BIOESTADÍSTICA Variables aleatorias Facultad de Ingeniería Ambiental - UNI MSc. Beatriz Castañeda S.

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1 BIOESTADÍSTICA Variables aleatorias Facultad de Ingeniería Ambiental - UNI MSc. Beatriz Castañeda S.

2 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.2 Variable aleatoria Una variable aleatoria asigna a cada resultado del experimento un número según una característica numérica de los eventos. Ejemplo Sea el experimento de lanzar 3 monedas, entonces el espacio muestral de este experimento es: Ω ={ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss  X: Número de caras observadas al lanzar 3 monedas X(ccc) = 3X(ccs) = 2X(csc) = 2X(css) = 1 X(scc) = 2X(scs) = 1X(ssc) = 1X(sss) = 0 R X =  0, 1, 2, 3   x: 0, 1, 2, 3

3 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.3 Variable aleatoria R X =  0, 1, 2, 3   x: 0, 1, 2, 3 Cada valor x real define un evento en el espacio muestral, es decir, [X = x]  [X = 1]   css, scs, ssc  [X = 5]   [X = 0]   sss  [X = 2]   ccs, csc, scc  [X = 3]   ccc  [X = -1]   sss css scs ssc ccs csc scc ccc  X=0X=1X=2X=3

4 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.4 Variable aleatoria discreta X es discreta si su recorrido ( Rx ) es un conjunto numerable de puntos. Función de cuantía o Función de probabilidad puntual f(x) = P[X = x] = P( ) 1) f(x)  0  x  R 2) Si f es función de cuantía debe cumplir con xf(x) 01/8 13/8 2 31/8 Suma1

5 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.5 Variable aleatoria discreta Función de cuantía o Función de probabilidad puntual xf(x) 01/8 13/8 2 31/8 Suma1 X f(x ) 3/8 1/8 3210 X: Número de caras observadas al lanzar 3 monedas

6 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.6 Variable aleatoria Continua X es continua si puede tomar un número infinito y continuo de valores dentro de un intervalo real. Función de densidad de probabilidad Si f es función de densidad debe cumplir con Para asignar probabilidades a las v.a. continuas se parte del estudio empírico de grandes muestras y de aproximar la curva del polígono de frecuencias con una función matemá-tica a la que denominamos función de densidad de probabilidad. 1) f(x)  0  x  R 2) 3) P(a  X  b) =

7 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.7 Variable aleatoria continua Ejemplo Sea X la v.a. que mide la vida en horas de cierto tipo de lámpara de radio que tiene función de densidad f(x) X 150100 P(X  150) =

8 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.8 Función de Probabilidad Acumulada o Función de Distribución F(x ’ ) = P(X  x),  x  R

9 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.9 Función de Probabilidad Acumulada F(x ’ ) = P(X  x),  x  R Fx) X 100 1

10 Bioestadística Mg. Beatriz Castañeda S.10 xF(x) 01/8 14/8 27/8 31 X f(x ) 3/8 1/8 3210 X: Número de caras observadas al lanzar 3 monedas Función de Probabilidad Acumulada X F(x) 7/8 1/8 3210 1/2 1

11 Propiedades de Función de Probabilidad Acumulada 1. 0 ≤ F(x) ≤1 2. Si X es v.a. discreta F(x) es discontinua, no decreciente y tiene forma escalonada. 3. Si X es v.a. continua F(x) es absolutamente continua, no decreciente y tal que 4. Si X es v.a. continua P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) – F(a) 5. Si X es v.a. discreta P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) + P(X = a) = F(b) – F(a) + f(a) 6. P(X > x 0 ) = 1 – P(X ≤ x 0 ) = 1 – F(x 0 ) BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.11

12 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.12 Media, Varianza y Desviación estándar Media Varianza Variable discreta Variable continua

13 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.13 Media, Varianza y Desviación estándar xf(x)xf(x)x²f(x) 01/800 13/8 2 6/812/8 31/83/89/8 Suma11,53 X f(x ) 3/8 1/8 3210 X: Número de caras observadas al lanzar 3 monedas

14 BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.14 Sea X la v.a. que mide la vida en horas de cierto tipo de lámpara de radio que tiene función de densidad f(x) X 150100 Media, Varianza y Desviación estándar El promedio no está definido o no existe

15 Valor Esperado de una función de variable aleatoria BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.15 Y=G(X) Si X es variable aleatoria discreta Si X es variable aleatoria continua

16 Propiedades de Valores esperados BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.16 Si X es v.a. con E(x) =  V(X) =  2, luego a)si G(x) = c, c constante real, entonces E[G(x)] = c; V[G(x)] = 0 b) Si G(x) = a + bx, entonces E[G(x)] = a+b E(x); V[G(x)] = b 2 V(x)

17 Propiedades de Valores esperados BioestadísticaMg. Beatriz Castañeda S.17 Si X e Y son v.a., entonces E(a X + b Y) = a E(X) + b E(Y) V(a X + b Y) = a 2 V(X) + b 2 V(Y) +2ab Cov(X,Y) Si X e Y son independientes Cov(X,Y) = 0, entonces V(a X + b Y) = a 2 V(X) + b 2 V(Y)