LECCIÓN 6: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES El interés reside en la observación y análisis de más de una variable aleatoria.

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1 LECCIÓN 6: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
El interés reside en la observación y análisis de más de una variable aleatoria Variables aleatorias bidimensionales discretas (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los posibles valores de (X,Y) son finitos o infinitos numerables. (Xi,Yj) i=1,2,....,k j=1,2,....,p Variable aleatorias bidimensionales continuas (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si puede tomar todos los valores posibles dentro de un par de valores dados.

2 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O DE CUANTÍA CONJUNTA
Sean X,Y dos variables aleatorias discretas, definimos la función de probabilidad conjunta o función de cuantía conjunta. Pij=P(X=xi;Y=yj) Y1 Y2 Y3 ... Yp P(xi) X1 P11 P12 P P1p P(x1) X2 P21 P22 P P2p P(x2) X3 P31 P32 P P3p P(x3) .. Xk Pk1 Pk2 Pk3 ... Pkp P(xk) P(yj) P(y1) P(y2) P(y3) ... P(yp)

3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA (V. DISCRETAS)
A cada elemento (X,Y) se le hace corresponder una F(X,Y) suma de los valores que toma la función de probabilidad en los puntos (X,Y) que verifica: F(x,y)=P(Xx; Yy ) F(x,y)= P(X=xi; Y=yj ) Propiedades: 0F(x,y)1 F(x,y) es monótona creciente si x1<x2 entonces F(x1,y)F(x2,y) y si y1<y2 entonces F(x,y1)F(x,y2) x Lim F(x,y)=1 x,y  Lim F(x,y)=0 x,y- 

4 Una moneda corriente se lanza tres veces
Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X =número de caras en los tres lanzamientos, e Y=diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de cruces en los tres lanzamientos. a) Obtener la distribución de probabilidad (X,Y) b) Obtener las distribuciones marginales de X e Y c) Distribución de X condicionada a que Y=3 d) Distribución de Y condicionada a que X=2

5 VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS
FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTA Definimos f(x.y) a partir de la derivada respecto de la función de distribución f(x,y) 0 -<x< , -<y< 

6 VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA La función de distribución F(x,y) viene dada por: Propiedades: F(x,y) 0 La probabilidad de la función en todo el espacio muestral es igual 1

7 La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es:
x+y para 0<x<1 ; 0<y<1 0 en otro caso a) Probar su estructura de función de densidad b) Encontrar la función de distribución conjunta f(x,y)=

8 P(1<X<3; 1<Y<2)
Encuentre la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y cuya función de distribución conjunta es: (1-e-x)(1-e-y) para x>0; y>0 0 en otro caso Utiliza la función de densidad para determinar P(1<X<3; 1<Y<2) F(x,y)=

9 DISTRIBUCIONES MARGINALES
Conociendo la distribución conjunta de la variable (x,y) podemos conocer las distribuciones unidimensionales de X e Y por separado La distribución marginal de Y es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de Y y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de Y. La distribución marginal de X es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de X y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de X. Variables continuas Variables discretas P1(x)=P(x,y) y P2(y)=P(x,y) x

10 La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es:
2/3(x+2y) para 0<x<1 ; 0<y<1 0 en otro caso a) Hallar la distribución de densidad marginal de X y de Y b) Encuentre la densidad condicional de X dado Y=y, y úsela para evaluar P(X1/2 Y=1/2) f(x,y)=

11 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES
Variables discretas: 1) De X F1(x)=P(Xx; Y< )=P(xi) x 2) De Y F2(y)=P(X<;Y y)=P(yj) y Variables continuas 1) De X 2) De Y

12 FUNCIONES CONDICIONADAS
Función cuantía condicionada Función de densidad condicionada Variables discretas: a un valor cualquiera X fijo P(y/x)=P(x,y)/P1(x) P1( x)>0 a un valor cualquiera Y fijo P(x/y)=P(x,y)/P2(y) P2( y)>0 Variables continuas: a un valor cualquiera X fijo f(y/x)=f(x,y)/f1(x) f1( x)>0 a un valor cualquiera Y fijo f(x/y)=f(x,y)/f2(y) f2( y)>0 Función de distribución condicionada de X F(x/y)=P(Xx/Y=y)=F(x,y)/F2(y) de Y F(y/x)=P(Yy/X=x)=F(x,y)/F1(x)

13 M(r,s)(b,d)=E[(x-b)r(y-d)s
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Momentos estadísticos M(r,s)(b,d)=E[(x-b)r(y-d)s MOMENTOS NO CENTRADOS O RESPECTO AL ORIGEN b=0 y d=0 Variables discretas r,s=E[(x)r(y)s=  PijXirYjs Variables continuas r,s=E[(x)r(y)s=

14 1,0=E[(x) 0,1=E[(y) 1,0=E[(x)2 0,2=E[(y)2 1,1=E[(x)(y)

15 VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
MOMENTOS CENTRADOS O RESPECTO A LA MEDIA b=E(X) y d=E(Y) Variables discretas mr,s=E[(x-E(x))r(y-E(y))s=  Pij(Xi-E(x))r(Yj-E(y))s) Variables continuas mr,s=E[(x)r(y)s=

16 m1,0=0 m0,1=0 m2,0= 2,0-1,0=x2 m0,2= 0,2-0,1= y2 m1,1=cov(xy)

17 P(xi/yj)=P(xi) f(x/y)=f1(x) P(yj/xi)=P(yj) f(y/x)=f2(y) También
CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES ALEATORIAS P(xi/yj)=P(xi) f(x/y)=f1(x) P(yj/xi)=P(yj) f(y/x)=f2(y) También Variables discretas pij=p(xi)p(yj) Variables continuas f(x,y)=f1(x)f2(y) F(x,y)=F1(x)F2(y)

18 Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables X e Y y sea g(z)=g(x,y) una función de z. a) Variables discretas E[g(x,y)=  g(xi,yj)Pij b) Variables continuas E[g(x,y)= Propiedades: E[g(x)+g(y)= E[g(x) +E[g(y) E[g(x)*g(y)= E[g(x) *E[g(y)

19 Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables
X e Y llamaremos vector de varianzas.z2=(x2,y2) a) Variables discretas 2[g(x,y) =  [g(xi,yj)-E[g(x,y)pij b) Variables continuas 2= Propiedades: 2 (x+y)= 2 x+ 2 y 2 (x-y)= 2 x+ 2 y

20 A partir de la siguiente distribución bidimensional
Y X P(yj) P(xi) a) Vector de medias b) Calcular E(g(x,y)) donde g(x,y)=x+y