UD 6. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Presentación del tema: "UD 6. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA"— Transcripción de la presentación:

1 UD 6. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
“El interés es el perfume del capital.” FRANÇOIS-MARIE AROUET, VOLTAIRE 1

2 UD 6 Si tenemos 1000 euros en una cuenta que nos da el 10% anual y los intereses los pagan anualmente, ¿cuánto dinero hay al cabo de dos años? Algunos dirán que 1200 euros, ya que el primer año tendremos 100 euros de intereses (10% de 1000 euros), y el segundo también 100 euros. INTERÉS SIMPLE. Sin embargo, si los intereses se depositan en la misma cuenta, esto no es cierto, ya que al comienzo del segundo año tendremos de capital 1100 euros, y el 10% de dicha cantidad es 110 euros. Por tanto al cabo de dos años tendremos 1210 euros. Ahí radica el interés compuesto 1

3 Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera según la cual:
UD 6 Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera según la cual: Los intereses de cada periodo de capitalización se agregan para calcular los intereses del periodo siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera. En la práctica financiera, la capitalización y la actualización compuesta se utilizan en aquellas operaciones financieras con una duración superior al año. 1

4 UD 6 Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera.. 1

5 Denominamos: Co : Capital inicial n : Duración de la operación
UD 6 Denominamos: Co : Capital inicial n : Duración de la operación i : Tipo de interés anual en tanto por uno. Representa la cantidad de dinero que se obtiene anualmente por euro invertido Cs : Montante del año s, o capital final del año s Is : intereses del año s, cuyo valor será Cs1 * i IT : interés total. IT = I1 + …+In Cn : capital final o montante

6 Capital final o montante
UD 6 Capital final o montante La capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamente nuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar al momento final de la operación financiera Por tanto, para determinar el valor del capital final es necesario ir calculando los sucesivos montantes al final de cada año.

7 Como C1 = C0 · (1 + i), entonces:
UD 6 Al final del 1.er año: C1 = C0 + I1 como I1 = C0 · i, entonces: C1 = C0 + C0 · i = C0 (1 + i) Al final del 2.º año: C2 = C1 + I2 Como I2 = C1 · i, entonces: C2 = C1 + C1 · i = C1 (1 + i) Como C1 = C0 · (1 + i), entonces: C2 = C0 · (1 + i) (1 + i) = C0 · (1 + i)2 Y así sucesivamente

8 UD 6 𝑪𝒏=𝑪𝒐.(𝟏+𝒊 ) 𝒏 Expresión que nos permite calcular el montante o capital final partiendo del capital inicial

9 UD 6 CASO PRÁCTICO 1. La señora Manuela deposita en un banco euros, a plazo fijo durante tres años a un interés compuesto del 4 % anual. Halla la cantidad que recibirá al cabo de los tres años que dura la operación financiera. Solución C0 = € ; n = 3 años i = 0,04 por uno anual ; Cn = ? 𝑪𝒏=𝑪𝒐 (𝟏+𝒊 ) 𝒏 Cn = x (1 + 0,04)3 = x 1, = ,64 Cn = ,64 €

10 UD 6 Realizar actividad 1, página 127. Luis López tiene un depósito en el Banco Rico de € a plazo fijo durante dos años a un interés compuesto del 3 % anual. Hallar la cantidad que recibirá al cabo de los 2 años que dura la operación. C0 = € i = 0,03 n = 2 años 𝑪𝒏=𝑪𝒐.(𝟏+𝒊 ) 𝒏 Cn = (1 + 0,03)2 = €

11 Capital inicial o valor actual
UD 6 Capital inicial o valor actual Sabiendo que despejamos Co : 𝑪𝒏=𝑪𝒐(𝟏+𝒊 ) 𝒏 Cn Co = 𝑪𝒐=𝑪𝒏(𝟏+𝒊 ) −𝒏 (1 + i)n La expresión (1+i)–n recibe el nombre de factor de actualización, puesto que al aplicarla sobre el capital obtendremos el valor del capital actual. O bien, IT = Cn – Co, de donde: 𝑪𝒐=𝑪𝒏− 𝑰 𝑻 1

12 UD 6 CASO PRÁCTICO 2. Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4 % anual durante cinco años, produjo un montante o capital final de euros. Solución C0 = ? ; n = 5 años i = 0,04 por uno anual ; Cn = € 𝑪𝒐=𝑪𝒏(𝟏+𝒊 ) −𝒏 C0 = (1 + 0,04)−5 = ,71 C0 = ,71 €

13 𝑰 𝑻 = 𝑪𝒐 [(𝟏+𝒊 ) 𝒏 −𝟏] Calculo de los intereses totales 𝑪𝒐=𝑪𝒏− 𝑰 𝑻
UD 6 Calculo de los intereses totales Partiendo de Cn = Co + I, los intereses generados serán la diferencia entre el capital final y el capital inicial: 𝑪𝒐=𝑪𝒏− 𝑰 𝑻 IT = Cn – Co = Co ∙ (1+i)n – Co = Co∙[(1 + i)n – 1] 𝑰 𝑻 = 𝑪𝒐 [(𝟏+𝒊 ) 𝒏 −𝟏]

14 UD 6 Determina la cantidad que tendrá que ingresar el señor Blasco en concepto de intereses por un préstamo de euros dentro de cuatro años en un banco, si el tipo de interés compuesto pactado es del 4,5 % anual. Solución C0 = € i = 0,045 n = 4 años IT = ? 𝑰 𝑻 = 𝑪𝒐 [(𝟏+𝒊 ) 𝒏 −𝟏] IT = [(1 + 0,045)4 − 1] = ,860 IT = ,86 €

15 Calculo del tipo de interés
UD 6 Calculo del tipo de interés Partiendo de: Cn = Co(1 + i)n , despejamos i: 1 𝒊=( 𝑪𝒏 𝑪𝒐 ) 𝟏 𝒏 − 𝟏 Cn ) - 1 i = ( O bien, 𝒏 𝑪𝒏 𝑪𝒐 -1

16 UD 6 CASO PRÁCTICO: Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados euros durante cuatro años, si se convirtieron en euros. Solución C0 = € ; i = ? n = 4 años ; Cn = € 𝒊=( 𝑪𝒏 𝑪𝒐 ) 𝟏 𝒏 − 𝟏 1 ( 90 000 ) 4 - i = 1 = 0,045 Interés = 4,5 %

17 𝒏= 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒏− 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒐 𝐥𝐨𝐠 (𝟏+𝒊)
UD 6 Calculo del tiempo Partiendo de: Cn = Co(1 + i)n , despejamos n: log Cn – log Co 𝒏= 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒏− 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒐 𝐥𝐨𝐠 (𝟏+𝒊) n = log (1+i)

18 𝒏= 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒏− 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒐 𝐥𝐨𝐠 (𝟏+𝒊)
UD 6 CASO PRÁCTICO. Cuántos años han pasado desde que en una entidad financiera se depositaron euros, al 5 % de interés compuesto, si hoy se reciben ,80 euros? Solución C0 = € i = 0,05 por uno anual Cn = ,80 € n = ? 𝒏= 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒏− 𝐥𝐨𝐠 𝑪𝒐 𝐥𝐨𝐠 (𝟏+𝒊) log ,80 - log n = 6 = = log (1+ 0,05) Tiempo = 6 años

19 UD 6 Actividades: 1 – 10. Página 141

20 DIFERENCIA ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE
UD 6 DIFERENCIA ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE 1

21 La diferencia sustancial entre los dos tipos de capitalización consiste en la acumulación de los intereses generados en cada periodo de capitalización (en la capitalización compuesta), para producir nuevos intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente.

22 UD 6 El capital final coincide en capitalización simple y compuesta en dos momentos: en el momento 0 y en el momento 1 año. En el resto de casos el capital final será mayor en capitalización simple para periodos inferiores al año y será mayor en capitalización compuesta para periodos superiores al año. 1

23 UD 6 En capitalización compuesta los intereses son productivos; se incorporan al capital para generar nuevos intereses En capitalización simple no; siempre se calculan los intereses sobre el capital inicial. 1

24 UD 6 El tipo de interés y el tiempo siempre tienen que estar expresados en las mismas unidades temporales

25 La diferencia está en los factores de capitalización:
UD 6 La diferencia está en los factores de capitalización: (1 + i)n para la capitalización compuesta Cn = C0 (1 + i)n (1 + n x i) para la capitalización simple Cn = C0 (1 + n x i)

26 UD 6 Si damos valores a ambas fórmulas, comprobamos que para n = 0 y n = 1 el valor de Cn coincide, siendo diferente para los restantes valores, en el caso de que n esté comprendida entre 0 y 1. Cn = C0 (1 + n x i) Capitalización simple i = 0,1 Co= 1000 1100 1200 1300 1400 n0 n1 n2 n3 n4 Cn = C0 (1 + i)n Capitalización compuesta i = 0,1 Co= 1000 1100 1210 1321 1432 n0 n1 n2 n3 n4 1

27 De la comparación anterior podemos decir que el montante de capitalización es mayor en la capitalización simple en periodos inferiores al año, igual para un año y menor en periodos superiores al año. Tiempo Capitales n = 0 Cn(simple) = Cn (Compuesta) n = 1 0 < n < 1 Cn(simple) > Cn (Compuesta) n > 1 Cn(simple) < Cn (Compuesta)

28 UD 6 Por tanto: - Las operaciones financieras superiores a un año utilizarán el interés compuesto. - En operaciones a un año será indiferente el uso de un sistema de capitalización u otro. - En las operaciones inferiores a un año, habitualmente, se adoptará la capitalización simple 1

29 UD 6 Calcula el capital final en capitalización compuesta y simple de € colocados a un tipo de interés del 7% anual. Primero, si el periodo de capitalización es de seis meses; segundo, si es de un año, y tercero, si el periodo de capitalización es de cuatro años.

30 UD 6 Actividades: Página 131 Halla el capital final en capitalización compuesta y simple de de euros, colocados a un tipo de interés del 4 % anual; en primer lugar, si el periodo de capitalización es de seis meses; en segundo, si el periodo de capitalización es de un año, y en tercero, si el periodo de capitalización es de seis años. 1

31 UD 6 Los tipos de interés. 1

32 El interés nominal: Jm (TIN)
UD 6 En capitalización compuesta, hay dos tipos de indicadores para medir la rentabilidad de los ahorros o el coste de un crédito: El interés nominal: Jm (TIN) El interés efectivo: (i) (TAE) 1

33 Interés nominal o proporcional anual Jm (TIN)
UD 6 En los documentos financieros (contratos, hipotecas, préstamos personales, liquidaciones periódicas, etc.) siempre aparecen dos tipos de intereses de referencia: Interés nominal o proporcional anual Jm (TIN) Tasa Anual de Equivalencia (TAE) (Cuando no hay gastos en la operación financiera el TIN = TAE) Así lo establece el Banco de España desde 1990 1

34 UD 6 Interés nominal El TIN o Jm, es la rentabilidad de un producto financiero en un periodo de tiempo determinado, teniendo en cuenta solo el principal. Es un tipo de capitalización simple. 1

35 Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes opciones preferís?
a) Invierte 100 € durante un año al 8% anual. b) Invierte 100 € durante un año al 4% semestral. c) Invierte 100 € durante un año al 2% trimestral. En interés simple es indiferente capitalizar una operación al 8% anual, que al 4% semestral.

36 Interés nominal 𝑱 𝒎 = 𝒎 . 𝒊(𝒎) 𝒊= 𝑱(𝒎) 𝒎
UD 6 J(m) es el tanto proporcional anual; se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés de un periodo fraccionado (i (m) ) 𝑱 𝒎 = 𝒎 . 𝒊(𝒎) Si queremos calcular el tipo de interés de la fracción de año a que corresponde, debemos simplemente dividir el interés nominal entre el número de veces que estén incluidos los periodos de abono o cargo de intereses en el año (m) 𝒊= 𝑱(𝒎) 𝒎 m: frecuencia de fraccionamiento 1

37 UD 6 Ejemplo: Calcula el interés nominal anual [J(m)] correspondiente al 3 % efectivo trimestral. i (m) = 0,03 m = 4 J(m) = ? 𝑱 𝒎 = 𝒎 . 𝒊(𝒎) J(m) = 4 * 0,03 = 0,12 12 % 1

38 Interés efectivo o Tasa Anual de Equivalencia (TAE)
Es un tipo de interés compuesto, debido que hay acumulación de intereses. Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes opciones preferís? a) Invierte 100 € durante un año al 8% anual. b) Invierte 100 € durante un año al 4% semestral. c) Invierte 100 € durante un año al 2% trimestral.

39 El interés efectivo o tasa anual equivalente es el tipo de interés i realmente abonado cargado a las operaciones financieras en un año. Por ejemplo: 1 € invertido un año al tanto i proporciona un montante igual a Cn = 1 ( 1+i)1. El mismo euro invertido durante el mismo periodo, pero con frecuencias de capitalización referidas al tanto i(m), proporciona un montante igual a [1+ i (m)] m

40 la TAE es un término financiero que aglutina todos los términos de la inversión o préstamos desde el tipo de interés nominal, comisiones y plazo y nos sirve para saber el coste o beneficio real de la operación así como decomparativo con otros tipos de productos bancarios. La TAE es un término financiero que aglutina todos los términos de la inversión o préstamos desde el tipo de interés nominal, comisiones y plazo y nos sirve para saber el coste o beneficio real de la operación así como de comparativo con otros tipos de productos bancarios.

41 A veces nos dejamos llevar por el tipo de interés nominal sin tener en cuenta los demás factores y nos hace tomar decisiones equivocadas. NO SIEMPRE es más adecuado efectuar una inversión al 5% que otra al 4% si no tenemos en cuenta las comisiones, los gastos y el plazo. TAE i TIN Jm < _

42 (((((1+ i) = ( 1+i (m) ) m i = ( 1 + i(m) )m - 1 i (m) = (1+i) 1/m - 1
Para que el tanto i sea equivalente a i(m), ambos montantes han de ser iguales: (((((1+ i) = ( 1+i (m) ) m Si operamos podemos obtener: El tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia (TAE), en función del tipo fraccionado: i = ( 1 + i(m) )m - 1 El tipo de interés efectivo de un periodo fraccionado en función del tipo de interés efectivo anual (TAE) i (m) = (1+i) 1/m - 1

43 Comparación entre el tipo nominal y tipo efectivo
UD 6 Comparación entre el tipo nominal y tipo efectivo En algunos documentos mercantiles se expresa el tipo de interés nominal solamente, es posible calcular el tipo de interés efectivo en función del nominal. Sabiendo que: i = [1 + i(m)]m – 1 y que: i(m) = J(m) /m i = (1 + J(m)m m -1 1

44 UD 6 Comparando, se observa que la tasa anual equivalente, i, es mayor que el tipo de interés nominal, J(m). i > J(m) Ver caso práctico 8-9. Página 134 1

45 Actividades: 4-5-6-7-9. Página 134
UD 6 Actividades: Página 134 Actividades: Página 141 1

46 UD 6 Imaginemos que un banco nos ofrece un depósito a un año al 10% cuyos intereses se liquidan a la finalización del mismo y otro banco nos ofrece lo mismo, pero los intereses se liquidan mensualmente y sobre el mismo depósito. A simple vista, ambos préstamos son muy parecidos, pero el primero nos dará al cabo de un año 100 euros por cada 1000 invertidos y en cambio el segundo nos dará 104,71 euros. ¿Y esto por qué? Simplemente porque al pagarnos los intereses mensualmente, el siguiente mes tenemos más capital y por tanto más intereses (interés compuesto). Por tanto la rentabilidad real del primer depósito es del 10% y la del segundo del 10,47%. Es decir, la Tasa Anual Equivalente del primer depósito coincide con el interés nominal, pero en el segundo caso no. 1

47 UD 6 Para que podamos comparar los productos financieros sin tener que leer mucho la letra pequeña, la TAE aglutina los tipos de interés, el plazo de la operación (como ya hemos visto) y las comisiones. Es decir, nos ayudan a determinar cuánta rentabilidad real tendríamos en un depósito si funcionara durante un año, y también cuanto pagaríamos de intereses en un crédito si el plazo fuera un año. 1

