizar los signos de multiplicación y división. ¡ AHORA TE TOCA A TI ! (b – 3) : 4 (n + m )  p 5 m n 4a 5 7a

19 Revisemos tus respuestas: (b – 3) : 4 (n + m )  p 5 m n4a 5 7a 5mn35a 16a 2

20 ¿Cómo se escriben, en lenguaje algebraico, los siguientes enunciados? La diferencia entre el doble de x y su mitad. 2x – Dos veces el producto de m y n. 2mn Un tercio de x. Tres veces la suma de f y g. 3(f + g) El triple de a. 3a Lenguaje algebraico 1. 2. 3. 4. 5.

21 Es importante tener en cuenta que las operaciones usadas en álgebra siguen las mismas reglas que las usadas en aritmética. Ejemplos: a + ( b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c ÁLGEBRA 2 + 7 = 7 + 2a + b = b + a a b = b a ó ab = ba ARITMÉTICA 4 5 = 5 4 1 + ( 4 + 3) = (1 + 4) + 3 2 (4 5) = (2 4) 5 Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa.

22 Determina la o las expresiones equivalentes a : Son equivalentes. Propiedad conmutativa. a + 2 5(n + 2) 5n + 2 (n + 2) 5 5(2 + n) 2 + a 2a a2a2 Son equivalentes. Propiedad conmutativa.

23 Observemos ahora los siguientes ejemplos aritméticos: 2 + 2 + 2 = 3 2 6 + 6 + 6 + 6 + 6 =2 6 + 3 6 =5 6 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 5 9 5 4 – 2 4 =3 44 + 4 + 4 + 4 + 4 – (4 + 4) = ¿Qué pasará con expresiones algebraicas del tipo x + x + x ?

24 Aplicaremos las mismas propiedades que en aritmética: x + x + x = 3 x 2x + 3x = 5x5x y + y + y + y + y = 5 y 5x - 2x = 3x3x Este proceso se llama “reducción de términos semejantes” y lo estudiarás detalladamente más adelante, por ahora nos permitirá resolver algunas ecuaciones. 6a 6a y 5a son términos semejantes. IMPORTANTE 6ab y 5a 5a no son términos semejantes. Tienen distintas letras.

25 Practiquemos: a + a = 5y – 2y = x + x –x = 4x + 6x = x + 3x + 5 = Son términos semejantes. 1a 1a + 1a 1a = 2a 1x 1x + 1x 1x – 1x 1x =1x = x Son términos semejantes. 4x 4x + 6x =10x Son términos semejantes. 5y 5y – 2y 2y = 3y 1x + 3x 3x + 5 = Son términos semejantes. Son términos semejantes solo x y 3x. 4x + 5

26 Ecuaciones Una Ecuación es una igualdad con una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Ejemplos: x + 17 = 23 3 x = 6 x + y = 2 + 4 y

27 Una ecuación puede ser representada por una balanza que se encuentra en equilibrio. Lo que está en el platillo de la izquierda pesa lo mismo que el platillo de la derecha. x + 4 = 8 + 4

28 Al sumar o restar un mismo número a ambos miembros de una igualdad, esta se mantiene. Si se multiplican o dividen por un mismo número ambos miembros de la igualdad, esta se mantiene. Las ecuaciones de las formas a + x = b (ecuaciones aditivas) y a · x = b (ecuaciones multiplicativas) Se denominan de Primer Grado, porque el exponente máximo de la incógnita es 1. Para comprobar, sustituimos el valor de x en la ecuación original.

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30 MONOMIO Un monomio es el producto indicado de un valor conocido, representado por un número (coeficiente), por uno o varios valores desconocidos, representado por letras (parte literal). La parte literal puede tener exponentes

31 MONOMIOS SEMEJANTES Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. 2x ; -3x ; x. Son monomios semejantes, ya que la parte literal es idéntica. VALOR NUMÉRICO DE UM MONOMIO El valor numérico de um monomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable o variables por um número al hacer las operaciones 31

32 Ejemplo, el valor numérico de 3x2y y para los valores de x = 2 e y = 3 será: 3x2y = 3. (2)2. 3 = 3. 4. 3 = 36. OPERACIONES CON MONOMIOS SUMA Y RESTA DE MONOMIOS  SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Si los monomios son semejantes: Se suman o restan los coeficientes y se pone la misma parte literal 32

33 Si los monomios no son semejantes La suma o la resta se deja indicada, tal y como está, quedando un polinomio cuyos términos son los monomios dados. Ejemplo, Sumar los monomios 5x5, 3x4, 4x3, y restarle los monomios 3x2, 6x. 5x5 + 3x4 + 4x3 – 3x2 – 6x MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS  MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Se pueden multiplicar todos los monomios sean o no semejantes 33

