Introducción al método de los elementos finitos M.Pastor, Thomas Blanc ETS de Ingenieros de Caminos Madrid (Spain) Dropbox:

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1 Introducción al método de los elementos finitos M.Pastor, Thomas Blanc ETS de Ingenieros de Caminos Madrid (Spain) manuel.pastor@upm.es Dropbox: https://db.tt/wH0WPi0P https://db.tt/wH0WPi0P Instalar: https://db.tt/juqe0ZW

2 1. Introducción 2. Conceptos previos 3. Aproximación de funciones 4. Obtención de las ecuaciones del MEF 5. Ensamblado 6. Resolución del sistema. Condiciones de contorno

3 Qué es el MEF? 1. Introducción Estructuras Mecánica de sólidos deformables Dinámica de fluídos Método numérico de resolución de EDPs Cine !!! Ejemplos Puertos Avalanchas Ondas en barras

4 En qué consiste? 1) Aproximación de funciones definidas localmente 2) Obtención de las ecuaciones Trabajos virtuales Galerkin- Formulaciones débiles Principios variacionales 3) Ensamblado 4) Resolución del sistema de ecuaciones 1. Introducción

5 2. Ejemplo sencillo: conceptos previos 12 Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos

6 2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos a) Qué barra se alarga más b1 o b2 ? b2 se alarga el doble que b1 lo importante no es F, sino F/A Barras de igual L y diferente A se alargan lo mismo si en ellas F/A es igual b) Definición de tensión

7 2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos a) Qué barra se alarga más b1 o b2 ? b1 se alarga el doble que b2 lo importante no es L, sino Barras de distinta L y se alargan lo mismo si en ellas la tensión es igual b) Definición de deformación unitaria

8 2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos Sin deformar deformada a) Campo de desplazamientos u(x) b) Deformaciones unitarias

9 2. Ejemplo sencillo 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos Recapitulación Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos

10 2. Ejemplo sencillo tensión en una sección

11 2. Ejemplo sencillo tensión en una sección Rebanada

12 2. Ejemplo sencillo equilibrio en rebanada

13 2. Ejemplo sencillo formulación del problema Balance de momento lineal Ecuación constitutiva Relación cinemática

14 2. Ejemplo sencillo formulación del problema Condiciones de contorno Nota Es una EDO Versión 1D de una EDPs elíptica

15 2. Ejemplo sencillo solución del problema Condiciones de contorno Solución

16 e1e2en 12 n+1 (ej) 3. Aproximación de funciones concepto de nodos y elementos

17 j x j+1 x N 1 ej j+1 x j x N 2 ej 3. Aproximación de funciones funciones de forma

18 N 2 N 3 N 2345 1 1 3. Aproximación de funciones funciones de forma globales

19 12 12 3. Aproximación de funciones 12

20 4. Principio de trabajos virtuales sistema en equilibrio Aplicamos un desplazamiento virtual Trabajo virtual de fuerzas internas Trabajo virtual de fuerzas externas Principio de trbajos virtuales: para cualquier compatible con vínculos

21 4. Principio de trabajos virtuales 1 2

22 1 2

23 1 2

24 Problema a resolver Solución Resolvemos la ecuación 2 Resolvemos la ecuación 1

25 Ejemplo 2 (ensamblado) Discretización

26 Elemento 1

27 Elemento 2

28

29 12 3

30

31 12 3