12 CALCULO MULTIVARIABLE Clave:     332521 Período: Del 16 de ENERO al 04 de MAYO de 2012. Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO ENERO 2012.

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1 12 CALCULO MULTIVARIABLE Clave:     Período: Del 16 de ENERO al 04 de MAYO de 2012. Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO ENERO 2012

2 VECTORES Y LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
12 VECTORES Y LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

3 VECTORES Y LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Una recta en el plano xy se determina cuando se dan un punto sobre la recta y la dirección de ésta(su pendiente o ángulo de inclinación) La ecuación de la recta se puede escribir entonces con la forma punto - pendiente

4 ECUACIONES DE LA RECTA Una recta L en el espacio tridimensional (3-D) se determina cuando se conoce: Un punto P0(x0, y0, z0) en L La dirección de L

5 ECUACIÓN DE LA RECTA En tres dimensiones la dirección de una recta se describe convenientemente por un vector.

6 Así, sea v un vector paralelo a L.
EQUATIONS OF LINES Así, sea v un vector paralelo a L. SeaP(x, y, z) un punto arbitrario en L. Sea r0 y r los vectores posición de P0 y P. esto es, tienen representación y

7 sI a es el vector con representación , entonces la ley del triángulo para la suma de vectores de: r = r0 + a

8 Sin embargo, puesto que a y v son vectores paralelos, hay un escalar t tal que a = tv
Por lo tanto: r = r0 + t v Que es una ecuación Vectorial de L

9 ECUACIÓN VECTORIAL Cada valor del parámetro t da el vector de posición r de un punto sobre L. En otras palabras, cuando t varía, la línea es trazada por la punta del vector r.

10 Valores positivos de t corresponden a puntos de L que se encuentran a un lado de P0.
Los valores negativos corresponden a los puntos que se encuentran en el otro lado.

11 Si el vector v que da la dirección de la línea L se escribe en forma de componentes como v = <a, b, c>, entonces, se tiene: tv = <ta, tb, tc>

12 <x, y, z> = <x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc>
Podemos escribir: r = <x, y, z> and r0 = <x0, y0, z0> Por lo tanto la ecuación vectorial se transforma en: <x, y, z> = <x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc>

13 Dos vectores son iguales si y solo si las componentes correspondientes son iguales.
Por lo tanto se tienen tres ecuaciones escalares.

14 ECUACIONES ESCALARES DE LA RECTA
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct Donde, t

15 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la línea L que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela al vector v = <a, b, c>. Cada valor del parámetro t nos da un punto (x, y, z) en L.

16 Encuentre otros dos puntos sobre la recta.
EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (5, 1, 3) y es paralela al vector i + 4 j – 2 k. Encuentre otros dos puntos sobre la recta.

17 Aquí, r0 = <5, 1, 3> = 5 i + j + 3 k y v = i + 4 j – 2 k
La ecuación vectorial se convierte en: r = (5 i + j + 3 k) + t(i + 4 j – 2 k) o r = (5 + t) i + (1 + 4t) j + (3 – 2t) k

18 Las ecuaciones paramétricas son: x = 5 + t y = 1 + 4t z = 3 – 2t

19 Eligiendo t = 1 Tenemos x = 6, y = 5, y z = 1.
Así, (6, 5, 1) es un punto en la recta. Similarmente con, t = –1 tenemos el punto (4, –3, 5).

20 Las ecuaciones vectorial y paramétricas de una ecuación no son únicas.
Si se cambia el punto o el parámetro, o se elige un vector paralelo diferente, entonces cambian las ecuaciones.

21 Por ejemplo, si en lugar de (5, 1, 3), se elige el punto (6, 5, 1) en el ejemplo 1, las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x = 6 + t y = 5 + 4t z = 1 – 2t

22 Si permanecemos con el punto (5, 1, 3) pero cambiamos el vector paralelo 2 i + 8 j – 4 k, tendríamos: x = 5 + 2t y = 1 + 8t z = 3 – 4t

23 NÚMERO DIRECTORES En general si un vector v = <a, b, c> se emplea para describir la dirección de una recta L, entonces los números a, b, y c se llaman números directores de L. Puesto que cualquier vector paralelo a v puede usarse para describir la dirección. Entonces tres números cualesquiera proporcionales a a, b, y c pueden usarse como números directores de L.

24 Otra forma de obtener una ecuación de la recta L es eliminando el parámetro t de la ecuación 2.
Si ninguna de las letras a, b, o c es 0, se puede resolver cada una de estas ecuaciones para t, igualar los resultados, y obtener.

25 ECUACIONES SIMÉTRICAS
Ecuación 3 Estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones Simétricas de L.

26 ECUACIONES SIMÉTRICAS
Observemos que los números que aparecen en los denominadores de la ecuación 3 a, b, y c son los números directores de L. Es decir, las componentes de un vector paralelo a L.

27 Si una de las literales a, b, o c es 0, se puede eliminar a t.
Por ejemplo si a = 0, se podría escribir las ecuaciones de L como: Esto significa que L esta en el plano vertical x = x0.

28 En qué puntos interseca esta recta el plano xy?
ECUACION DE LA RECTA Ejemplo 2 Encontrar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la resta que pasa a través de los puntos A(2, 4, –3) y B(3, –1, 1). En qué puntos interseca esta recta el plano xy?

29 v = <3 – 2, –1 – 4, 1 – (–3)> = <1, –5, 4>
No se da de manera explícita un vector paralelo a la recta. Pero observemos que el vector v con representación es paralelo a la recta y v = <3 – 2, –1 – 4, 1 – (–3)> = <1, –5, 4>

30 Entonces los números directores son:
a = 1, b = –5, c = 4

31 Tomando el punto (2, 4, –3) como P0, vemos que:
Las ecuaciones paramétricas son: x = 2 + t y = 4 – 5t z = –3 + 4t Las ecuaciones simétricas son:

32 La recta intersecta el plano xy cuando z = 0.
Así haciendo z = 0 en las ecuaciones simétricas obtenemos: Esto nos da x = y y = .

33 La recta intersecta al plano xy en el punto

34 En general,el procedimiento del ejemplo 2 muestra que los números directores de la recta L que pasa por los puntos P0(x0, y0, z0) y P1(x1, y1, z1) son: x1 – x0 y1 – y0 z1 – z0 Por lo tanto las ecuaciones simétricas de L son:

35 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
En ocasiones necesitamos una descripción, no de una recta entera, sino de sólo un segmento de recta. Como por ejemplo, se podría describir el segmento de recta AB en el ejemplo 2?

36 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Si se escribe t = 0 en las ecuaciones paramétricas del ejemplo 2 a, se obtiene el punto (2, 4, –3). Si ponemos t = 1, obtenemos (3, –1, 1).

37 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Así que el segmento de recta AB se describe mediante las ecuaciones paramétricas: x = 2 + t y = 4 – 5t z = –3 + 4t donde 0 ≤ t ≤ 1 La ecuación vectorial correspondiente es: r(t) = <2 + t, 4 – 5t, –3 + 4t> donde 0 ≤ t ≤ 1

38 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
En general, se sabe de la ecuación 1 que la ecuación vectorial de una recta que pasa por (la punta del) vector r0 en la dirección del vector v es: r = r0 + t v

39 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Si la recta pasa también por(la punta de) r1, entonces se puede tomar v = r1 – r0. Y por lo tanto, su ecuación vectorial es: r = r0 + t(r1 – r0) = (1 – t)r0 + t r1 El segmento de recta de r0 a r1 se determina mediante el intervalo paramétrico 0 ≤ t ≤ 1.

40 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
El segmento de recta r0 a r1 se determina mediante la ecuación vectorial r(t) = (1 – t)r0 + t r1 donde 0 ≤ t ≤ 1

41 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 Demostrar que las rectas L1 y L2 con ecuaciones paramétricas x = 1 + t y = –2 + 3t z = 4 – t x = 2s y = 3 + s z = –3 + 4s Son rectas oblicuas. Es decir, no se intersectan y no son paralelas, y por lo tanto no pertenecen al mismo plano.

42 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 Las líneas no son paralelas porque los vectores correspondientes <1, 3, –1> and <2, 1, 4> no son paralelos. Sus componentes no son proporcionales.

43 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 Si L1 y L2 tuvieran un punto de intersección, habría valores de t y s tales que 1 + t = 2s –2 + 3t = 3 + s 4 – t = –3 + 4s

44 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 Pero, si se resuelven las dos primeras ecuaciones, se obtiene: t = y s = Y estos valores no sotisfacen a la tercera ecuación.

45 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 Por lo tanto, no hay valores de t y s que satisfagan simultameamente las tres ecuaciones. Así, L1 y L2 no se intersectan.

46 ECUACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
Ejemplo 3 En consecuencia, L1 y L2 son rectas oblícuas.

47 PLANOS Aunque una recta en el espacio se determina por un punto y una dirección, un plano en en el espacio es más difícil de describir. Un solo vector paralelo al plano es insuficiente para llevar la dirección del plano.

48 PLANOS Pero, un vector perpendicular al plano especifica por completo su dirección.

49 Así, un plano en el espacio se determina por:
PLANOS Así, un plano en el espacio se determina por: Un punto P0(x0, y0, z0) en el plano Un vector n que es ortogonal al plano

50 Este vector ortogonal n se llama vector normal.

51 Sea P(x, y, z) Un punto arbitrario en el plano.
PLANOS Sea P(x, y, z) Un punto arbitrario en el plano. Y sean r0 y r1 los vectores de posición de P0 y P. Entonces, el vector r – r0 se representa por

52 El vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano dado.
PLANOS El vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano dado. En particular, n es ortogonal a r – r0.

53 Y por lo tanto, tenemos: n . (r – r0) = 0
ECUACIONES DEL PLANO Ecuación 5 Y por lo tanto, tenemos: n . (r – r0) = 0

54 Que se puede reescribir como: n . r = n . r0
ECUACIONES DEL PLANO Ecuación 6 Que se puede reescribir como: n . r = n . r0

55 La ecuación 5 o la 6 se llaman ecuación vectorial del plano.

56 Para obtener una ecuación escalar del plano se escribe:
ECUACIONES DEL PLANO Para obtener una ecuación escalar del plano se escribe: n = <a, b, c> r = <x, y, z> r0 = <x0, y0, z0>

57 ECUACIONES DEL PLANO Entonces, la ecuación vectorial 5 se transforma: <a, b, c> . <x – x0, y – y0, z – z0> = 0

58 a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
ECUACIÓN ESCALAR Ecuación 7 Que también podemos escribir como: a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Esta es la ecuación escalar del plano que paso por P0(x0, y0, z0) con vector normal n = <a, b, c>.

59 Determine las intersecciones con los ejes y bosqueje el plano.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 4 Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2, 4, –1) con vector normal n = <2, 3, 4>. Determine las intersecciones con los ejes y bosqueje el plano.

60 Si en la ecuación 7, ponemos
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 4 Si en la ecuación 7, ponemos a = 2, b = 3, c = 4, x0 = 2, y0 = 4, z0 = –1, tenemos: 2(x – 2) + 3(y – 4) + 4(z + 1) = 0 o x + 3y + 4z = 12

61 Similarmente para y tenemos 4 y z tenemos 3.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 4 Para la intersección con x hacemos y = z = 0 en la ecuación y obtenemos x = 6. Similarmente para y tenemos 4 y z tenemos 3.

62 Esto nos permite bosquejar la porción del plano del primer octante.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 4 Esto nos permite bosquejar la porción del plano del primer octante.

63 ECUACIONES DEL PLANO Al reunir los términos de la ecuación 7 como se hizo en el ejemplo 4, se puede reescribir la ecuación del plano como sigue.

64 ax + by + cz + d = 0 donde d = –(ax0 + by0 + cz0)
ECUACION LINEAL Ecuación 8 ax + by + cz + d = 0 donde d = –(ax0 + by0 + cz0) Esta ecuación es llamada ecuación lineal en x, y, y z.

65 ECUACIÓN LINEAL A la inversa, se puede demostrar que, si a, b, y c no son todos 0, entonces la ecuación lineal 8 representa un plano con vector normal <a, b, c>.

66 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 5 Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P(1, 3, 2), Q(3, –1, 6), R(5, 2, 0)

67 a = <2, –4, 4> b = <4, –1, –2>
ECUACIONES DEL PLANO Example 5 Los vectores a y b correspondientes a y son: a = <2, –4, 4> b = <4, –1, –2>

68 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 5 Puesto que a y b estan en el plano, su producto cruz a x b es ortogonal al plano y se puede tomar como el vector normal.

69 ECUACIONES DEL PLANO Example 5 Entonces,

70 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 5 Con el punto P(1, 2, 3) y el vector normal n, una ecuación del plano es: 12(x – 1) + 20(y – 3) + 14(z – 2) = 0 o x + 10y + 7z = 50

71 Encontrar el punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 6 Encontrar el punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas x = 2 + 3t y = –4t z = 5 + t Intersecta al plano 4x + 5y – 2z = 18

72 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 6 Se sustituyen las expresiones para x, y, y z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano: (2 + 3t) + 5(–4t) – 2(5 + t) = 18

73 Obtenemos –10t = 20. donde, t = –2.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 6 Obtenemos –10t = 20. donde, t = –2. Por lo tanto, el punto de intersección ocurre cuando t = –2.

74 Tenemos, x = 2 + 3(–2) = –4 y = –4(–2) = 8 z = 5 – 2 = 3
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 6 Tenemos, x = 2 + 3(–2) = –4 y = –4(–2) = z = 5 – 2 = 3 Por lo tanto el punto de intersección es: (–4, 8, 3).

75 Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
PLANOS PARALELOS Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

76 Por ejemplo, los planos x + 2y – 3z = 4 y 2x + 4y – 6z = 3
PLANOS PARALELOS Por ejemplo, los planos x + 2y – 3z = 4 y 2x + 4y – 6z = 3 Son paralelos porque: Sus vectores normales son n1 = <1, 2, –3>y n2 = <2, 4, –6> y n2 = 2n1.

77 Si dos planos no son paralelos, entonces
PLANOS NO PARALELOS Si dos planos no son paralelos, entonces Su intersección es una recta. El ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales.

78 Encuentre el ángulo entre los planos x + y + z = 1 y x – 2y + 3z = 1
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 Encuentre el ángulo entre los planos x + y + z = 1 y x – 2y + 3z = 1 Obtenga las ecuaciones simétricas para las recta de intersección L de estos dos planos.

79 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 a Los vectores normales de estos planos son: n1 = <1, 1, 1> n2 = <1, –2, 3>

80 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 a Así, si θ es el ángulo entre los planos, el corolario 6 en la sección12.3 nos da:

81 Necesitamos encontrar primero un punto sobre L.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 b Necesitamos encontrar primero un punto sobre L. Por ejemplo, podemos encontrar el punto donde la recta intersecta al plano xy- si se establece z = 0 en la ecuación de ambos planos. Obtenemos las ecuaciones x + y = 1 y x – 2y = 1 cuya solución es x = 1, y = 0. Por lo tanto el punto (1, 0, 0) pertenece a la recta L.

82 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 b Como L pertenece a ambos planos, es perpendicular a ambos vectores normales. Así, un vector v paralelo a L es dado por el producto cruz

83 Por lo tanto, las ecuaciones simetricas de L se pueden escribir como:
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 7 b Por lo tanto, las ecuaciones simetricas de L se pueden escribir como:

84 Puesto que una ecuación lineal en x, y, y z representa un plano.
NOTA Puesto que una ecuación lineal en x, y, y z representa un plano. También, dos planos no paralelos intersectan en una línea. Se deduce que dos ecuaciones lineales pueden representar una recta.

85 Los puntos (x, y, z) que satisfacen a a1x + b1y + c1z + d1 = 0
NOTA Los puntos (x, y, z) que satisfacen a a1x + b1y + c1z + d1 = 0 y a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Estan en ambos planos. Así, el par de ecuaciones lineales representa la recta de intersección de los planos (si no son paralelos).

86 NOTA Por ejemplo, en el ejemplo 7, la recta L se obtuvo como la recta de intersección de los planos x + y + z = 1 y x – 2y + 3z = 1

87 Que es de nuevo un par de ecuaciones.
NOTA Las ecuaciones simétricas que se encontraron para L se podría escribir como: Que es de nuevo un par de ecuaciones.

88 NOTA Estas muestran a L como la línea de intersección de los planos (x – 1)/5 = y/(–2) y y/(–2) = z/(–3)

89 Se puede considerar a la recta como la intersección de los dos planos
NOTA En general, cuando escribimos las ecuaciones de una recta en forma simétrica Se puede considerar a la recta como la intersección de los dos planos

90 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 8 Encontrar una fórmula pra la distancia D desde un punto P1(x1, y1, z1) a el plano ax + by + cz + d = 0.

91 Sea P0(x0, y0, z0) un punto en el plano.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 8 Sea P0(x0, y0, z0) un punto en el plano. Sea b el vector correspondiente a Entonces, b = <x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0>

92 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 8 Podemos ver que la distancia D de P1 a el plano es el valor absoluto de la proyección escalar de b sobre el vector normal n = <a, b, c>.

93 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 8 Así,

94 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 8 Puesto que P0 pertenece al plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano. Por lo tanto tenemos: ax0 + by0 + cz0 + d = 0.

95 Así, la fórmula para D puede escribirse como:
ECUACIONES DEL PLANO E. g. 8—Formula 9 Así, la fórmula para D puede escribirse como:

96 ECUACIONES DEL PLANO Example 9 Encuentre la distancia entre los planos paralelos x + 2y – 2z = 5 y 5x + y – z = 1

97 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 9 Primero, notamos que los planos son paralelos porque sus vectores normales <10, 2, –2> y <5, 1, –1> son paralelos.

98 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 9 Para encotrar la distancia D entre los planos, se elige un punto sobre un plano y se calcula la dsitancia al otro plano. En particular, si hacemos y = z =0 en la ecuación del primer plano, wobtenemos 10x = 5. Así, (½, 0, 0) es un punto en este plano.

99 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 9 Por la fórmula 9, la distancia entre (½, 0, 0) y el plano 5x + y – z – 1 = 0 es:

100 Encuentre la distancia entre ellas.
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 En el ejemplo 3, mostramos que las rectas L1: x = 1 + t y = –2 + 3t z = 4 – t L2: x = 2s y = 3 + s z = –3 + 4s Son oblícuas. Encuentre la distancia entre ellas.

101 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Puesto que las rectas L1 y L2 son oblícuas, se puede considerar que yacen en dos planos paralelos P1 y P2. La distancia entre L1 y L2 es la misma distancia entre P1 y P2. Que se puede calcular como en el ejemplo 9.

102 El vector normal común para ambos planos debe ser ortogonal a:
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 El vector normal común para ambos planos debe ser ortogonal a: v1 = <1, 3, –1> (dirección de L1) v2 = <2, 1, 4> (dirección de L2)

103 Así, un vector normal es:
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Así, un vector normal es:

104 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Si se escribe s = 0 en las ecuaciones de L2, obtenemos el punto (0, 3, –3) en L2. Así, una ecuación para P2 es: (x – 0) – 6(y – 3) – 5(z + 3) = 0 o x – 6y – 5z + 3 = 0

105 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Si ahora establecemos t = 0 en las ecuaciones para L1, obtenemos el punto (1, –2, 4) sobre P1.

106 ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Así, la distancia entre L1 y L2 es la misma que la distancia de (1, –2, 4) a 13x – 6y – 5z + 3 = 0.

107 Por la fórmula 9, tenemos:
ECUACIONES DEL PLANO Ejemplo 10 Por la fórmula 9, tenemos: