Integrazio-metodoak koadraturen bidez:

Presentación del tema: "Integrazio-metodoak koadraturen bidez:"— Transcripción de la presentación:

1 Integrazio-metodoak koadraturen bidez:
Funtzioaren integrala (a,b) tartean kalkulatu nahi dugu: Asmo horrekin n+1 puntu aukeratzen ditugu: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) non x0≠ x1≠... xn eta 2n+1. mailako polinomioa, p2n+1 (x), bilatzen dugu zeinak ondoko baldintzak betetzen baititu: P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n Eta funtzioaren integralaren hurbilketa egingo dugu polinomioaren bidez:

2 Polinomioa puntu guztietatik pasatzen denez, interpolazio-polinomioa
da. Ez da bakarra, ordea (zeren bere maila ez baita n edo txikiagokoa). Halako polinomio bat honela adieraz daiteke: Demagun (a,b), integrazio-tartea, (-1,1) dela. Horrela ez balitz, beti ere egin genezake legokion aldagai-aldaketa:

3 Lehen integrala hurrengo erara ber-idatz daiteke:

4 Bigarren integrala aukeratzen da bere balorea zero izan dadin:
Horretarako, era egoki batean aukeratu beharko dugu qn(x). Har dezagun oinarri ortogonal bat {gk(x)} non k indize osoa baita. Hori dela eta: Hortaz, integrala hurrengo erara idatz daiteke:

5 {gk(x)}-ren ortogonaltasuna kontutan hartuz:
ondorioz, integrala zero izateko ondoko aukeraketa egin dezakegu:

6 eta orduan: hori dela eta, xj, puntuak egokitu behar ditugu, gn+1(x)-ren zeroak izan daitezen. (-1,1) tartea ezarri dugunez, gk(x) oinarri ortogonala Legendre-ren polinomioena izan liteke. Kasu honetan, koadratura hau Gauss-Legendre-ren koadratura deitzen da.

7 Adibidea: ERRADIANETAN!!! n=1 hartuta (2 puntu):

8 n=2 hartuta (3 puntu):

9 Trapezioen bidez (3 puntu) h=1:

10 Simpson-en bidez (3 puntu) h=1:

11 Berriro ere Gauss-Legendre-ren koadraturarekin eta n=3 hartuta (4 puntu):

12 Integralaren tartea (-1,1) ez bada hurrengo aldagai-aldaketa egingo
dugu: Taulatik hartutako balioak

13 Adibidea: n=2 hartuta (3 puntu):

14 Kalkulatu Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin
hurrengo funtzioaren (deitzen den errore-funtzioaren) balorea x = 0.5 puntuan:

15 Kalkulatu:

16 ERRADIANETAN!!! Gauss-Legendre-ren bidez n=2 hartuta (3 puntu):

17 Gauss-Legendre-ren bidez n=3 hartuta (4 puntu):
ERRADIANETAN!!!

18 Gauss-Legendre-ren bidez n=2 hartuta (3 puntu):

19 Gauss-Legendre-ren bidez n=3 hartuta (4 puntu):

20 Gauss-Legendre-ren bidez n=4 hartuta (5 puntu):

21 n=1 hartuta (2 puntu): ERRADIANETAN!!!

22 n=2 hartuta (3 puntu):

23 Simpson-en bidez tarte bakarrarekin ( h = 0.5):
Simpson-en bidez bi tarterekin ( h = 0.25):