34 El producto de dos o más monomios da como resultado otro monomio que va a tener como coeficiente el producto de los coeficientes y como parte literal la misma, con exponente la suma de los exponentes 2x4·3x3·2x·(- 4x2) = [2·3·2·(-4)] x4+3+1+2 = -48 x10 DIVISIÓN DE MONOMIOS  DIVISIÓN DE MONOMIOS Se pueden dividir todos los monomios, sean o no semejantes. La división de dos monomios da como resultado otro monomio que va a tener como coeficiente 34

35 el cociente entre los coeficientes, y como parte literal la misma, con exponente la diferencia o resta de los exponentes. Para que el resultado sea un monomio, el grado del numerador tiene que ser mayor o igual que el grado del denominador. 35

36 POLINOMIOS suma o resta de varios monomios  Polinomio es la suma o resta de varios monomios. Cada uno de los monomios es un término y si hay un término que no tiene parte literal (letras) es un término independiente. grado de un polinomio  El grado de un polinomio es el grado de del monomio de mayor grado coeficientes de un polinomio  Los coeficientes de un polinomio son los coeficientes de los monomios que lo forman término independiente  El término independiente de un polinomio es el monomio que no tiene parte literal (letras) 36

37 Ejemplo: sea el polinomio x5-4x3+5x2+8x-9 37 TÉRMINOSGRADOCOEFICIENTESTÉRMINO INDEPENDIENTE x5, -4x3, 5x2, 8x, -951, -4, 5, 8, -9-9 valor numérico del polinomio Ejemplo: calcular el valor numérico del polinomio x5-4x3+5x2+8x-9 para un valor de x = 2. Lo que hacemos es sustituir em el polinomio la variable x por el valor 2. 25-4·23+5·22+8·2-9 = 32-4·8+5·4+8·2-9 = 32- 32+20+16-9 = 27 El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir la variable por un número

38 OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMAR POLINOMIOS  SUMAR POLINOMIOS 1)Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de forma que coincidan los monomios semejantes. 2)Se suman los coeficientes de los monomios semejantes y se pone la misma parte literal. Ejemplo Ejemplo: sumar los polinomios P(x) = 10x5- 18x3+14x2+16; Q(x) = -6x4+8x3-6x2+12x-4 38

39  RESTAR POLINOMIOS Para restar polinomios, lo que se hace es sumar al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: dados P(x) = 10x5-18x3+14x2+16 ; Q(x) = - 6x4+8x3-6x2+12x-4. Calcular P(x)-Q(x) 39

40 MULTIPLICAR POLINOMIOS  MULTIPLICAR POLINOMIOS 1)Se colocan los polinomios, ordenados uno debajo del otro, de forma que coincidan los monomios semejantes. Si falta algún grado, se deja un hueco 2)Para multiplicar polinomios se empieza por la izquierda y se multiplican el primer monomio del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio; los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman 3)Se continúa multiplicando los demás monomios del segundo polinomio 4)Se suman todos los polinomios obtenidos 40

41 Ejemplo: multiplicar los polinomios P(x) · Q(x) P(x) = 4x3-6x2 +5 Q(x) = 2x2-8x+6 Se debe comenzar a multiplicar por la izquierda. Primero se multiplican los signos, a continuación los coeficientes y por último se suman los exponentes. 41

42 PRODUCTOS NOTABLES  CUADRADO DE UNA SUMA El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo (a+b)2 = a2+2ab+b2 Ejemplo: (x+5)2 = x2+2·x·5+52 = x2 +10x +25  CUADRADO DE UNA DIFERENCIA El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo 42

43 (a - b)2 = a2 - 2ab+b2 Ejemplo: (x-5)2 = x2 - 2·x·5+52 = x2 - 10x +25  SUMA POR DIFERENCIA Una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo (a + b) · (a - b) = a2 - b2 Ejemplo: (x+5)·(x-5) = x2 – 52  DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS EM FACTORES 43

44 Descompón en factores el polinomio x2- 8x+16 x2 - 8x + 16 = x2 - 2·x·4 + 42 = (x-4)2 EXTRAER FACTOR COMÚN En las expresiones algebraicas podemos encontrarnos que éstas están formadas por sumandos que son productos y, además, en estos productos hay un factor que se repite, es decir, que es común en todos los sumandos. factor “a”, COMÚN Así, en la expresión a.b + a.c + a.e – a.f, observamos que en los sumandos o restandos son productos. Además, en todos los sumandos que son productos hay un factor, que es el factor “a”, que se repite, es decir, es COMÚN 44

45 Podemos transformar esta suma en un producto sacando factor común y colocando un paréntesis a·b + a·c +a·d – a·e = a · (b + c +d – e) 45

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