1. Definición de variable aleatoria

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1 Tema 3 VARIABLES ALEATORIAS: FUNCION DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

2 1. Definición de variable aleatoria
2. Variables aleatorias discretas 2.1 Función de probabilidad 2.2. Función de distribución 2.3. Parámetros de una v.a. discreta 3. Variables aleatorias continuas 3.1. Función de distribución 3.2. Función de densidad 3.3. Parámetros de una v.a. continua

3 Bibliografía básica Amón, J. (1991). Estadística para psicólogos. Vol II. Madrid: Pirámide Botella, J., León, O., San Martín, R. y Barriopedro, M.I. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Teoría y Ejercicios. Madrid: Pirámide. Bibliografía complementaria Borel, E. (1971). Las probabilidades y la vida. Barcelona: Oikos. Gonick, L. y Smith, W. (1999). Estadística en cómic. Barcelona: Zambrera y Zariquiey. Merino, J.M., Moreno, E., Padilla, M.,Rodríguez-Miñón, P., Villarino, A. (2001). Análisis de Datos en Psicología I. Madrid: UNED.

4 Objetivo Introducir al alumno en el estudio de los conceptos más básicos que posteriormente permitirán introducir los modelos teóricos con los que se compararán los datos recogidos en una investigación.

5 1. Definición de variable aleatoria
Los espacios muestrales son conjuntos de sucesos elementales Debido a la utilidad que tiene en la ciencia en general, va a ser necesario atribuir números a los elementos del espacio muestral, ya que como sabemos éstos a veces son numéricos pero en otras ocasiones no. A su vez el hecho de asignar números a los elementos del espacio muestral va a servir para “resumir” datos, de modo que sea más fácil el manejo de éstos La manera en que vamos a atribuir números a los elementos de un espacio muestral va a ser a través de una función. Las variables aleatorias no son mas que funciones que cumplen ciertos requisitos. El concepto de V.A. surge ante la necesidad de cuantificar los resultados de los experimentos aleatorios para poder realizar un estudio matemático de los resultados.

6 Imaginemos que a cada suceso elemental posible de E se le asigna un número, es decir, los diferentes sucesos elementales son emparejados con valores de una variable. Así un suceso elemental puede se una persona con una altura en cm.; o el resultado de tirar un par de dados, asignando un número suma de los dos dados; o una rata que emplea X ensayos en recorrer un laberinto en T Consideremos un experimento con espacio muestral asociado E. Recibe el nombre de variable aleatoria a una función X, que asigna un número real a cada resultado posible sobre el espacio E (X: E→R)

7 Ejemplo 1: Supongamos que seleccionamos en la Facultad de Psicología a tres personas consecutivamente. El espacio muestral (E) asociado al experimento sería: E={(M,M,M), (M,M,H), (M,H,M), (M,H,H), (H,M,M), (H,M,H), (H,H,M), (H,H,H)} Se pueden definir diferentes variables aleatorias sobre el espacio muestral anterior. Por ejemplo, sea X la variable cuyos valores coinciden con el “número de mujeres seleccionadas”, la variable así definida toma los valores siguientes: E X MMM MMH MHM HMM MHH HMH HHM HHH 3 2 1

8 Ejemplo 2: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al “número de caras”, en este caso nuestra v.a. sería “numero de caras”

9 Sobre los sucesos elementales de E pueden definirse distintas variables aleatorias
Ejemplo 3: variables aleatorias definidas sobre los resultados del experimento “Tirar un dado no trucado” V.A. Número de puntos resultantes V.A. Obtener un múltiplo de 3

10 Notación Por convención las V.A. se denotan con letras mayúsculas (X, Y, Z,….) Para referirnos a los valores que toma la V.A. lo hacemos con las correspondientes letras minúsculas (xi) Para las variables discretas, nos referimos a la probabilidad de que X tome un valor dado x como P(X=x), que con frecuencia se simplifica a P(x) La probabilidad asociada a cada valor de la variable es la probabilidad unión de los sucesos elementales que dan lugar a ese valor (Ej. En la V.A.”Múltiplo de 3”, P(X=0) = 4/6 P(X=1) = 2/6

11 F(X)= f(xi)=p[x=xi]=pi
En el ejemplo de hombres y mujeres, la V.A. número de mujeres… F(X)= f(xi)=p[x=xi]=pi f(3)=p[x=3]=1/8=0.125 f(2)=p[x=2]=3/8=0.375 f(1)=p[x=1]=3/8=0.375 f(0)=p[x=0]=1/8=0.125

12 Tipos de Variables Aleatorias
Una variable aleatoria es discreta si puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Se definen sobre espacios muestrales finitos o infinitos numerables (Ej.: Número de ratas que salen por la izquierda; sacar un múltiplo de 3 en en lanzamiento de un dado; número de palabras recordadas en una tarea de memoria o número de errores en una tarea experimental) Una variable aleatoria es continua si puede tomar un número infinito no numerable de valores. se definen sobre espacios muestrales infinitos no numerables (Ej.: Extraer una persona al azar de la clase y anotar su altura, su peso, su nivel intelectual o, su nivel de motivación –en escalas continuas-)

13 2. Variables aleatorias discretas 2.1. Función de probabilidad
Si X es una v.a. discreta, su distribución consistirá en los valores que puede tomar junto con las probabilidades de que aparezcan dichos valores Se denomina “función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a aquella que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte dicho valor” La función de probabilidad se representa: f(xi)=p[X=xi]=pi Se cumple que: f(x)=P(X=x) para cualquier x que es un valor posible de X f(x)=0 para cualquier x que no es valor posible de X

14 En el ejemplo anterior:
f(xi)=p[x=xi]=pi f(3)=p[x=3]=1/8=0.125 f(2)=p[x=2]=3/8=0.375 f(1)=p[x=1]=3/8=0.375 f(0)=p[x=0]=1/8=0.125

15 Propiedades de la Función de Probabilidad
Si X toma valores x1, x2, ... , xn, entonces Σf(xi)=1 2. Si a<b<c, entonces P(aXc)=P(aXb)+P(b < Xc)

16 2.2. Función de distribución
Se denomina “función de distribución de una v.a. discreta X a aquella que asocia a cada valor de la variable (x) la probabilidad de que ésta adopte como mucho dicho valor” Es decir, la probabilidad de que la v.a. adopte dicho valor o cualquiera inferior. Se denota como F(xi), indicando: F(xi) = P(X≤xi) La relación entre la función de distribución y la de probabilidad es inmediata:

17 F(xi)=p[X xi] = p[x=xj]
Definimos la Función de Distribución como la función: F(xi)=p[X xi] = p[x=xj] También se le llama función de distribución de probabilidades acumuladas F(xi)=p[Xxi] = p[x=xj] f(0)=p[x0]=1/8 f(1)=p[x1]=4/8 f(2)=p[x2]=7/8 f(3)=p[x3]=8/8

18 Representaciones gráficas

19 Función de distribución
Ejemplo: V.A.: “Número de ratas que salen del laberinto en T por la izquierda”, del experimento aleatorio “Situar tres ratas en el centro de un laberinto en T” X f(xi) Función de probabilidad F(xi) Función de distribución 0,125 1 0,375 0,500 2 0,875 3 1,00 1,000

20 Representación gráfica de las funciones de probabilidad y de distribución de la v.a. del ejemplo

21 Propiedades de la Función de Distribución
1. F(x) es no decreciente a medida que x crece, es decir, x1<x2  F(x1)F(x2). 2. limx-F(x)=0 y lim xF(x)=1 3. P(a<x<b)=F(b) – F(a)

22 2.3. Parámetros de una v.a. discreta
La media , esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta: E[X]=  =ipixi La mediana de una variable aleatoria discreta será el valor x en el que se cumple que: F(x)=0,5 La moda en dicha variable será el valor de x en el que la función de probabilidad de la misma alcanza un máximo absoluto o relativo: La varianza de una variable aleatoria discreta es: V(X)=σ2=E[x2]-{E[x]}2 La desviación típica sería

23 Propiedades de los parámetros media y varianza
1. E[aX]=aE[X] y V(aX)=a2V(X) 2. E[X+a]=E[X]+a y V(X+a)=V(X) 3.E[X+Y]=E[X]+E[Y] siempre y V(X+Y)=V(X)+V(Y) si y sólo si (sii) X e Y son independientes. 4. E[X-Y]=E[X]-E[Y] y V(X-Y)=V(X)+V(Y) sii X e Y son independientes.

24 x p(x) P(x) x*P(x) X2 X2 *p(x) 0,125 0.125 0,000 1 0,375 0,500 2 0,875
0,125 0.125 0,000 1 0,375 0,500 2 0,875 0,750 4 1,500 3 1,00 9 1,125 3,000 Md= 1 Modas= 1 y 2

25 Ejemplo 1 Supongamos una prueba psicológica que sirve para medir el grado o nivel de ansiedad social. La prueba consta de cuatro preguntas que pueden responderse de forma positiva o negativa y se considera que las contestaciones positivas corresponden a detección de algún tipo de evidencia ansiosa. Si consideramos que esa prueba fuese válida para medir ansiedad social, podría considerarse el total de respuestas afirmativas como un índice indirecto de la intensidad de la misma. De esta forma el índice podría tomar un valor entre 0 y 4, el valor 0 sería interpretado como un inexistente nivel de ansiedad social, el valor 4 como un alto grado de ansiedad social y los valores intermedios corresponderían a los distintos niveles de ansiedad social entre los valores intermedios Vamos a calcular la función de probabilidad y de distribución de la variable aleatoria “número de respuestas afirmativas”

26 Primero hemos de calcular el espacio muestral (E)
S, S, S, S S N S, S, S, N S S S, S, N, S N N S, S, N, N S S S, N, S, S S N S, N, S, N N S S, N, N, S N N S, N ,N ,N

27 S N, S, S, S S N, S, S, N N S S N, S, N S N N, S, N, N N N N, N, S, S S S N, N, S, N N N N, N, N, S S N N N, N ,N ,N

28 X ni fi pi Fi Pi x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 1 4 6 1/16 4/16 6/16 0.063 0.250
E={(S,S,S,S), (S,S,S,N), (S,S,N,S), (S,S,N,N), (S,N,S,S), (S,N,S,N), (S,N,N,S), (S,N,N,N), (N,S,S,S), (N,S,S,N), (N,S,N,S), (N,S,N,N), (N,N,S,S), (N,N,S,N), (N,N,N,S), (N,N,N,N)} Llamaremos variable aleatoria X a la variable “número de respuestas afirmativas”. Luego las funciones de probabilidad y de distribución: X ni fi pi Fi Pi x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 1 4 6 1/16 4/16 6/16 0.063 0.250 0.375 5/16 11/16 15/16 16/16 0.313 0.688 0.938

29 Así: P(x=0)= p[x0]=0.063 P(x=1)= p[x1]=0.313 P(x=2)= p[x2]=0.688 P(x=3)= p[x3]=0.938 P(x=4)= p[x4]=1

30 Ejemplo 2 Consideramos a un grupo de 100 pacientes diagnosticados con un trastorno obsesivo compulsivo y que se encuentran en la última fase de su tratamiento. En la siguiente tabla se presenta la distribución del promedio de ideas obsesivas semanales de dichos pacientes Nº de ideas obsesivas semanales 1 2 3 4 5 7 Nº pacientes 15 40 23 10 a) Consideraremos la variable aleatoria X “promedio del número de ideas obsesivas semanales”. Calcula las funciones de probabilidad y de distribución de la variable. Así como, sus correspondientes representaciones gráficas

31 Considerando la VA “promedio del número de ideas obsesivas semanales”
Xi ni fi pi Fi Pi x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=7 15 40 23 10 7 4 1 15/100 40/100 23/100 10/100 7/100 4/100 1/100 0.15 0.40 0.23 0.10 0.07 0.04 0.01 55/100 78/100 88/100 95/100 99/100 100/100 0.55 0.78 0.88 0.95 0.99

32 Representaciones gráficas

33 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar del grupo tenga menos de dos ideas obsesivas en promedio semanalmente? ¿y tres ideas? ¿y tres o mas ideas obsesivas? ¿y mas de cuatro? P(x<2)=0.55 P(x=3)=0.10 P(x≥3)=1-(x<3)=1-0.78=0.22 P(x>4)=1-(x≤4)=1-0.95=0.05

34 c) Si se elige un paciente al azar de entre los que tienen en promedio al menos una idea obsesiva semanalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres ideas obsesivas en promedio semanalmente? P[x>3/x≥1] p(x≥1)= 1-p(x<1)=1-0,15=0,85 Nos piden la probabilidad condicionada de que x>3 sabiendo que x≥1 P[x>3/x≥1]=

35 3. Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria es continua si sus valores posibles son todos los números reales de un intervalo, es decir, si dados dos valores siempre hay uno intermedio. Existen infinitos valores posibles y entre cada dos de ellos se podrían definir infinitos más Puede tomar, por tanto, una infinidad no numerable de valores y por consiguiente la probabilidad de que tome un valor es nula. No es posible deducir la probabilidad de un valor puntual como en las discretas y no existe una función de probabilidad que asigne valores como en aquellas Por tanto, en este caso no podemos hablar de la probabilidad de que la v.a. tome un valor, sino de la probabilidad de que el valor que tome se encuentre en un intervalo determinado.

36 Sí es posible obtener la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y a partir de ella ver como cambia la probabilidad acumulada en cada punto. Estos cambios no serán probabilidades, sino densidad de probabilidad. En la práctica, las v.a. continuas se discretizan y podemos asignar probabilidades a intervalos de valores. Se obtiene una función de distribución que permite asignar probabilidades a intervalos mediante su integración

37 Ejemplo de una v.a. continua: la estatura.
En la última figura la base de los rectángulos sería 0 y no podemos hablar de probabilidad de ninguno de ellos, sino de densidad de probabilidad en torno a un valor. La densidad estaría representada en la ordenada o altura de la curva en ese punto

38 3.1. Función de distribución
Se define igual que para las v.a discretas, es decir como la probabilidad de obtener valores menores o iguales que un valor dado (sería igual decir menor, ya que la probabilidad de ser igual es 0) Las propiedades de la función de distribución son similares a las ya vistas para las v.a. discretas:

39 3.2. Función de densidad de probabilidad
Si F(x) es derivable puede obtenerse la función de densidad de probabilidad f(xi), que es la derivada de F(xi) en xi y que nos dice cómo crece en cada punto la F(x), es decir, con que rapidez va aumentando la probabilidad acumulada La relación entre F(xi) y f(xi) se expresa mediante la siguiente integral definida: La función de densidad también está sometida a las leyes de la probabilidad, es decir:

40 Forma de trabajo con las v.a. continuas:

41 3.3. Parámetros de una v.a. continua
V.A. DISCRETAS V.A. CONTINUAS Función de probabilidad f(xi)=p[X=xi]=pi Función de densidad Función de distribución Valor esperado E[X]=ixif(xi) Varianza σ2=E[x2]-{E[x]}2