Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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1 Matemáticas 2º Bachillerato C.S.
INTEGRALES U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

2 CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE FUNCIONES
U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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ÁREAS ENTRE FUNCIONES ÁREA PLANA LIMITADA POR DOS CURVAS Sean dos funciones f(x) y g(x) que se cortan o inter-seccionan en dos puntos, (a , f(a)) y (b , f(b)). El área que delimitan ambas funciones es la diferencia de áreas de cada función con el eje OX. b b Área = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx = a a A = | Área | Ya que el área entre curvas siempre es positiva. Y f(b)=g(b) y = f(x) f(a)=g(a) y = g(x) a b X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x2 con la función y = x La intersección de ambas funciones son los puntos (0,0) y (1,1). El área pedida será el que forma la recta con el eje OX menos el que forma la curva con el eje OX. Área = ∫ x dx – ∫ x2 dx = 1 = [ x2/ 2 – x3/ 3 ] = = [ 1/ 2 – 1 / 3 ] = 1/ 6 u2 Y 1 y = x y = x2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = 3 – x2 con la función y = x+1 La intersección de ambas funciones son los puntos (-2,-1) y (1,2). El área pedida será el que forma la curva con el eje OX menos el que forma la recta con el eje OX. Área = ∫ (3 – x2) dx + ∫ (3 – x2) dx – -√ √3 – ∫ (x+1) dx – ∫ (x+1) dx + ∫ (3 – x2) dx Y 3 y = x+1 X y = 3 – x2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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… EJEMPLO_2 Área = ∫ (3 – x2) dx + ∫ (3 – x2) dx – -√ √3 – ∫ (x+1) dx – ∫ (x+1) dx + ∫ (3 – x2) dx Área = [3.x – x3/3] – [x2 /2 + x] = Área = [3.1 – 13/3] – [3.(-2) – (-2) 3/3] – [12 /2 + 1] + [(-2)2 /2 + (-2)] = Área = [3 – 1/3] – [ /3] – [1/2 + 1] + [2 – 2] = Área = 8/3 + 10/3 – 3/2 = 6 – 3/2 = 9/2 = 4,50 unidades @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = 4 – x2 con la función y = ex La intersección de ambas funciones son los puntos (-1´8,0´1) y (1´1,2´8) aproximadamente. El área pedida será el que forma la curva con el eje OX menos el que forma la otra curva con el eje OX. 1, ,1 Área = ∫ (4 – x2) dx – ∫ (ex) dx – -1, ,8 1,1 =[(4.x – x3/3 – ex)] = -1,8 = (4.1,1 – 1,13/3 – e1,1) – (4.(-1,8) – (-1,8)3/3 – e(-1,8)) = = (4,4 – 0,44 – 3) – (– 7,2 + 1,94 – 0,16) = 6,38 u. Y 4 y = ex y = 4 – x2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x2 – 1 con la función negativa de la circunferencia x2 + y2 = 1 La intersección de ambas funciones son los puntos (-1,0), (0,–1) y (1, 0). El área pedida será el que forma la curva y = – √(1 – x2) con el eje OX menos el que forma la otra curva (parábola) con el eje OX. Al ser simétrica: Área = 2. [ ∫ (x2 – 1) dx – ∫ (– √(1 – x2)) dx] = 1 = 2.[(x3/3 – x)] + π. 12 /2 = = 2.(1/3 – 1) + π / 2 = = 3,1416 / 2 – 4/3 = 0,24 u. Y X y =x2 – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_5 Hallar el área que forman las funciones y = 2x e y = x2 Previo: Puntos de corte x = 2 es uno de ellos. x = – 0,5 es el otro Al ser todas las áreas positivas Área = ∫ 2x dx – ∫ x2 dx = -0, ,5 = [2x /ln2] – [x3/ 3] = -0, ,5 = (5,7707 – 1,0201) – – (8/3 + 0,125/3) = = 4,7506 – 2,7083 = = 2,0423 u2 Y 4 3 2 1 y = 2x y = x2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_6 Hallar el área que encierran las funciones y = x3 – x e y = x Por el dibujo vemos que ambas funciones tienen simetría impar. Las áreas A1 y A6 con iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A2 y A5 son iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A3 y A4 son iguales, aunque con distinto signo. El área A1 es diferencia de dos áreas. y = x A6 y = x3 - x Previos Calculamos el corte de ambas. Resulta el sistema: y = x3 – x y = x Por igualación: x3 – x = x  x3 = 2.x x=0 es una solución. x2 = 2  x = ±√2 son las otras dos A3 A5 A4 -√ √2 A2 A1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.

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Resolución A1 = ∫ x dx – ∫ x3 – x dx = [ x2 / 2 ] – [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = – √ – √ – √ – √2 = [ 1 / 2 – 2 / 2 ] – [ (1/4 – ½) – (4/4 – 2/2)] = – 0,5 – ( – 0,25)= – 0,25 A2 = ∫ x dx = [ x2 / 2 ] = 0 – ½ = – 0,5 – – 1 A3 = ∫ x3 – x dx = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = 0 – (1/4 – ½) = 0,25 – – 1 El área pedida será: A = 2.|A1| + 2.|A2|+2.A3 = 2.| – 0,25|+2.| – 0,5|+2.0,25 = 2 u2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.S.