Hyperbolický paraboloid

Presentación del tema: "Hyperbolický paraboloid"— Transcripción de la presentación:

1 Hyperbolický paraboloid
Kapitola P3.1.1b Hyperbolický paraboloid

2 Hyperbolický paraboloid
Konoid určený dvoma mimobežnými priamkami a a b, ktoré sú rôznobežné s riadiacou rovinou , sa nazýva hyperbolický paraboloid. Riadiace prvky: a – priamka b – priamka mimobežná s priamkou a c – rovina  rôznobežná s priamkami a, b Konštrukcia tvoriacej priamky: a) Zostrojíme rovinu 1 rovnobežnú s riadiacou rovinou . b) 1  a = {A} c) 1  b = {B} d) Priamka AB je tvoriaca priamka plochy. Priamka AB leží v rovine 1, ktorá je rovnobežná s riadiacou rovinou , a preto má s ňou v priestore E3 spoločný nevlastný bod, ktorý označíme ∞C. AB   = {∞C}. e) Na zostrojenie ďalších tvoriacich priamok kroky a - d opakujeme pre sústavu rovnobežných rovín 1  2  3  ... C A B  a 1 2 3 b Tvoriace priamky hyperbolického paraboloidu sú rovnobežné s riadiacou rovinou . Mészárosová, Tereňová

3 Vlastnosti hyperbolického paraboloidu
 Vlastnosti hyperbolického paraboloidu 1 2 Platí: Každé tri rôzne roviny 1, 2, 3 rovnobežné s riadiacou rovinou  pretínajú riadiace priamky a, b v dvoch trojiciach bodov s tým istým deliacim pomerom. (1A, 3A; 2A) = (1B, 3B; 2B) 3 1A 1B 2A 3A a 2B 3B Platí aj opačné tvrdenie: Ak na dvoch mimobežkách a, b určíme dve trojice rôznych bodov 1A, 2A, 3A a 1B, 2B, 3B s tým istým deliacim pomerom, t. j. (1A, 3A; 2A) = (1B, 3B; 2B), tak – priamky 1A1B, 2A2B, 3A3B sú navzájom mimobežné a – ktorékoľvek dve z týchto mimobežiek určia rovinu , ktorá je rovnobežná so všetkými priamkami 1A1B, 2A2B, 3A3B. b  1 2 3 1A 1B 2A 3A a 2B 3B Poznámka: Rovina  je určená priamkami rovnobežnými s priamkami 1A1B, 3A3B. Podrobnejšie pozri [Medek]. b Zhrnutie: Hyperbolický paraboloid môže byť určený aj dvoma protiľahlými stranami 1A3A, 1B3B priestorového štvoruholníka 1A3A3B1B. Tereňová

4 Konštrukcia tvoriacich priamok hyperbolického paraboloidu:
Nech je hyperbolický paraboloid určený dvoma protiľahlými stranami AB, CD priestorového štvoruholníka ABCD. Konštrukcia tvoriacich priamok hyperbolického paraboloidu: z 1) Úsečku AB rozdelíme na 4 zhodné časti (resp. podľa požadovanej presnosti na viac zhodných častí). Deliace body označíme 1, 2, 3. Bod 1 je prvý deliaci bod pri bode A. 2) Úsečku CD rozdelíme na 4 zhodné časti. Deliace body označíme 1', 2', 3'. Bod 1' je prvý deliaci bod pri bode D. 3) Priamky 11', 22', 33' sú tvoriace priamky plochy. Takto získame jednu sústavu priamok. B 3 I' 2 II' 1 III' A C I 3' II 2' x y III 1' D B1 Tento istý hyperbolický paraboloid môže byť určený aj protiľahlými stranami AD, BC štvoruholníka ABCD. Rozdelením strán AD a BC na zhodné úsečky získame ďalšie priamky na ploche, druhú sústavu priamok. A1 C1 Poznámka: Ďalej budeme zobrazovať iba časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. D1 Poznámka: Každú stranu štvoruholníka ABCD rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky z každej sústavy. Tereňová

5 C C z z A III' 1 II' III' 2 3' I' 3 3' A I II' I 2' B 1 2' II 2 II 1'
D x x B y y D B1 B1 A1 A1 C1 C1 D1 D1 Poznámka: Pozor na označenie deliacich bodov, bod 1 je prvý deliaci bod pri bode A a bod 1' je prvý deliaci bod pri bode D. Poznámka: Každú stranu štvoruholníka ABCD rozdelíme na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky z každej sústavy. Poznámka: Doplníme obrys zobrazovanej plochy. Časťou obrysu je časť paraboly, ktorú zostrojíme ako obálku priemetov zostrojených tvoriacich priamok plochy. DWFx Tereňová

6 Vlastnosti hyperbolického paraboloidu
Zhrnutie: Hyperbolický paraboloid obsahuje dve sústavy priamok. Priamky z jednej sústavy sú navzájom mimobežné a rovnobežné s riadiacou rovinou. Každá priamka z jednej sústavy pretína všetky priamky z druhej sústavy. Každým bodom hyperbolického paraboloidu prechádzajú dve tvoriace priamky, pričom každá je z inej sústavy. Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom. A B C D x y z A1 B1 C1 D1 1 2 3 1' 2' 3' I II III I' II' III' Tereňová

7 Vlastnosti hyperbolického paraboloidu
Zhrnutie: Nech je hyperbolický paraboloid určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. 1. sústava tvoriacich priamok: Riadiace prvky hyperbolického paraboloidu: priamka AB priamka CD rovina  rovnobežná s priamkami AD, BC → priamky AD, BC, 11', 22', 33' sú tvoriace priamky plochy 2. sústava tvoriacich priamok: priamka AD priamka BC rovina  rovnobežná s priamkami AB, CD → priamky AB, CD, I I', II II', III III' sú tvoriace priamky plochy A B C D x y z A1 B1 C1 D1 1 2 3 1' 2' 3' I II III I' II' III' Ak sú riadiace roviny  a  navzájom kolmé, tak sa plocha nazýva ortogonálny (kolmý) hyperbolický paraboloid. Inak je to klinogonálny (šikmý) hyperbolický paraboloid. Tereňová

8 P7 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
V Mongeovej projekcii zobrazte časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. Zostrojte obidve sústavy priamok. P7 C2 z2 = z3 C3 A2 A3 5' 3 5' 2 13 4' 3 12 4' 2 3' 3 23 22 3' 2 32 33 2' 2 2' 3 42 43 1' 2 1' 3 52 53 x1,2 B2 D2 D3 B3 y3 D1 1' 1 A1 2' 1 3' 1 11 Postup rysovania: 1) Doplníme bokorys priestorového štvoruholníka ABCD. 2) Strany AB a CD rozdelíme napr. na 6 zhodných častí a zostrojíme tvoriace priamky z jednej sústavy. 4' 1 21 5' 1 31 41 C1 51 B1 Tereňová y1

9 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
V Mongeovej projekcii zobrazte časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. Zostrojte obidve sústavy priamok. C2 z2 C3 A2 V' 2 A3 V' 3 I2 IV' 2 I3 IV' 3 II2 II3 III' 3 III' 2 III3 III2 II' 3 II' 2 IV3 IV2 I' 3 I' 2 V2 V3 x1,2 B2 D2 D3 B3 y3 V1 D1 IV1 I1 II1 III1 A1 Postup rysovania: 3) Strany AD a BC rozdelíme tiež na 6 zhodných častí a zostrojíme tvoriace priamky z druhej sústavy. V' 1 C1 IV' 1 III' 1 II' 1 I' 1 B1 Tereňová y1

10 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
V Mongeovej projekcii zobrazte časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. Zostrojte obidve sústavy priamok. C2 z2 C3 A2 V' 2 A3 5' 3 V' 3 5' 2 I2 IV' 2 I3 13 4' 3 IV' 3 12 4' 2 II2 II3 3' 3 23 22 III' 3 III' 2 3' 2 III3 III2 32 33 II' 3 II' 2 2' 2 2' 3 42 IV3 43 IV2 I' 3 I' 2 1' 2 1' 3 52 V2 V3 53 x1,2 B2 D2 D3 B3 y3 V1 D1 DWFx IV1 III1 I1 II1 1' 1 A1 2' 1 3' 1 11 Postup rysovania: 4) Doplníme obrys plochy v náryse a bokoryse ako obálku priemetov zostrojených tvoriacich priamok plochy. 5) Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy modrou farbou a druhú stranu fialovou farbou. 4' 1 21 5' 1 31 41 V' 1 C1 IV' 1 51 III' 1 II' 1 I' 1 B1 Tereňová y1

11 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
V Mongeovej projekcii zobrazte časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. Zostrojte obidve sústavy priamok. P7 - zhrnutie C2 z2 C3 A2 V' 2 A3 5' 3 V' 3 5' 2 I2 IV' 2 I3 13 4' 3 IV' 3 12 4' 2 II2 II3 3' 3 23 22 III' 3 III' 2 3' 2 III3 III2 32 33 II' 3 II' 2 2' 2 2' 3 42 IV3 43 IV2 I' 3 I' 2 1' 2 1' 3 52 V2 V3 53 x1,2 B2 D2 D3 B3 y3 V1 D1 IV1 II1 III1 I1 1' 1 A1 2' 1 3' 1 11 4' 1 21 5' 1 31 41 V' 1 C1 IV' 1 51 III' 1 II' 1 I' 1 B1 Tereňová y1

12 4 hyperbolické paraboloidy

13 Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie budovy
Erdy McHenry Architecture The Church of St. Aloysius Jackson, NJ, USA, 2009

14 Friedrich-Ebert-Halle Ludwigshafen am Rhein, Nemecko, 1965
Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy nad štvorcovým pôdorysom Roland Rainer Friedrich-Ebert-Halle Ludwigshafen am Rhein, Nemecko, 1965

15 České Budějovice, Česká republika, 2006
Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie nástupíšť nad obdĺžnikovým pôdorysom Autobusové nádraží České Budějovice, Česká republika, 2006

16 Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. P8 Zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom k bude plocha, ktorá je časťou hyperbolického paraboloidu. Zostrojíme prienik tohto hyperbolického paraboloidu s rotačnou valcovou plochou V s riadiacou kružnicou k a s osou o = z. D z V B C = C1 D1 Poul Hultberg Scandinavium arena Göteborg, Švédsko, 1971 B1 y A = A1 k = k1 DWFx Tereňová x

17 Úlohu riešte v kolmej axonometrii.
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. Poznámka: Pri rysovaní môžete použiť rozmery, ktoré sú uvedené na obrázku. Elipsu k zostrojíme prúžkovou konštrukciou. D z x y z A = A1 B1 C = C1 D1 B D 6 cm 8 cm 30 15 k = k1 B C = C1 D1 B1 y A = A1 k = k1 Tereňová x

18 Úlohu riešte v kolmej axonometrii.
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. Postup rysovania: 1) Strany AB a CD rozdelíme napr. na 4 zhodné časti. Deliace body označíme E, F, G a H, I, J. Priamky EH, FI, GJ sú tvoriace priamky hyperbolického paraboloidu. 2) Zostrojíme prienik tvoriacej priamky EH s rotačnou valcovou plochou V s riadiacou kružnicou k. Priesečníky označíme P a Q. 3) Analogicky zostrojíme priesečníky tvoriacich priamok FI a GJ s valcovou plochou V. D z Q V H B S I G T U J S1 F U1 Q1 C = C1 D1 J1 I1 H1 R E P G1 B1 E1 F1 y T1 A = A1 P1 R1 k = k1 Tereňová x

19 Úlohu riešte v kolmej axonometrii.
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. Postup rysovania: 4) Pre presnejšie vykreslenie prienikovej krivky rozdelíme strany AB a CD na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky z tejto sústavy. D z Q V H B Poznámka: Zobrazíme iba časť tvoriacich priamok hyperbolického paraboloidu nad kruhovým pôdorysom k. S I G 5) Zostrojíme 2 časti prienikovej krivky hyperbolického paraboloidu a valcovej plochy V a to medzi bodmi A, B a medzi bodmi C, D. Obe krivky nakreslíme približne. Zostrojenými bodmi prieniku preložíme krivku (nie lomenú čiaru). T U J S1 F U1 Q1 C = C1 D1 J1 I1 H1 R E P G1 B1 E1 F1 y T1 A = A1 P1 R1 k = k1 Tereňová x

20 Úlohu riešte v kolmej axonometrii.
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. Postup rysovania: 6) Strany AD a BC rozdelíme tiež na 4 zhodné časti. Zostrojíme tvoriace priamky z druhej sústavy a určíme ich priesečníky s rotačnou valcovou plochou V. D z Q V 7) Pre presnejšie vykreslenie prienikovej krivky rozdelíme strany AD a BC na 8 zhodných častí a doplníme ďalšie 4 priamky z tejto sústavy. H B S I G 8) Zostrojíme ďalšie 2 časti prienikovej krivky hyperbolického paraboloidu a valcovej plochy V a to medzi bodmi A, D a medzi bodmi B, C. Obe krivky nakreslíme približne. Zostrojenými bodmi prieniku preložíme krivku (nie lomenú čiaru). Poznámka: Prieniková krivka leží na rotačnej valcovej ploche V, t. j. axonometrický priemet tejto krivky sa dotýka obrysových tvoriacich priamok valcovej plochy V. T U J S1 F U1 Q1 C = C1 D1 J1 I1 H1 R E P G1 B1 E1 F1 y T1 A = A1 P1 R1 k = k1 Tereňová x

21 Úlohu riešte v kolmej axonometrii.
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. Postup rysovania: 9) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených tvoriacich priamok plochy. Obrysová krivka je parabola. 10) Pre lepšiu názornosť vyfarbíme zastrešenie budovy modrou farbou a časť valcovej plochy V medzi pôdorysňou a hyperbolickým paraboloidom vyfarbíme červenou farbou. D z Q V H B S I G T U J S1 F U1 Q1 C = C1 D1 J1 I1 H1 R DWFx E P G1 B1 E1 F1 y T1 A = A1 P1 R1 k = k1 Tereňová x

22 Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom
Vyriešte zastrešenie budovy s kruhovým pôdorysom. Použite hyperbolický paraboloid, ktorý je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Úlohu riešte v kolmej axonometrii. P8 - zhrnutie D z Q V H B S I G T U J S1 F U1 Q1 C = C1 D1 J1 I1 H1 R E P G1 B1 E1 F1 y T1 A = A1 P1 R1 k = k1 Tereňová x

23 Graham McCourt Architects Olympic Saddledome Calgary, Kanada, 1983
Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy – strecha je prienik gule a hyperbolického paraboloidu Graham McCourt Architects Olympic Saddledome Calgary, Kanada, 1983

24 Rovinný rez hyperbolického paraboloidu
Hyperbolický paraboloid je plocha druhého stupňa. Rovinným rezom hyperbolického paraboloidu môžu byť dve tvoriace priamky (Ak rovina rezu obsahuje jednu tvoriacu priamku, tak obsahuje ešte jednu ďalšiu tvoriacu priamku. Rovina rezu je dotyková rovina plochy v priesečníku tvoriacich priamok.) parabola (Ak je rovina rezu rovnobežná s priamkou o =  ∩  a neobsahuje žiadnu priamku plochy, tak rez je parabola. Os paraboly je rovnobežná s priamkou o.) hyperbola (V každom inom prípade je rez hyperbola. Asymptoty hyperboly sú rovnobežné s priesečnicami roviny rezu s rovinami  a .) T '' ''  Poznámka: Nech je hyperbolický paraboloid určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Rovina  je rovnobežná s priamkami AD, BC. Rovina  je rovnobežná s priamkami AB, CD. (pozri stranu 7)  D z ' ' B q T p'' p' q'' D1 q' p C = C1 O p'' h B1 Poznámka: Podrobnejšie pozri [Medek]. A = A1 p'' y p' Tereňová x p'

25 P9 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. P9 Poznámka: Pri rysovaní dodržte nasledujúce podmienky: AO = CO B1O = D1O BB1 = DD1. Postup rysovania: 1) Zostrojíme tvoriace priamky hyperbolického paraboloidu. Každú stranu štvoruholníka ABCD rozdelíme napr. na 8 zhodných častí. Zobrazíme časť hyperbolického paraboloidu medzi úsečkami AB, CD a AD, BC. D z B C = C1 D1 O B1 A = A1 y x Tereňová

26 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. Postup rysovania: 2) Zostrojíme rez hyperbolického paraboloidu pôdorysňou. Rezom je hyperbola h a jej body sú pôdorysné stopníky tvoriacich priamok plochy. D z F B C = C1 D1 F1 E O h B1 E1 A = A1 y PEF x Tereňová

27 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. Postup rysovania: 3) Rez hyperbolického paraboloidu nárysňou je parabola p. Jej body sú priesečníky tvoriacich priamok plochy s nárysňou. 4) Analogicky zostrojíme rez hyperbolického paraboloidu rovinami ' a '', ktoré sú rovnobežné s nárysňou a incidujú s bodmi B a D. Rezové krivky sú paraboly p' a p'' zhodné s parabolou p. ''  D z ' F B S p'' 3 H p' G R C = C1 D1 F1 p 2 H1 S1 G1 E O 4 R1 h B1 E1 A = A1 p'' y PEF x 1 p' Poznámka: Parabola p' (p'' ) sa pretína s hyperbolou h na pôdorysnej stope roviny ' ('' ). Priesečníky označíme 1, 2 (3, 4). Tereňová

28 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. Postup rysovania: 5) Rez hyperbolického paraboloidu bokorysňou je parabola q. Jej body sú priesečníky tvoriacich priamok plochy s bokorysňou. 6) Analogicky zostrojíme rez hyperbolického paraboloidu rovinami ' a '', ktoré sú rovnobežné s bokorysňou a incidujú s bodmi A a C. Rezové krivky sú paraboly q' a q'' zhodné s parabolou q. ''  D z ' F B q S p'' 3 H p' G q'' R C = C1 D1 F1 q' p 2 H1 S1 G1 E O p'' 4 R1 h B1 E1 A = A1 p'' y PEF x 1 p' p' Tereňová

29 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. Postup rysovania: 7) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených tvoriacich priamok plochy. Časť obrysovej krivky je parabola. 8) Vyznačíme časť hyperbolického paraboloidu nad pôdorysňou a medzi rovinami ' a ''. Pre lepšiu názornosť vyfarbíme jednu stranu plochy modrou farbou a druhú stranu fialovou farbou. '' D z ' F B q S p'' 3 H p' G q'' R C = C1 D1 F1 q' p 2 H1 S1 G1 E O p'' 4 R1 h B1 E1 A = A1 p'' y PEF x 1 p' p' Tereňová

30 Hyperbolický paraboloid je určený priestorovým štvoruholníkom ABCD.
Zostrojte rezy hyperbolického paraboloidu súradnicovými rovinami a rovinami s nimi rovnobežnými a incidujúcimi s bodmi A, B, C a D. Úlohu riešte v axonometrii. P9 - zhrnutie '' ''   D z ' ' F B q S p'' 3 H p' G q'' R C = C1 D1 F1 q' p 2 H1 S1 G1 E O p'' 4 R1 h B1 E1 A = A1 p'' y PEF x 1 p' p' Tereňová

31 Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie budovy
Félix Candela L'Oceanogràfic Valencia, Španielsko, 2003 Félix Candela Restaurante Los Manantiales, Xochimilco, Ciudad de México, Mexiko, 1958 Poznámka: Strecha budovy je zložená zo 4 hyperbolických paraboloidov.

32 Hyperbolický paraboloid použitý na zastrešenie budovy
Matthew Nowicki, William Henley Dietrick J. S. Dorton Arena (Paraboleum) Raleigh, North Carolina, USA, 1952 Poznámka: Je to prvá budova zastrešená pomocou lanovej siete tvaru hyperbolického paraboloidu. Strecha je medzi dvoma parabolickými oblúkmi.

33 Hyperbolické paraboloidy použité na zastrešenie budovy
Helmut Hafner Kindergarten Stainz, Steiermark, Rakúsko, 1993 Poznámka: Hyperbolický paraboloid je translačná plocha, ktorá vznikne posúvaním paraboly po parabole (pozri kapitolu Translačné plochy).