Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido. Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido Mostrar cómo resolver.

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2 Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido. Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio de cuerpo rígido usando las ecuaciones de equilibrio. Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido. OBJETIVOS:

3 La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto del cuerpo así como sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material. Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de: esfuerzos cortantes, normales, de torsión y momentos flectores a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o pilares de un rascacielos. APLICACIONES DE LA ESTATICA

4 Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, limites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de partes y las fuerzas resultantes. APLICACIONES DE LA ESTATICA

5 EQUILIBRIO Consideramos que un cuerpo esta en equilibrio cuando dicho cuerpo no se mueve por si mismo ante las fuerzas que están actuando sobre él; es decir, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se anula, de modo tal que sobre el cuerpo no se ejerce ninguna aceleración.

6 PARTÍCULA Definimos la partícula como una masa que ocupa un volumen tan pequeño en el espacio que podemos decir que es puntual (es decir, no ocupa ningún volumen, simplemente esta en un punto del espacio.

7 CONDICIONES DE EQUILIBRIO Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la estática. La estática es la ciencia que estudia las fuerzas que aplican a un cuerpo para describir un sistema en equilibrio. Diremos que un sistema están en reposo, es decir, sin movimiento. Las fuerzas que se aplican sobre un cuerpo pueden ser de tres formas: 1.Fuerzas Angulares 2.Fuerzas Colineales 3.Fuerzas Paralelas Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la estática. La estática es la ciencia que estudia las fuerzas que aplican a un cuerpo para describir un sistema en equilibrio. Diremos que un sistema están en reposo, es decir, sin movimiento. Las fuerzas que se aplican sobre un cuerpo pueden ser de tres formas: 1.Fuerzas Angulares 2.Fuerzas Colineales 3.Fuerzas Paralelas

8 FUERZAS ANGULARES Dos fuerzas se dice que son angulares, cuando actúan sobre un mismo punto formando un ángulo.

9 FUERZAS COLINEALES

10 FUERZAS PARALELAS

11 PRIMERA CONDICION DE EQUILIBRIO

12 SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO

13 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto en particular.

14 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren balanceados. La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es que la resultante de fuerzas y momentos de todas las fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero. Descomponiendo las fuerzas y momentos se obtiene: Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren balanceados. La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es que la resultante de fuerzas y momentos de todas las fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero. Descomponiendo las fuerzas y momentos se obtiene:

15 SOPORTES PARA CUERPOS RIGIDOS SOMETIDOS A SISTEMAS DE FUERZAS BIDIMENSIONAL

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25 PASOS PARA HACER UN DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 1.El primer paso en el análisis de equilibrio estático de un cuerpo es identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (Diagrama de cuerpo libre). 2.Seleccionar el sólido separándolo de su base de apoyo y se desliga de cualquier otro cuerpo. A continuación se grafica el contorno. 1.El primer paso en el análisis de equilibrio estático de un cuerpo es identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (Diagrama de cuerpo libre). 2.Seleccionar el sólido separándolo de su base de apoyo y se desliga de cualquier otro cuerpo. A continuación se grafica el contorno.

26 PASOS PARA HACER UN DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE 3.Indicar el punto de aplicación, magnitud y dirección de las fuerzas externas, incluyendo el peso. 4.Las fuerzas externas desconocidas consisten normalmente en reacciones. Las que se ejercen en los puntos en que el sólido esta apoyado o unido a otros cuerpos. 5.El DCL debe incluir también dimensiones, las que permiten calcular momentos de fuerzas 3.Indicar el punto de aplicación, magnitud y dirección de las fuerzas externas, incluyendo el peso. 4.Las fuerzas externas desconocidas consisten normalmente en reacciones. Las que se ejercen en los puntos en que el sólido esta apoyado o unido a otros cuerpos. 5.El DCL debe incluir también dimensiones, las que permiten calcular momentos de fuerzas

27 EJERCICIO 1 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P 1 = 800 lb. y P 2 = 400 lb según la figura 1.

28 SOLUCIÓN:  Para resolver este ejercicio se comenzará por dibujar el diagrama de cuerpo libre de la estructura donde se incluyen las fuerzas aplicadas, las fuerzas de reacción, así como las fuerzas internas en cada miembro, como se muestra en la figura 2.  Las flechas en color azul representan los vectores de las fuerzas de reacción en los soportes de la estructura, las flechas en color naranja corresponden los vectores de las fuerzas externas aplicadas a la estructura, las flechas en color rojo representan los vectores de las fuerzas internas a las que están sometidas las barras de la estructura.  Para resolver este ejercicio se comenzará por dibujar el diagrama de cuerpo libre de la estructura donde se incluyen las fuerzas aplicadas, las fuerzas de reacción, así como las fuerzas internas en cada miembro, como se muestra en la figura 2.  Las flechas en color azul representan los vectores de las fuerzas de reacción en los soportes de la estructura, las flechas en color naranja corresponden los vectores de las fuerzas externas aplicadas a la estructura, las flechas en color rojo representan los vectores de las fuerzas internas a las que están sometidas las barras de la estructura.

29 SOLUCIÓN:  Solución analítica, una vez establecido el diagrama de cuerpo libre, se escriben las ecuaciones de equilibrio estático como sigue, calculando momentos en Ay C para obtener las fuerzas de reacción:

30 SOLUCIÓN:  Se calcula sumatoria de fuerzas en dirección X para obtener el valor de la fuerza de reacción en dirección X:

31 Una grúa fija tiene una masa de 1 000 kg y se usa para levantar una caja de 2 400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B. EJERCICIO 2:

32 La reacción B se determina resolviendo la ecuación de momentos en A. SOLUCION: En la figura se muestra el DCL de la grúa. La reacción en A se determina aplicando la suma de componentes horizontales y verticales.

33 Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren balanceados de tal manera que no puedan impartir traslación ni rotación. La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es que la resultante de fuerzas y momentos de todas las fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se obtiene seis ecuaciones escalares.

34 Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o conexiones: REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL o Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin fricciones y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada uno de estos apoyos y conexiones pueden impedir el movimiento solo en una dirección.

35 REACCIONES EN LOS PUNTOS DE APOYO Y CONEXIONES DE UNA ESTRUCTURA BIDIMENSIONAL o Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo o bien no pueden impedir la rotación del mismo. o Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por completo.

36 REACCIONES EN SOPORTES Y CONEXIONES

37 Los tipos de apoyos que usan imposibilitan que el cuerpo rígido se moviera bajo la acción de cargas dadas o bajo cualquier otra condición de carga, estos se dice que el cuerpo rígido tiene restricción completa; a estos apoyos involucran tres incógnitas. Cuando se presenta una situación como esta, se dice que son reacciones estáticamente determinadas. Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales

38 Si un cuerpo rígido tiene restricciones completa y si las reacciones en sus apoyos son estáticamente determinadas, entonces habrá tantas incógnitas como ecuaciones de equilibrio. Se debe señalar que la condición ya mencionada, aunque es necesaria, no es suficiente. Un cuerpo rígido esta impropiamente restringido siempre que los apoyos estén ubicados de tal forma que las reacciones sean concurrentes o paralelas. Reacciones estáticamente indeterminadas. Restricciones parciales

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40 Para todas las fuerzas y momentos actuando sobre una estructura bidimensional. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO EN DOS DIMENSIONES Las seis ecuaciones de equilibrio se reducen a: Donde A es un punto en el plano de la estructura. Estas tres ecuaciones se resuelven para determinar las cantidades desconocidas.

41 Si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo, para el equilibrio estas deben ser colineales. EQUILIBRIO DE UN CUERPO SOMETIDO A DOS FUERZAS Considere una placa sometida a dos fuerzas. Para que la placa se encuentre en equilibrio estático, la suma de momentos alrededor de A debe ser cero. El momento de F2 será cero si su línea de acción pasa por A. Similarmente la línea de acción de F1 debe pasar por B para que la suma de momentos respecto a B sea nulo. Por tanto para que un cuerpo sometido a dos fuerzas se encuentre en equilibrio, las fuerzas deben ser de igual modulo, y de sentido contrario.

42 Considere a un cuerpo sometido a tres fuerzas actuando en A, B y C. Asumiendo que sus líneas de acción se intersecan el momento de F1 y F2 respecto al punto D es nulo. Puesto que el cuerpo rígido esta en equilibrio la suma de los momentos de F1, F2 y F3 Alrededor de cualquier eje puede ser cero. Es decir la línea de acción de F3 también debe pasar por D. Por tanto las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes. EQUILIBRIO DE UN CUERPO SOMETIDO A TRES FUERZAS

43 Para mostrar el equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio es necesario del conocimiento de seis ecuaciones escalares. Es decir. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENSIONES Estas ecuaciones son resueltas para determinar seis cantidades desconocidas que puedan ser las reacciones en los soportes. A veces es mas útil aplicar la forma vectorial de las ecuaciones esto es.

44 REACCIONES EN SOPORTES Y CONEXIONES

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46 Dos bandas de transmisión pasan sobre poleas soldadas a un eje que se sostiene mediante cojinetes en B y D. Si la polea en A tiene un radio de 2.5 in y la polea en C tiene un radio de 2 in y se sabe que el sistema gira con una velocidad angular constante. Determine: o La tensión T o Las reacciones en B y D (suponga que el cojinete D no ejerce ninguna fuerza de empuje axial y no tome en cuenta los pesos de las poleas y el eje EJERCICIO :

47 SOLUCION: R1 = -8i +2.5j R2 = -8j -2.5j R3 = 6j +2k R4 = 6j -2k R5 = 12i F1 = 24K F2 = 18k F3 = -30j F4 = -Tj F5 = Dy j + Dz k

48 SOLUCION: T = 37.5 lb Dz = 28 lb Dy = 33.75 lb ∑Mo = 0 Bx = 0 By = 33.75 lb Bz = -70 lb ∑F = 0

49 Un anuncio de densidad uniforme de 5 x 8 ft pies pesa 270 lb y esta soportado por una rotula en A y por dos cables. Determine la tensión en los cables y la reacción en A. EJERCICIO 2:

50 SOLUCION: