Unidad 4 Anexo 2. Capítulo III. Método alterno de solución.

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1 Unidad 4 Anexo 2. Capítulo III. Método alterno de solución.

2 U-4.A-2. Cap. III. Ecuación de Euler.
Considere ahora un método alternativo, suponiendo que la solución es de la forma xr, donde r es una constante. Cuando sus derivadas y’ = rxr  1 y y’’ = r(r  1)xr  2 se sustituyen en la ecuación diferencial, todos los términos incluyen la misma potencia de x, que se puede factorizar. Si se obtienen dos diferentes valores de r y de este modo dos soluciones linealmente independientes, el proceso resulta en la solución general. Así, se conjetura que la solución será de la forma y = xr y se sustituye con sus derivadas en la parte homogénea de la ecuación de Euler para obtener:

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como x ≠ 0, xr no puede ser cero. Observe que la ecuación anterior es análoga a la que se obtiene al transformarla a una de coeficientes constantes, y sus raíces son: Las raíces pueden ser reales diferentes, reales e iguales o complejas, dependiendo del valor de (b  1)2  4c, lo que a continuación se considera por separado.

4 CASO 1: Raíces reales y diferentes.
U-4.A-2. Cap. III Ecuación de Euler. CASO 1: Raíces reales y diferentes. Soluciones linealmente independientes: Solución General: CASO 2: Raíces reales e iguales. El procedimiento descrito ofrece solamente una solución, xr. La 2ª solución linealmente independiente se obtiene por el método de reducción de orden como xr ln x. Así, la solución general de la ecuación de Euler homogénea es:

5 CASO 3: Raíces complejas conjugadas.
U-4.A-2. Cap. III Ecuación de Euler. CASO 3: Raíces complejas conjugadas. Las raíces pueden expresarse en la forma r1,2 = a  ib. Al observar que: la solución general de la parte homogénea en este caso puede expresarse como: o bien:

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Las soluciones dadas en estos casos son válidas sólo en la región x > 0, ya que xr (r  Z) y ln x no están definidas para x ≤ 0. Sin embargo, se puede probar que el cambio de variable t = x (t > 0) convierte la ecuación de Euler en: que es idéntica a la original. De modo que las soluciones anteriores son válidas para x < 0 si se usa x en vez de x. En otras palabras, se usa el valor absoluto ya que |x| = x para x > 0 y |x| = x para x < 0. Los resultados se sintetizan en el siguiente teorema:

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La sustitución y = xr en la ecuación de Euler homogénea de segundo orden produce: con raíces r1 y r2. La solución general de esta ecuación en cualquier intervalo que no contenga el origen es: donde C1 y C2 son constantes. Para x > 0, las barras de valor absoluto pueden omitirse.