Problemas básicos (3) Partícula en un pozo de potencial tridimensional

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1 Problemas básicos (3) Partícula en un pozo de potencial tridimensional
Sexta sesión Problemas básicos (3) Partícula en un pozo de potencial tridimensional

2 Resumen Repaso de matemáticas Repaso de Física
Sistemas de coordenadas, determinantes, notación de suma y producto, vectores, números complejos, operadores, ecuaciones de valores propios, propiedades de simetría de funciones y sus integrales, probabilidad Repaso de Física Principio de correspondencia, sistemas conservativos, constantes de movimiento, movimiento armónico simple (a la Newton), formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento, coordenadas, velocidades y momentos generalizados, la función de Hamilton es la energía total del sistema, coordenadas internas y movimiento del centro de masa, supuestos básicos de la Mecánica Clásica

3 Resumen (2) Repaso de Estructura de la Materia
Espectro electromagnético, espectros atómicos, radiación de un cuerpo negro, efecto fotoeléctrico, el átomo de Rutherford es inestable, modelo atómico de Bohr, teorema virial, niveles de energía, teorema de Koopmans, transiciones electrónicas, hipótesis de De Broglie

4 Fundamentos de mecánica cuántica
Formulaciones de la Mecánica Cuántica  Postulados de la Mecánica Cuántica  Postulado de Max Born  Funciones aceptables como funciones de onda  Operadores hermitianos  Notación de Dirac  ¿Cómo se construyen los operadores en Mecánica Cuántica? 

5 Fundamentos de mecánica cuántica (2)
El operador Hamiltoniano  La ecuación de Schrödinger  Resolución de problemas particulares en Mecánica Cuántica  Partícula en un pozo de potencial unidimensional  Principio de Incertidumbre de Heisenberg 

6 Fundamentos de mecánica cuántica (3)
Soluciones generales para la partícula en un pozo de potencial unidimensional  Partícula libre 

7 Resumen: Postulados de la Mecánica Cuántica

8 Postulado I “Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas queda descrito tan completamente como es posible por una función Ψ(q1,q2,…,q3N,t) tal que la cantidad Ψ*Ψd es proporcional a la probabilidad de encontrar a q1 entre q1 y q1+dq1, a q2 entre q2 y q2+dq2,…, a q3N entre q3N y q3N+dq3N para un tiempo específico t.

9 Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo y se llama función de onda de estado estacionario” En este caso, la función solo depende de 3N variables. 9

10 Postulado II “Para toda propiedad observable de un sistema, existe su correspondiente operador lineal y hermitiano y las propiedades físicas del observable pueden ser inferidas a partir de las propiedades matemáticas asociadas al operador”.

11 Postulado III “Supongamos que ᾱ es un operador correspondiente a un observable y que existe un conjunto de sistemas idénticos en el estado Ψs. Supongamos, además que Ψs es una función propia de ᾱ. Esto es: ᾱΨs=asΨs, donde as es un número. Entonces, si un experimentador efectúa una serie de mediciones de la cantidad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto, el resultado será siempre as. Solamente cuando Ψs y ᾱ satisfacen esta condición, un experimento dará el mismo resultado en cada medición”.

12 Postulado IV “ Dado un operador ᾱ y un conjunto de sistemas idénticos caracterizados por una función Ψs, que no es función propia de ᾱ, una serie de mediciones de la propiedad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto no dará el mismo resultado. En lugar de eso se obtendrá una distribución de resultados cuyo promedio será:

13 Postulado V “La evolución del vector de estado Ψ(q,t) en el tiempo está dada por la relación: donde H es el operador Hamiltoniano del sistema”. Esta ecuación se conoce como ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

14 Resumen: Operadores hermitianos

15 Operadores Hermitianos
Los valores propios de un operador hermitiano son números reales.

16 Operadores hermitianos
Teorema I “El producto de dos operadores hermitianos es hermitiano solo si los dos operadores conmutan”.

17 Operadores hermitianos
Teorema II “Las funciones propias que provienen de diferentes valores propios de un operador hermitiano son ortogonales”.

18 Operadores hermitianos
Teorema III “Si dos operadores Ḟ y Ḡ conmutan, entonces existe un conjunto de funciones que son simultáneamente propias de ambos operadores”

19 Operadores hermitianos
Teorema IV Dado un par de operadores hermitianos Ḟ y Ḡ que conmutan, y conjunto de funciones tales que ḞΨi=fiΨi entonces todas las integrales de la forma (Ψi| Ḡ | Ψj)=0 a menos que fi=fj

20 Ortogonalidad y ortonormalidad
Ortogonalidad: Siempre que una integral del tipo (Ψi|Ψj) sea cero, se dice que las funciones son ortogonales. Ortonormalidad: Cuando se cumple la ecuación (Ψi|Ψj)=δij para un conjunto de funciones en mecánica cuántica, se dice que el conjunto es ortonormal.

21 Resumen: Partícula en un pozo de potencial unidimensional

22 Energía de la partícula
La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada 22

23 Niveles de Energía 23

24 24

25 25

26 A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda.
Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento (condiciones a la frontera de la ecuación diferencial)  las energías de la partícula libre no están cuantizadas A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda. La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad. 26

27 Partícula en un pozo de potencial tridimensional

28 Partícula en un paralelepípedo de potencial
b c V= V=0 b c 28

29 29

30 Dentro

31 Separación de variables
Proponemos una solución de la forma Donde X(x), Y(y) y Z(z) son funciones que dependen exclusivamente de x, y y z, respectivamente. Y podemos resolver 3 problemas en una sola dimensión . 31

32 Separación de variables (2)
Substituyendo la solución propuesta en la ecuación de Schrödinger:

33 Separación de variables (3)
Dividiendo ambos miembros de la ecuación por XYZ y reordenando, se obtiene: Esta ecuación debe cumplirse para todos los valores de x, y y z.

34 Separación de variables (4)
Y la única forma en que lo anterior sucede es cuando los dos miembros de la ecuación sean iguales a una constante. Nombrando a la constante 2mEz/ħ2, se pueden escribir dos ecuaciones:

35 Separación de variables (5)

36 Separación de variables (6)
Aplicando el mismo argumento utilizado anteriormente, ambos miembros de la ecuación deben ser iguales a una constante que denominaremos 2mEy/ħ2 Con lo anterior queda las ecuaciones:

37 Separación de variables (7)

38 Separación de variables (8)
Las ecuaciones Son exactamente iguales a la de la partícula en una dimensión

39 Partícula en un paralelepípedo de potencial (2)

40 Partícula en un paralelepípedo de potencial (3)

41 Partícula en un paralelepípedo de potencial (4)

42 Aparecen 3 números cuánticos
nx, ny, nz Uno por cada condición a la frontera (en x, en y y en z). a b c V= V=0 42

43 Cubo de potencial Para un cubo: a=b=c;  43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 48

49 Para el mismo nivel de energía aparecen tres diferentes estados.
Hay 3 estados distintos del sistema con la misma energía. Se llaman: niveles degenerados. En el segundo nivel de energía para el cubo, la degeneración es 3 y se dice que es triplemente degenerado. 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 El siguiente nivel de energía tendría una energía de 14E0 y una degeneración de 6:
54

55 ¿Qué pasaría si alargáramos el cubo en la dirección “y”?
V= V=0 a V= V=0 b>a Prisma cuadrangular Cubo 55

56 Como b>a baja la energía
56

57 Se rompe la degeneración
57

58 58

59 59

60 Si se rompe la simetría se rompe la degeneración.
El cubo es más simétrico que el prisma cuadrangular. 60

61 ¿Y si ahora lo alargáramos en la dirección “z”?
V= V=0 a c V= V=0 b b Prisma cuadrangular Prisma rectangular 61

62 Se vuelve a romper la degeneración.
El prisma cuadrangular es más simétrico que el prisma rectangular. (2,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,1,1) 62

63 ¿Qué pasaría si quisiéramos graficar la función de onda para el paralelepípedo?
63

64 ¿Qué pasaría si quisiéramos graficar la función de onda para el paralelepípedo?
No se puede 64

65 Función de una Variable
f(x) x 65

66 Función de una Variable
f(x) Líneas x 66

67 Función de dos Variables
f(x,y) x y 67

68 Función de dos Variables
f(x,y) Sábanas x y 68

69 Funciones de onda para un cuadrado de potencial
Por ejemplo Funciones de onda para un cuadrado de potencial 69

70 70

71 71

72 72

73 73

74 Ψ (nx=4, ny=4)

75 Función de tres Variables
z x y 75

76 Función de tres Variables
z ¿Dónde pongo f(x,y,z)? x y 76

77 Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento.
Los números cuánticos surgen de las restricciones al movimiento de las partículas. Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento. Niveles degenerados. Si se rompe la simetría, se rompe la degeneración. No sé graficar funciones de 3 variables. 77

78 Tarea 33 Encuentre las energías permitidas y las funciones de onda para una partícula restringida a moverse en una superficie rectangular, cuyos lados tienen una longitud igual a “a” y “b”.

79 Separación de Variables (9)
La separación de variables es muy utilizada en química cuántica, sobre todo en problemas de muchos electrones. Existe una regla general para saber cuándo es posible hacer la separación de variables:

80 Separación de Variables (10)
Cuando el operador hamiltoniano puede ser escrito como una suma de términos, cada uno de los cuales depende de una sola variable, siempre podrá encontrarse una solución de la ecuación de Schrödinger en la que Ψ es un producto de funciones de una sola coordenada.

81 Separación de Variables (11)

82 Separación de Variables (12)
También será cierto que la energía total puede ser expresada como una suma de energías Ɛi donde cada energía proviene del movimiento con respecto a una coordenada qi. Es decir,

83 Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas
Efecto Túnel (No trabajado)

84 Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas
V0 x  Según la mecánica clásica, la partícula no podría salir de la caja a menos que su energía sea mayor que la de la barrera de potencial V0 84

85 Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas
Sin embargo, el tratamiento de la mecánica cuántica (que se omite aquí) muestra que existe una probabilidad finita de que la partícula, con una energía total inferior a V0, aparezca fuera de la caja. El efecto túnel denota la penetración de una partícula en una región prohibida clásicamente, o el paso de una partícula a través de una barrera de potencial cuya altura es mayor a la energía de la partícula. 85

86 Efecto túnel a V0

87 Efecto túnel (2) Dado que el efecto túnel es un evento “cuántico”, la probabilidad de que ocurra es mayor cuanto menos “clásico” es el comportamiento de la partícula. Por lo tanto, es más frecuente en partículas de masas pequeña Así, en los electrones ocurre fácilmente y en los átomos de hidrógeno tiene lugar más fácilmente que en los átomos pesados

88 Algunos fenómenos que ocurren por efecto túnel
Emisión de partículas α desde un núcleo radiactivo. Barreras conformacionales. Vg. NH3 piramidal a plano

89 Algunos fenómenos que ocurren por efecto túnel (2)
Barreras rotacionales. Vg. CH3-CH3 C H Forma Eclipsada Forma Alternada

90 Algunos fenómenos que ocurren por efecto túnel (3)
Importante en: Reacciones de óxido reducción Procesos en electrodos Velocidad en reacciones con transferencia de átomos de hidrógeno

91

92 Oscilador armónico (unidimensional)

93 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias
Hasta aquí, solamente hemos considerado casos en que el potencial V(x) es constante. Lo anterior nos lleva a que la ecuación de Schrödinger sea una ecuación diferencial homogénea de segundo orden, que sabemos resolver. ¿Qué pasaría si V variara con x?

94 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (2)
Un enfoque útil es tratar de encontrar una solución en serie de potencias para la ecuación. Para ilustrar el método, primero tomemos una ecuación diferencial con coeficientes constantes y resolvámosla por series de potencias:

95 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (3)

96 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (4)
Una forma equivalente de la solución que a veces es útil, se obtiene usando la fórmula trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos: y = D sen (cx+e) Donde D y e son dos constantes arbitrarias (luego la vamos a usar)

97 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (5)
Ahora veamos como se resuelve por series. Supongamos que la función solución puede ser expandida en una serie de Taylor (Brook Taylor ) alrededor de x=0 (MacLaurin, Colin Maclaurin ), es decir, suponemos que:

98 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (6)
Los coeficientes se determinan para satisfacer la ecuación Suponiendo que derivar término a término es válido para la serie (esto no es siempre cierto para las series infinitas):

99 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (7)
Y sustituyendo en la ecuación diferencial:

100 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (8)
Ahora debemos combinar las dos sumas de la ecuación anterior. Bajo ciertas condiciones, las sumas infinitas pueden ser sumadas término a término, de tal forma que:

101 Paréntesis Queremos que los límites de las dos sumas sean los mismos y las potencias de x sean las mismas. Así que se hará el cambio de los índices tontos (no importa que letra se use) de la primera suma, haciendo n=k+2:

102 Paréntesis (2) Para verlo más claro, las siguientes dos sumas son iguales:

103 Paréntesis (3) En las integrales definidas hay variables “tontas” dado que el valor de la integral no se afecta por la letra que usemos para denominar a la variable:

104 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (9)
Sumando los dos términos de la ecuación

105 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (10)
Para ver lo anterior pensemos en la ecuación:

106 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias (11)
Por lo tanto:

107 Fórmula de recurrencia
De la ecuación anterior vemos que si sabemos el valor de a0 podemos encontrar los valores de a2, a4, a6, … etc. Y si conocemos a1, podemos encontrar a3, a5, a7, … etc. Dado que no hay restricciones para los valores de a0 y a1; se pueden escoger a0= A y a1=Bc Con lo que se obtienen los coeficientes:

108 Coeficientes

109 Y obtenemos Las dos series de la última ecuación son las series de Taylor para el seno y el coseno, por lo tanto Y = A sen (cx) + B cos (cx)

110 Oscilador armónico clásico

111 Oscilador armónico unidimensional
Recordemos de mecánica clásica que el la función de Hamilton para el oscilador armónico era:

112 Oscilador armónico unidimensional (2)
Y aplicando la receta para obtener el operador Hamiltoniano:

113 Oscilador armónico unidimensional (3)
Y podemos intentar una solución por series de potencias

114 Oscilador armónico unidimensional (4)
El problema aquí es que si quisiéramos escribir una solución de la forma Como se hizo en el problema anterior, saldría una fórmula de recurrencia de 3 términos, que es mucho más difícil de tratar que una de 2. Entonces se recurre al truco de modificar le ecuación para obtener una que nos de una fórmula de 2 términos

115 Oscilador armónico unidimensional (5)
Para lograrlo, se hace una substitución de la forma:

116 Oscilador armónico unidimensional (6)
Ya ahora si, para la ecuación anterior se propone desarrollar en series f(x):

117 Oscilador armónico unidimensional (7)

118 Oscilador armónico unidimensional (8)
Que ya es una fórmula de recurrencia de dos términos. Si conocemos cn podemos calcular cn+2 Y tenemos dos constantes arbitrarias: c0 y c1. Si hacemos c1=0 tenemos una solución para las potencias pares de x (multiplicando por el factor exponencial que convierte F(x) en Ψ) y se hacemos c0=0 obtenemos otra solución independiente:

119 Oscilador armónico unidimensional (9)

120 Oscilador armónico unidimensional (10)
¿Qué restricción imponen las condiciones a la frontera? (Sin prueba) Para valores grandes de x cada una de las series se comporta como eαx2 y por lo tanto diverge y no es cuadrado integrable. Pero si se pudiera “cortar” la serie después de un número finito de términos el factor eαx2/2 garantizaría que Ψ tendiera a cero cuando x

121 Oscilador armónico unidimensional (11)
Para que una de las series se corte después de un número finito de términos, el coeficiente n-ésimo cn en la fórmula de recurrencia Para algún valor de n. Digamos n= ( es la ípsilon griega minúscula)

122 Oscilador armónico unidimensional (12)
Lo anterior haría que c+2, c+4,…etc. Fueran serie y entonces la serie tendría un número finito de términos. En la relación de recurrencia podemos ajustar a que el coeficiente de c se anule y obtener el valor de la energía E

123 Oscilador armónico unidimensional (13)
Y obtener el valor de la energía:

124 Oscilador armónico unidimensional (14)
Nótese que el estado basal del oscilador armónico no es cero, la energía es ½h (para =0). Y se conoce con el nombre de energía del punto zero. Cuando veamos espectroscopía veremos que sería la energía vibracional de las moléculas diatómicas en el cero absoluto (0 K).

125 Oscilador armónico unidimensional (15)
La existencia de la energía del punto cero se puede entender a partir del Principio de Incertidumbre. Si el estado basal tuviera una energía de cero, tanto la energía cinética como la potencial (ninguna de las dos es negativa) tendrían que ser. Si T=0  el momento sería cero y px sería cero.

126 Oscilador armónico unidimensional (16)
V=0  querría decir que la partícula siempre estaría localizada en el origen por lo que x=0 Pero px y x no pueden ser ambas cero al mismo tiempo (Principio de incertidumbre). Por lo tanto no puede haber una energía del estado basal = 0.

127 Las funciones de onda Usando las fórmulas de recurrencia se obtendrían (usando como subíndice el valor del número cuántico ):

128 Las funciones de onda (2)
Y normalizadas (calculando el valor de las constantes para garantizar el Postulado de Born)

129 Las funciones de onda (3)