Electrical and Computer Engineering Dept.

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1 Electrical and Computer Engineering Dept.
Magnetism En este capitulo vamos a presentar la ciencia de Magnetismo, incluyendo la teoría y sus aplicaciones. Veremos que la teoria De campos magnéticos tiene mucha analogía con la de campus eléctricos que hemos visto hasta ahora. En vez de la ley de Coulomb y de Gauss, presentaremos leyes análogas llamadas la Ley de Biot-Savart y la de Ampere. INEL 4151 Dr. Sandra Cruz-Pol Electrical and Computer Engineering Dept. UPRM ch 7

2 μαγνήτης λίθος= magnetis lithos
Desde la antigüedad se conocían los efectos de campo magnético en algunos objetos. Los imanes son piedras que están naturalmente magnetizadas y se usaban para hacer brújulas. Las cuales guiaban a los navegantes de antaño. La palabra ‘magnet’ en ingles se origina del Griego y significa ”piedra de Magnesia”,  magneto proviene del griego magnítis líthos (μαγνήτης λίθος) Magnesia era una isla donde abundaban estas piedras. μαγνήτης λίθος= magnetis lithos

3 Magnissia , Grecia

4 Applications Motors Transformers MRI More…
Hoy día los imanes y los campos magnéticos se usan para un sinnúmero de aplicaciones como Almacenar datos de computadora, en medicina para hacer imágenes MRI ( Magnetic Resonance Imaging) En sensores para activar dispositivos, en monitores, en todos los motores y generadores eléctricos, En electromagnetos que atraen autos y materiales de metal, y hasta en el tren de levitación magnético que corre a gran velocidad porque no tiene fricción pues no toca ferrocarril.

5 H= magnetic field intensity [A/m]
B= magnetic field (or flux) density [Teslas] In free space the permeability is: Análogo a la D (densidad del campo electrico) y E (intensidad del campo electrico) Ahora tenemos B (densidad de campo magnetico) el cual se mide en Teslas, Y H (intensidad del campo magnetico) en Amperes por metro. En lugar de usar la permitividad del espacio en Faradios/m, se usa la permeabilidad miu sub cero= en Henrios /m,

6 Magnetic Field Biot-Savart Law
States that: Comenzamos con la Ley de Biot Savart, la misma establece que el campo magnético debido a una corriente constante Es proporcional a la corriente y a la distancia que recorre e inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. A diferencia del campo eléctrico, el campo magnético tiene dirección perpendicular a la corriente que la causa, siguiendo la regla de la mano derecha: o sea: si usted mueve sus 4 dedos en dirección de H, el dedo gordo indica hacia donde esta la corriente. La regla de la mano derecha también se puede aplicar al producto cruz, donde ponemos el dedo índice en la dirección a la corriente, y el dedo anular en dirección de r, la dirección de H esta dada por la dirección del dedo gordo.

7 Example: Segment of current
af El 1er caso que discutiremos es el caso de un segmento de línea que lleva una corriente eléctrica, constante en el tiempo. La ley de Biot-Savart establece que H = I /4pi rho por la diferencia de los cosenos de los ángulos alfa. En este caso el alfa1 esta definido entre la línea que llega perpendicular al eje donde comienza la corriente, y el alfa 2 se Define como el ángulo hasta donde termina la corriente. El campo H resultante va en dirección azimut. Fíjese que estamos usando coordenadas cilíndricas dada la geometría del problema. En el caso de línea infinita, es un caso especial a esta, donde alfa 2= 0 y alfa 1 = 180 grados. En ese caso la H= corriente /2 pi rho en dirección azimut. La dirección se determina con el producto cruz de dos vectores unitarios: en dirección a la corriente y en dirección a el radio que llega perpendicular al segmento. Fíjense que la forma matemática de la intensidad es igual a la del campo E de línea infinita, con otras unidades por supuesto. Sin embargo, la dirección es distinta. For an infinite line filament with current I (a1=180o and a2=0o):

