ELASTICIDAD DE MATERIALES SÓLIDOS  = . E  = . G.

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1 ELASTICIDAD DE MATERIALES SÓLIDOS  = . E  = . G

2 ELASTICIDAD DE MATERIALES SÓLIDOS zSÓLIDO: Porción de materia cuyas distancias intermoleculares permanecen constantes en el tiempo, siempre que no estén sometidos a fuerzas externas cuyas intensidades pueden estar deformando al sólido zSÓLIDO RÍGIDO: Porción de materia cuyas distancias intermoleculares permanecen constantes en el tiempo, aún cuando estén sometidos a fuerzas externas

3 ELASTICIDAD Y DEFORMACIÓN zElasticidad: es una propiedad que tienen los materiales en su comportamiento estructural, se manifiesta mediante cambios en sus dimensiones al ser sometidos a efectos deformadores, de tal modo que al desaparecer éstos, el material recupera completamente sus dimensiones iniciales. zDeformación: es el cambio relativo en las dimensiones de un cuerpo como resultado de la acción de agentes deformadores. La deformación puede ser ELÁSTICA O PLÁSTICA.

4 ELASTICIDAD zConceptos Básicos xLey de Hooke xEsfuerzo y deformación xDeformaciones axiales xMódulo elástico (de Young) xMódulo de Rigidez xEsfuerzos de Tensión, Compresión y de Corte xCurva Esfuerzo vs. Deformación Unitaria xDeformaciones transversales. Coeficiente de Poisson

5 Concepto: Esfuerzo Corte Los cuerpos sólidos responden de distinta forma cuando se los somete a fuerzas externas. El tipo de respuesta del material dependerá de la forma en que se aplica dicha fuerza (tracción, compresión, corte o cizalladura, flexión y torsión). Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento mecánico del material se describe mediante tres tipos de esfuerzos: tracción, compresión y corte.

6 Concepto: Deformación Corte Es el cambio del tamaño o forma de un cuerpo debido a los esfuerzos producidos por una o más fuerzas aplicadas (o también por la ocurrencia de la dilatación térmica). Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento mecánico del material se describe mediante tres tipos de deformaciones: tracción, compresión y corte.

7 Estado de Tensiones y Deformaciones El estado de tensiones de un elemento de volumen se describe mediante tres tipos de esfuerzos: tracción, compresión y corte. El estado de deformaciones de un elemento de volumen se describe mediante tres tipos de deformaciones: tracción, compresión y corte. Por más compleja que sea la solicitación de un material:

8 Esfuerzo de tensión zEsfuerzo yRelación de la fuerza perpendicular aplicada a un objeto dividida para su área transversal. xUnidad de medida: unidades de fuerza/unidades de área; Pascal (Pa), megapascal (MPa) F F A

9 Normal (Axial) : la carga es perpendicular a la sección transversal del material - Tension : los extremos del material son estirados hacia afuera para alargar al objeto, la carga es conocida como fuerza de tensión. - Compresión : Los extremos del material som empujados para hacer al material más pequeño, la carga es llamada una fuerza de compresión. Tensión Compresión Clasificación de esfuerzos

10 Esfuerzo cortante : carga Tangencial Clasificación estirando Presión Carga

11 Esfuerzo. zEsfuerzo longitudinal zEsfuerzo cortante F F F F A  = F/A F F/2 F A  = F/(2A)

12 deformación zDeformación yLa relación del cambio de longitud debida al esfuerzo para la longitud original del objeto. xEs una cantidad adimensional Elongación e L LoLo F F

13 Esfuerzo tensionante y deformación

14 Máquina hidraulica Baldwin para pruebas de Tension & Compresion

15 Diagrama Esfuerzo-Deformación deformación (e/Lo) 4 1 2 3 5 Esfuerzo (F/A) Región Elastica Región Plástica Ruptura ultima Fuerza de Tensión pendiente= E Region Elastica pendiente= Módulo de Young Región Plastica ultima fuerza de tensión fractura Deformación permanente Esfuerzo máximo

16 Esfuerzo cortante y deformación  El esfuerzo cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el simbolo . yLa fórmula de calculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensión. ySe diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la fuerza aplicada(paralela para cortante y perpendicular para tensión)

17 Esfuerzo cortante  Deformación de corte o cizalladura (  ) es definida como la tangente del ángulo , y, en esencia, determina que extensión del plano fue desplazado.