48 UD 6 También conviene advertir que la TAE, como su propio nombre indica, nos dice la rentabilidad del producto o los intereses a pagar en el caso de que el producto sea anual. Es decir, si contratamos un depósito a un mes al 10% TAE eso significa que es mejor que un depósito a un mes al 5% TAE, pero no quiere decir que sea mejor que un depósito a seis meses al 5%, ya que este último funciona durante seis meses y nos permitirá obtener mayor rentabilidad total. 1

49 UD 6 Aún así la TAE no es perfecta, ya que no incluye algunos gastos. Sí que incluye las comisiones, pero existen muchos gastos que no son comisiones (gastos notariales, impuestos, gastos por transferencia de fondos…). Por tanto hay que seguir leyendo la letra pequeña. No vaya a ser que por unas décimas de mejor TAE en una hipoteca nos hagan contratar una tarjeta de crédito que no queremos y cuyos gastos de mantenimiento sean más altos que la diferencia con una hipoteca con una TAE peor. 1

50 Capitalización fraccionada

51 i (m) : tanto fraccionado, referido al periodo de capitalización
Se entiende por capitalización fraccionada el periodo de capitalización que no es anual, como por ejemplo: semestres, trimestres, meses, días, etc. En este caso hemos de trabajar con un tipo de interés referido al periodo de capitalización (tanto fraccionado). La fórmula del montante o capital final para capitalización fraccionada será: Cn = Co (1 + i(m))n.m Co: Capital inicial i (m) : tanto fraccionado, referido al periodo de capitalización n. m: tiempo total de la operación, medido en la misma unidad que el tanto fraccionado

52 Capitalización compuesta en tiempo fraccionado
Es la operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exacto de periodos (años) Para calcular el capital final en este tipo de capitalización existen las soluciones siguientes: - Convenio exponencial - Convenio lineal

53 Convenio exponencial: El cálculo del capital final se realiza mediante la aplicación de la formula general de capitalización compuesta. Cn = Co (1 + i ) n+m

54 Convenio lineal: Capitaliza a interés compuesto un número exacto de años y a interés simple la fracción restante.. Cn = Co (1 + i)n (1 + m *i)

55 Halla el montante de capitalización de 400.000 euros
colocados al 3 % de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años. Solución C0 = € i(2) = 0,03 n = 4 años m = 12 meses Cn = ? Cn = Co (1 + i(m))n.m Hemos de poner el tanto de interés y el tiempo, con referencia al periodo de capitalización. (1 + i(2))2 = (1 + i(12))12 Si efectuamos una serie de operaciones matemáticas, obtenemos: i(12) = (1 + i(2))1/6 − 1 i(12) = (1,03)1/6 − 1 = 0, Cn = (1 + 0, )4·12 = ,4993 Cn = ,50 €

56 Calcula el montante de capitalización de 50
Calcula el montante de capitalización de € colocados al 6 % de interés semestral con capitalización mensual, durante 5 años. Co = € i (2) = 0.06 n = 5 años m = capitalización mensual Convertimos el interés en anual i = ( ) 2 – 1 = 0,1236 Cn = C0 (1 + i)n Cn = (1+0,1236) 5 Cn = ,38 €

57 Actividades: 16-17-18. Página 141
UD 6 Actividades: Página 141 Actividades: Página 142 1

58 Actualización compuesta o descuento compuesto
UD 6 Actualización compuesta o descuento compuesto Operación financiera que sustituye un capital futuro por otro con vencimiento presente. Es la operación inversa de la capitalización. D = Cn – Co. 1

59 Existen dos tipos de descuento:
UD 6 Existen dos tipos de descuento: Descuento racional o matemático. Descuento comercial. 1

60 Descuento racional o matemático:
UD 6 Descuento racional o matemático: Es la cantidad que en concepto de intereses genera el efectivo, desde su pago hasta el vencimiento del nominal, como resultado de aplicar a un tanto de interés i Dr = Cn · [1 – (1 + i)-n] 1

61 UD 6 Descuento comercial Es la cantidad que, en concepto de intereses, genera el nominal desde su pago anticipado efectivo hasta su propio vencimiento. Dc = Cn · [1 – (1 – d)n] d = i/(1 + i) i = d/(1 + d) 1

62 Actividades: 12-13-14. Página 138
UD 6 Actividades: Página 138 Actividades: a 34 . Página 142 1

63 UD 6 ELENA CABRERA 1