8 PE. 7.1 Find H at (0,0,5) Due to 10A current in: where a2=90o and r a1
z Due to 10A current in: where a2=90o and (0,0,5) r b y 10A 1 a1 x Vamos a resolver un problema de ejemplo. El 7.1 nos pide hallar el campo magnetico en el punto 0,0,5 Dada una corriente de 10A en una linea no infinita que esta en azul en la figura. De la geometria de la figura se puede determinar fácilmente que alfa 2 = 90 grados. Y el cos de 90 =0 Para obtener alfa 1, es mas facil obtener primero el ángulo b, y decir que alfa1= 180 –b. El Cos de b se halla del lado Adyacente (raiz de 1^2 + 1 ^2) sobre la hipotenusa ( raiz de 5^ + raíz de 2^2) = raiz de 2/27 Utilizando la identidad trigonométrica que indica que el cosb = - cos(180 -b) entonces = -cos (alfa1) y lo sustituimos en la Equacion para H. La distancia radial rho se determina de la figura como que es = 5, Lo ultimo que falta es la dirección definida como mencionamos anteriormente; el producto cruz de los vectores unitarios de la dirección de la corriente(que en este caso según se ve en la figura, es la direccion normalizada de –x y –y) , y de la rho (en este caso es z). El resultado del producto punto es que el campo tiene componentes en –x y en +y. El resultado es 30.6mA/m

9 Ej. Find H at the origin for:
y 1 a2 6A r af 1 a1 x Ahora veremos otro ejemplo. Debemos hallar H en el origen debido a una linea que carga una corriente En la dirección que se muestra en la figura Por geometría podemos determinar que alfa 2= 45 grados y alfa1 =135 grados, El radio se puede obtener como raíz 2 sobre 2 y la dirección con el producto cruz de La dirección de la corriente (que es –x y +y normalizado), y la dirección de el radio q conecta la línea con el punto De observación (origen), que es –x y –y , normalizados. Esto da dirección en z, lo cual se puede verificar con la regla de la mano derecha. Sustituyendo todo , el campo se obtiene como 0.95 A/m en z

10 Circular loop of I Defined by Apply Biot-Savart:
dl R z y dHz dHr x Defined by Apply Biot-Savart: Only z-component of H survives due to symmetry: =r df Vamos a ver cuanto seria el campo H en un punto a una altura h en el centro de un lazo producido por una corriente I que circula en el lazo, el cual está definido por x^2 + Y^2 =9 Primero hacemos el dibujo del lazo. 2.Luego aplico Biot Savart, el producto cruz se puede hacer con esta matriz, Donde hemos identificado que el dL de la corriente = rho X dPhi, (que es la eq de un arco), y el vector de distancia Perpendicular a la corriente es el radio pho. Debido a simetría, solo sobrevive el componente z de H. Lo hallado en la eq de Biot-S, queda el integral que se muestra. Recuerden que hay que normalizar el vector de R , por eso es que abajo aparece un R al cubo. La integral en el ángulo azimut phi da 2 pi, todos los demás términos son constantes con respecto a phi, Así se obtiene que el campo magnético en h, como I pho^2 /2 x raiz al cubo del R. Fíjese q H es función de la cantidad de corriente I, la altura h y tamaño de lazo, rho. Las unidades son A/m

11 Ampere’s Law Simpler Analogous to Gauss Law for Coulomb’s
For symmetrical current distributions Recall Gauss Law: Ahora veamos algo análogo a la ley de Gauss para campos E, Se llama la Ley de Ampere Se puede usar solo en casos donde la distribución de I es simétrica.

12 Ampere’s Law We define an Amperian path where H is constant.
La ley de Ampere establece que la integral de H*dl es = a la corriente que pasa por dentro del area Delimitada por el paso cerrado descrito por dL Si escogemos el paso Amperiano donde H es constante, queda simplificada la integral pues desaparece el producto punto.

13 Infinitely long coaxial cable
z Four cases: 1) For r<a Veamos el caso de un cable coaxial infinitamente largo. : Escogeremos 4 regiones. Primero dentro del conductor interno. Usando la Ley de Ampere, escogemos 1) el área cruzada por donde pasa la corriente Y 2) el paso cerrado que delimita esa area Como la corriente es uniforme dentro de ese conducto interno, se puede hallar J como la I total dividida Entre el área cruzada del cable, q es pi x a^2 El elemento de area es rho dphi drho, y por el otro lado de la ecuaciones, todo esto tiene que ser = a la integral de H en el circulo q delimita el área, o sea, 2 pi rho. Solo sobrevive el componente azimut de H, q es cuando Único el producto punto sea 1 en esta integral de H. Igualando y despejando por H, queda = I rho/ 2 pi a^2

14 Infinitely long coaxial cable
z Four cases: 2) For a<r<b Ahora para el espacio entre conductores, o sea para valores de rho entre a y b, cuando calculamos la corriente encerrada con la integral de J por area Debemos integrar solamente hasta rho = a, pues es donde existe corriente. La integral de H nuevamente da H por 2 pi rho. Despejando por H encontramos el campo magnetico para esta region.

15 Infinitely long coaxial cable
Four cases: 3) For b<r<b+c z Luego para dentro del conductor exterior, o sea, para valores de rho entre b y b+c, Los limites de la integral de J van desde radio rho =b hasta rho. Y la integral de H vuelve a dar el mismo resultado q encontramos anteriormente, pues sigue siendo Un circulo de circunferencia = 2 pi rho. Igualando ambos resultados y despejando por H, encontramos que el campo Magnético en esta región esta dado por la expresión presentada aquí y es en dirección azimut nuevamente.

16 Infinitely long coaxial cable
Four cases: 4) For r>b+c Y finalmente para fuera del cable debido a que la corriente fluye hacia direcciones opuestas en los dos Conductores y ambas están dentro del paso, cuando el radio rho es mayor que b+c, Tenemos que la corriente se cancela y el campo magnético en esta región es cero.

17 Sheet of current distribution
K [A/m] b a x z y 2 4 1 3 Cross section is a Line! Recall we had rv, rs in C/m3, C/m2 The H field is given by: The H field on the Amperian path is given by: Veamos ahora cuanto es el campo magnético producido por una distribución de corrientes en una hoja de 2 dimensiones, Donde existe una corriente K en A/m en el plano xy. Según la regla de la mano derecha, notando la direccion de la corriente K, Vemos que H va en dirección a +x para valores de z positivos y en dirección de negativo x para valores de z negativos. La corriente total encerrada es K X b en amperios. El paso Amperiano escogido esta dado por los 4 segmentos 1-2, 2-3, 3-4, y 4-1. Al integrar en cada segmento debemos de notar si el producto punto es =1 o cero, o sea Si H es paralelo o no al elemento de largo. Como vemos, la integral da cero en el segmento 1-2 debido a que H esta en dirección de x. En el segmento 2-3 tenemos que el campo es –Ho y la direccion es –b, En el segmento 3-4 vuelve a dar cero debido a que el producto punto es cero por la dirección de H en comparación con el elemento de Distancia que es en dirección a z En el segmento de 4 a 1, el campo es +Ho y la distancia es b. Sumando esto da a =2Ho b, y despejando por H tenemos la solución para este caso que Depende de donde esta el campo , encima o debajo del plano de corriente. Se puede expresar esta solución de una forma más general Usando la normal a la superficie an, y expresándolo como un producto cruz de la corriente K (en A/m) con la normal. Así es valida para toda región. In General:

18 PE. 7.5 Sheet of current Plane y =1 carries a current K=50 az mA/m. Find H at (0,0,0). y K =50 mA/m z Veamos este ejemplo. Un plano en y=1 carga una corriente K= 50 mA/m en dirección a z Halle H en el origen. Usaremos la formula general, pues no depende de la orientación del plano. En este caso la normal es en dirección a negativo y, pq el punto de observación está debajo del plano. Calculando el producto cruz , nos da que H = 25mA/m en direccion a positivo x. Note que puede usar la regla de la mano derecha para calcular el producto cruz de +z con–y Y el dedo gordo apuntara a +x, que es la direccion de H. -x

19 Line Segment Infinite Line Loop Infinite Plane H h a2 a1 r r z Hz z R
dl R z y Hz x h Loop Infinite Plane En resumen hemos visto estos cuatro casos usando Biot Savart y también la ley de Ampere. Linea finita Linea infinita Lazo Y Hoja plana K [A/m] b a x z y 2 4 1 3

20 Magnetic Flux Density, B
The magnetic flux is defined as: which flows through a surface S. The total flux thru a closed surface in a magnetic field is: Webers = Teslas * m2 Ahora vamos a definir lo que es el flujo magnetico Psi y su relacion a la densidad de flujo magnetico B El flujo se define como cuanta densidad de campo magnético atraviesa perpendicularmente a una superficie S . De ahí la integral Con producto punto pues la normal a la superficie debe estar en paralelo con el campo. Se mide en Webers, donde 1 Wb= T m^2 El flujo total en una superficie cerrada es la integral con área cerrada = cero, = a la integral de la divergencia de B con el Elemento de volumen, donde ese volumen está delimitado por la superficie cerrada. Es cero porque un imán no se puede partir en dos, como es el caso de las cargas electricas que Se dividen las positivas de las negativas. Por ej. Si partes un iman en dos, para separar los polos, se forman otros polos Norte y Sur. En otras palabras, no existe un monopolo. Recall Monopole doesn’t exist.

21 Maxwell’s Equations for Static Fields
Differential form Integral Form Gauss’s Law for E field. Gauss’s Law for H field. Nonexistence of monopole Faraday’s Law; E field is conserved. Ampere’s Law Esta última ecuación del monopolo se conoce como la Ley de Gauss para campos Magnéticos. Ya habíamos visto la de Gauss para campo E. Esta tabla presenta todas las 4 ecuac. De Maxwell para campos estáticos. (DC) Mas adelante las estudiaremos para campos que varían con el tiempo. (AC) Se presentan en forma diferencial y en forma integral. Ya discutimos anteriormente la Ley de Faraday (de donde sale la Ley de voltajes de Kirchhoff) Y la ley de Ampere, la cual usaremos ahora para presentar dos nuevos términos.

22 Magnetic Scalar and Vector Potentials, Vm& A
When J=0, the curl of H is =0, then recalling the vector identity: We can define a Magnetic Scalar Potential as: The magnetic Vector Potential A is defined: Ahora presentaremos 2 nuevos términos conocidos como Potencial magnético escalar , Vm y Potencial magnético vectorial, A Cuando no hay corriente, la J=0 y entonces el rotacional de H =0 Aplicando la identidad vectorial ,vemos que entonces H = al del de un escalar, al cual llamamos Vm. El Potencial magnético vectorial, A se define como el rotacional para dar B. Que es la densidad del campo magnético.

23 The magnetic vector potential, A, is defined from:
It can be shown that: (we used this): The magnetic vector potential A is used in antenna theory. Substituting into equation for Magnetic Flux: Recordando la definición de H, y de B= mui por H Aplicamos en esta definición de A  para obtener que A = a la integral de mui I dl entre 4 pi R. En esta derivación hemos utilizado la regla de derivadas donde -del de 1/R = 1/R^2 Sustituyendo en la ecuación del flujo y comparando Obtenemos una nueva forma de hallar el flujo magnético a partir de A. This is another way of finding magnetic flux.

24 P.E. 7.7 A current distribution causes a magnetic vector potential of:
Find : B at (-1,2,5) Answer: Flux thru surface z=1, 0≤ x ≤1, -1≤y ≤4 Answer : Veamos un ejemplo: Una distribución de corriente desconocida causa un Potencial vectorial magnético dado por A= x^2 y en x, y^2 x en y y -4xyz en z Nos piden hallar B en el punto Aplicando el rotacional, usamos en forma de matriz y sustituimos lo que sabemos del problema. Luego de aplicar las derivadas parciales, y evaluar en ese punto obtenemos B = Teslas Para la 2da parte nos piden hallar el flujo a través de una superficie descrita por Z=1, para x entre 0 y 1, y Y entre -1 y 4. Escribimos la ecuación de flujo magnético y vemos que podemos hallar el mismo de 2 formas. Usando A, integramos el producto punto, lo cual hace que las integrales sean mas fáciles pues son de una dimensión. Evaluamos en casa uno de los 4 pasos, y vemos que la ultima integral da cero porque x=0 en ese paso. Integrando y evaluando el resultado nos da que el flujo es 20 webers.

25 A/m2

26 x y z 0<y<2 0<z<2

27 7.28 z y x B= (-6xz+4x2y+3xz2)ax+(y+6yz-4xy2) ay+(y2-z3-2x2-z)az Wb/m2
Draw surface

28 Questions?