18 Relación Esfuerzo-Deformación zLey de Hooke zPara materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajo niveles, esfuerzo y deformación son proporcionales yLa constante E es conocida como el módulo de elasticidad, o módulo de Young. xEs medida: unidades de fuerza/unidades de área (en MPa y puede valer de ~4.5x10 4 a 40x10 7 Mpa)

19 Esfuerzo y Deformación en Cortante zEsfuerzo cortante y la deformación se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente yLa constante G es conocida como el módulo de corte y relaciona el esfuerzo cortante en la region elastica.

20 Coeficiente de Poisson zCuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformación acompañante en la misma dirección. yComo resultado de esta elongación, habrá constricciones en las otras dos direcciones.  El coeficiente de Poisson, es la relación de las deformaciones lateral o transversal con la axial.

21 Coeficiente de Poisson zTeoricamente, los materiales isotropicos tienen un valor de coeficiente de Poisson de 0,25.  El maximo valor de es 0,5 x no hay cambio de volumen durante el proceso. yLa mayoría de metales presentan valores entre 0,25 y 0,35 zSe usa ademas para relacionar los módulos elástico y de corte

22 Deformación zLa deformación elástica está alrededor de los 0,005. yDespués de este punto, ocurre la deformación plástica (no recuperable), y la ley de Hooke no es válida.

23 FORMA GENERAL DE LA LEY DE HOOKE Hemos visto la Ley de Hooke de la forma: En el caso mas general cuando un elemento está sometido a tres tensiones normales perpendiculares entre sí acompañadas de tres deformaciones respectivamente.

24 Superponiendo las componentes de la deformación originada por la contracción lateral debido al efecto de Poisson (deformación lateral) a las deformaciones directas, obtenemos la expresión general de la Ley de Hooke:

25 Deformación plástica

26 Elasticidad zDespués de liberar una carga sometida, el objeto recupera su forma original. yDurante este proceso, la curva traza una línea recta de elasticidad xParalela a la porción elástica de la curva

27 Elasticidad

28 Ejemplo Una barra de acero uniforme está suspendida verticalmente y soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica en la figura. Si la sección recta de la barra es 6 cm², el módulo de elasticidad E=2,1x10 6 kg/cm 2. Determinar el alargamiento total de la barra. DSL R=5 000 kg La barra está afectada en tres porciones: superior, media e inferior; la deformación de cada porción se calcula con la relación: Solución

29 Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento total es:

30 Ejemplo Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm³, una longitud de 10 m y una sección recta de 60 cm². La barra inferior es de bronce de densidad 0,0080 kg/cm³, una longitud de 6 m y una sección de 50 cm². Para el acero E=2,1x10 6 kg/cm 2 y para el bronce E=9x10 5 kg/cm 2. Determinar los esfuerzos máximos en cada material. Solución: Se debe calcular primero el peso de cada parte de la barra. Peso = (peso específico)(volumen)

31 El peso de la barra de bronce es: Wb=0,008 kg/cm³(50 cm²)(600 cm)=240 kg El peso de la barra de acero es: Wa=0,0078 kg/cm³(60 cm²)(1000 cm)=468 kg El máximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente debajo de la sección BB. El máximo esfuerzo en la barra de acero tendrá lugar inmediatamente por debajo de la sección AA.

32 Ejemplo 2. - Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N. - Caracteristicas del cable diámetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m 1) ¡Esfuerzo Normal en el cable? 2) ¿Deformación?

33 Ejemplo 3 F = 30.0 kg * 9.81 m/s 2 = 294 N A = (  /4)*(5.00mm) 2 = 19.6 mm^2  = F/A = 294 N / 19.6 mm 2 = 15.0 N/mm 2 = 1.5 x 10 7 Pa = 15 MPa 2.50 m 30.0 kg 5.00 mm

34 Ejemplo 4  = 15.0 MPa  =  /E = 15.0 MPa/210000 MPa = 7.14 x 10^-5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm = 0.0000714 m/m  L =  L = (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m = 0.178 mm E = 21 x 10^4 MPa (varilla de acero) 2.50 m 30.0 kg 5.00 mm

35 Ejemplo 5 Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 10 9 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción. Datos: Datos: E = 200 x 10 9 Pa;  o = 10 mm; T = 50 000 N Fórmulas: Fórmulas:  = F/A;  =  /E Desarrollo:  = F/A = 50 000N/ (  (5x10 -3 m) 2 )= 6.37 x 10 6 N/m 2 = 6.37 MPa  =  /E = 6.37 x10 6 Pa/(200x 10 9 Pa) = 3.18 x 10 -3 TT

36 Ejemplo 6 Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 10 9 Pa) es sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson  = 0.33. Datos: Datos: E = 70 x 10 9 Pa;  o = 10 mm; T = 6 kN Fórmulas: Fórmulas:  = F/A;  =  /E;  = (d f – d o )/d o Desarrollo: a) a)  = F/A = 6 000N/ (  (5x10 -3 m) 2 )= 76.4 x 10 6 N/m 2 = 76.4 MPa  =  /E = 76.4 x10 6 Pa/(70x 10 9 Pa) = 1.09 x 10 -3   = –  z = – 0.33(1.09 x 10 -3 ) = – 3.6 x 10 -4.   = (d f – d o )/d o  d f = d o (   +1)=10mm( -3.6 x 10 -3 +1)= 9.9964 mm b) b)   = + 3.6 x 10 -4 d f = d o (   +1)=10mm( +3.6 x 10 -3 +1)= 10.0036 mm

37 Ejemplo 7 Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 10 9 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción. Datos: Datos: E = 200 x 10 9 Pa;  o = 10 mm; T = 50 000 N Fórmulas: Fórmulas:  = F/A;  =  /E Desarrollo:  = F/A = 50 000N/ (  (5x10 -3 m) 2 )= 6.37 x 10 6 N/m 2 = 6.37 MPa  =  /E = 6.37 x10 6 Pa/(200x 10 9 Pa) = 3.18 x 10 -3 T T

38 Ejemplo 8 Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio está suspendida de un punto localizado a 2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m y de diámetro de 0.090 cm, siendo su módulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto más bajo de su trayectoria a 5 m/s, ¿a qué distancia del piso pasará la pelota? Datos: Datos: Alambre E= 180 GPa,  = 0.09 cm, Lo = 2.85 m pelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m. Fórmulas: Fórmulas: F c = T – mg  T = F c +mg = mg + mv 2 /R R = L o +r+  L = 2.85+0.04 +  L= 2.89 +  L   L  0 R  = E  = E  L/L   L= L o  /E= L o T/EA  T= 15(9.81+5 2 /2.89) =277 N   L= (277x2.85)/(  x(4.5x10 -4 ) 2 x(180x 10 9 )= 6.9x10 -3 m   h = 2.94-(2.85+0.08+6.9x10 -3 )=0.0031 m hhhh

39 Ejemplo 9 Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm 2 de área de sección transversal, tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de vibración. Datos: Datos: alambre L o = 5 m, A= 0.088 cm 2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg Formulas: Formulas: Ley de Hooke F = k.  L  k= F/  L y  = E  F/A =E (  L /L)  k= AE/Lo= (8.8x10 -7 m 2 )(2x10 11 Pa)/(5 m) = 35 kN/m  T= 2  (m/k) ½ = 2  (2/35000) ½ = 0.047 s

40 Ejemplo 10 La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero

41 Solución: Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm, longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm Fórmula: Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en forma diferencial se tendrá:, entonces; Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la altura, el área del elemento diferencial será: A=ey= Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y reemplazando en la expresión integral tenemos:

42 Reemplazando los datos queda: la misma que integrando ( ) y reemplazando valores resulta: ∆L=0,0124 cm. Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas de tracción es: ∆L=0,0124 cm. ∆L=0,0124 cm

43 Módulo de Corte: G ó S Esfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ área que se corta  S = F t /A Deformación cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficies  S =  x/h  S = G  S

44 Ejemplo 10 Una barra de acero (G = 12 x 10 6 lb/plg 2 ) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo. Datos: Datos: F= 8000 lb,  = 1 plg, l = 1.5 plg Formula: Formula: G = (F/A)/(d/l)  d=Fl/AG d = [(8000lb)(1.5 plg)]/[(  (1plg) 2 x12x10 6 lb/plg 2 ] d = 1.27 x 10-3 plg.

45 Ejemplo 11 Una gelatina con forma de caja tiene un área en su base de 15 cm 2 y una altura de 3 cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, ésta se desplaza 4 mm en relación a la cara inferior. ¿ Cuáles son el esfuerzo cortante, la deformación al corte y el módulo de corte para la gelatina? Datos: Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm 2, h = 3 cm,  x= 4 mm Formulas: Formulas: τ = F t /A ; γ=  S =  x/h; G = τ /  S τ=  S = 0.5 N/(15 x 10 -4 m 2 )= 0.33 kPa γ=  S = 0.4 cm/0.3 cm = 0.13 G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

46 Ejemplo 12 En la figura se muestra un punzón para perforar placas de acero, suponga que se usa un punzón con diámetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de ¼ plg como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón? Datos: Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = ¼ plg Formula: Formula: A S = 2  rt=  dt =  (0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg 2  S = P/A S = 28000lb/0.589 plg 2 = 47500 lb/plg 2  C = P/A C = P/(  d 2 /4)= 28000lb/ (  (0.75 plg) 2 /4)= 63400 lb/plg 2

47 Módulo volumétrico: elasticidad de volumen B = esfuerzo de volumen/deformación de volumen B = - (  F/A)/ (  V/V) B = -  P/ (  V/V)

48 Ejemplo 13 Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 10 10 N/m 2 ) inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m 2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2 x 10 7 N/m 2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5 m 3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera este sumergida? B = -  P/ (  V/V)   V= -  P V/B = - (2 x 10 7 N/m 2 )(0.5 m 3 )/ (6.1x 10 10 N/m 2 )   V= -1.6 x 10 -4 m 3

49 Ejemplo 14 El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa. B = -  P/ (  V/V)   V= -  P V/B = - (1.5 x 10 6 N/m 2 )(100 ml)/ (2.1x 10 9 N/m 2 )   V= -0.071 ml

50 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS O ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS Un sistema se dice que es hiperestático cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la estática, porque hay mas fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio. Para solucionar los sistemas hiperestáticos es necesario suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las deformaciones; esto es, debemos disponer de n ecuaciones independientes para hallar los valores de n incógnitas. En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados. Los sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas Isostáticos o estáticamente determinados.

51 Ejemplo Una barra de sección recta cuadrada de 5 cm de lado, está sujeta rígidamente entre dos muros indeformables y cargada con una fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte derecha. Considerar E=2,1x10 6 kg/cm 2 DSL de la barra Ra+Rb=20 000 kg

52 Como la barra está fija a muros indeformables, entonces la deformación de la porción izquierda de la barra será igual a la deformación de la porción derecha; entonces: Entonces: Luego:

53 Ejemplo: Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD. La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la sección de CD es de 5 cm² y la de EB 3 cm², determinar el esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB y considerar para el cobre E=1,2x10 6 kg/cm 2 y para el acero E=2,1x10 6 kg/cm 2

54 DSL de la barra AB: Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la deformación ocurrida en el sistema.

55 El efecto de la carga aplicada deformará las barras verticales por lo que la barra AB dejará la posición horizontal y aparecerá inclinada como el esquema de la figura: Teniendo en cuenta que: Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos: