Impactos centrales directos Impactos centrales oblicuos

Presentación del tema: "Impactos centrales directos Impactos centrales oblicuos"— Transcripción de la presentación:

1 Impactos centrales directos Impactos centrales oblicuos
Choques y Percusión Impactos centrales directos Impactos centrales oblicuos

2 Perfectamente Elástico Con Inelasticidad Plástico
Breve repaso teórico Punto de Impacto Central - No Central Línea de impacto Impacto Directo - Oblicuo Perfectamente Elástico Con Inelasticidad Plástico

3 Impactos Elásticos 𝑃 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 = 𝑃 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal del Sistema 𝑃 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 = 𝑃 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 Vectorial 𝑃 = 𝑖 𝑚 𝑖 ∗ 𝑉 𝑖 Conservación de la Energía Cinética del Sistema 𝑇 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 = 𝑇 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 Escalar 𝑇= 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖 ∗ 𝑉 𝑖 2

4 Impactos con inelasticidad
Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal del Sistema 𝑃 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 = 𝑃 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 Vectorial 𝑇 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 > 𝑇 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 NO se Conserva la Energía Cinética del Sistema 𝑒= 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 Coeficiente de Restitución

5 Problema de Aplicación:
Fuente: Ingeniería Mecánica - Dinámica, Arthur P. Boresi – Richard J. Schmidt, 1ra Edición. (Pagina: 305). 3 discos elásticos se colocan sobre una mesa de aire sin fricción. El disco A tiene una masa 𝑚 𝐴 =0,6 𝑘𝑔 , y los discos B y C tienen masas iguales 𝑚 𝐵 = 𝑚 𝐶 =0,4 𝑘𝑔 . Al disco A se le da una velocidad inicial 𝑣 𝐴1 =3 𝑚 𝑠 en la dirección horizontal. Los discos B y C están inicialmente en reposo. El disco A golpea oblicuamente al disco B y luego se mueve con una velocidad de 1 𝑚 𝑠 según un ángulo desconocido 𝛼 con la horizontal. El disco B se mueve con una velocidad desconocida y en un ángulo 𝛽 también desconocido con respecto a la horizontal. Luego el disco B golpea al disco C de frente. Determine la velocidad del disco B luego de la primera colisión. Determine las velocidades finales de B y C luego de la segunda colisión. Estrategia: Estudiar las dos colisiones por separado (Colisión A-B , Colisión B-C)

6 Colisión A-B 𝑦 A 𝑥 Central B C Impacto Oblicuo Elástico

7 ? Colisión A-B 𝛼 𝛽 𝑦 𝑥 𝑣 𝐴1 =3 𝑚 𝑠 Horizontal 𝑦 𝑣 𝐴2 =1 𝑚 𝑠
Datos 𝑣 𝐴1 𝑚 𝐴 =0,6 𝑘𝑔 ; 𝑚 𝐵 =0,4 𝑘𝑔 ; 𝑚 𝐶 =0,4 𝑘𝑔 𝑥 𝑣 𝐴1 =3 𝑚 𝑠 Horizontal Antes de la colisión 𝑣 𝐴2 𝑦 𝛼 𝑣 𝐴2 =1 𝑚 𝑠 Inclinación 𝛼 Después de la colisión 𝑥 𝛽 𝑣 𝐵2 ?

8 Colisión A-B 𝛼 𝛽 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Conservación de el Energía Cinética
1 2 ∗ 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴 ∗ 𝑚 𝐵 ∗ 𝑉 𝐵1 2 = 1 2 ∗ 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴 ∗ 𝑚 𝐵 ∗ 𝑉 𝐵2 2 𝑣 𝐴1 𝑥 𝑉 𝐵2 2 = 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴1 2 − 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴 𝑚 𝐵 𝑉 𝐵2 2 = 0,6 [𝑘𝑔]∗ 𝑚 𝑠 2 −0,6 [𝑘𝑔]∗ 𝑚 𝑠 ,4 [𝑘𝑔] 𝑦 𝑣 𝐴2 𝛼 𝑉 𝐵2 2 = 12 𝑚 𝑠 2 ⇒ 𝑉 𝐵2 =3,464 𝑚 𝑠 𝑥 𝛽 𝑣 𝐵2

9 Colisión A-B 𝑦 Conservación de la Cantidad de Movimiento 𝑣 𝐴1 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴1 + 𝑚 𝐵 ∗ 𝑉 𝐵1 = 𝑚 𝐴 ∗ 𝑉 𝐴2 + 𝑚 𝐵 ∗ 𝑉 𝐵2 𝑥 𝑉 𝐴1 = 3 0 𝑉 𝐵1 = 0 0 𝑦 𝑣 𝐴2 𝑉 𝐴2 = 1∗𝑐𝑜𝑠 𝛼 1∗𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑉 𝐵2 = 3,46∗𝑐𝑜𝑠 𝛽 −3,46∗ sin 𝛽 𝛼 Todas las masas en kg y las velocidades en m/s 𝑥 𝑚 𝐴 =0,6 𝑘𝑔 ; 𝑚 𝐵 =0,4 𝑘𝑔 ; 𝑚 𝐶 =0,4 𝑘𝑔 0,6∗ ,6∗ =0,6∗ 1∗𝑐𝑜𝑠 𝛼 1∗𝑠𝑖𝑛 𝛼 +0,4∗ 3,46∗𝑐𝑜𝑠 𝛽 −3,46∗ sin 𝛽 𝛽 𝑣 𝐵2

10 Colisión A-B: Cálculos Auxiliares (Ayuda Algebraica)
0,6∗3=0,6∗ cos 𝛼 +0,4∗3,464∗ cos 𝛽 ⇒ cos 𝛼 = 0,6∗3−0,4∗3,464∗ cos 𝛽 0,6 [1] 0=0,6∗ sin 𝛼 −0,4∗3,464∗ sin 𝛽 ⇒ sin 𝛼 = 0,4∗3,464∗ sin 𝛽 0, [2] De [1]: cos 𝛼 =3−2,31∗ cos 𝛽 De [2]: sin 𝛼 =2,31∗ sin 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 =1= (3−2,31∗ cos 𝛽 ) 2 + (2,31∗ sin 𝛽 ) 2 5,34 1=9−13,86∗ cos 𝛽+5,34∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽+5,34∗ 𝑠𝑖𝑛 2 𝛽 1=9−13,86∗ cos 𝛽+5,34 ⇒ cos 𝛽 =0,962⇒𝜷=𝟏𝟓,𝟖° De [1]: cos 𝛼 =3−2,31∗0,962⇒ cos 𝛼 =0,778⇒𝜶=𝟑𝟖,𝟗𝟕°

11 Colisión B-C 𝑦 A 𝑦′ 𝑥 Central B Impacto Directo C Elástico 𝑥′

12 Colisión B-C 𝑣 𝐵2 Central Impacto Directo Elástico 𝑣 𝐵3 𝑣 𝐶3

13 Colisión B-C Teniendo el cuenta el referencial 𝑥 ′ −𝑦′, solo hay movimiento con respecto al eje 𝑥′. Las ecuaciones vectoriales solo tienen una componente 𝑣 𝐵2 𝑚 𝐵 = 𝑚 𝐶 =0,4 𝑘𝑔 𝑣 𝐵2 = 𝑣 𝐴2 =3,464 𝑚 𝑠 + (Dirección 𝑥 ′ positiva) Antes de la colisión 𝑣 𝐵3 = 𝑣 𝐵3 =? 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐶3 =? + (Dirección 𝑥 ′ positiva) - (Dirección 𝑥 ′ negativa) 𝑣 𝐵3 𝑣 𝐶3 Después de la colisión

14 Colisión B-C: Cálculos Auxiliares (Ayuda Algebraica)
𝑣 𝐵2 2 = 𝑣 𝐵 𝑣 𝐶3 2 ⇒ 𝑣 𝐶3 2 = 𝑣 𝐵2 2 − 𝑣 𝐵 [1] 𝑣 𝐵2 = 𝑣 𝐵3 + 𝑣 𝐶3 ⇒ 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐵2 − 𝑣 𝐵 [2] Sistema de ecuaciones “ 𝑆 1 ” Por diferencia de cuadrados [1] se transforma en: 𝑣 𝐶3 2 = 𝑣 𝐵2 + 𝑣 𝐵3 ∗ 𝑣 𝐵2 − 𝑣 𝐵 [1.1] Dividiendo [1.1] por [2]: 𝑣 𝐶 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐵2 + 𝑣 𝐵3 ∗ 𝑣 𝐵2 − 𝑣 𝐵3 𝑣 𝐵2 − 𝑣 𝐵3 ⇒ 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐵2 + 𝑣 𝐵3 [1.2] 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐵2 + 𝑣 𝐵3 [1.2] 𝑣 𝐶3 = 𝑣 𝐵2 − 𝑣 𝐵3 [2] Sistema de ecuaciones “ 𝑆 2 ” “ 𝑆 1 ” y “ 𝑆 2 ” son Algebraicamente Equivalentes

15 Conclusión y Resultados Finales
𝑚 𝐴 =0,6 𝑘𝑔 ; 𝑚 𝐵 = 𝑚 𝐶 =0,4 𝑘𝑔 Antes de la Primera Colisión Después de la Primera Colisión y Antes de la Segunda Después de la Segunda Colisión 𝒗 𝑨𝟏 =𝟑 𝒎 𝒔 Horizontal 𝒗 𝑨𝟐 =𝟏 𝒎 𝒔 𝒗 𝑨𝟑 =𝟏 𝒎 𝒔 𝜶=𝟑𝟖,𝟗𝟕° 𝜶=𝟑𝟖,𝟗𝟕° 𝒗 𝑩𝟏 =𝟎 𝒗 𝑩𝟐 =𝟑,𝟒𝟔𝟒 𝒎 𝒔 𝜷=𝟏𝟓,𝟖° 𝒗 𝑩𝟐 =𝟎 𝒗 𝑪𝟏 =𝟎 𝒗 𝑪𝟐 =𝟎 𝒗 𝑪𝟐 =𝟑,𝟒𝟔𝟒 𝒎 𝒔 𝜷=𝟏𝟓,𝟖° Energía Cinética del Sistema 𝑇 1 = 1 2 ∗ 𝑚 𝐴 ∗ 𝑣 𝐴 ∗ 𝑚 𝐵 ∗ 𝑣 𝐵 ∗ 𝑚 𝐶 ∗ 𝑣 𝐶1 2 = 1 2 ∗0,6∗ ∗0,4∗ ∗0,4∗ 0 2 =2,7 [N∗m] 𝑇 2 = 1 2 ∗ 𝑚 𝐴 ∗ 𝑣 𝐴 ∗ 𝑚 𝐵 ∗ 𝑣 𝐵 ∗ 𝑚 𝐶 ∗ 𝑣 𝐶2 2 = 1 2 ∗0,6∗ ∗0,4∗ 3, ∗0,4∗ 0 2 =2,7 [𝑁∗𝑚] 𝑇 3 = 1 2 ∗ 𝑚 𝐴 ∗ 𝑣 𝐴 ∗ 𝑚 𝐵 ∗ 𝑣 𝐵 ∗ 𝑚 𝐶 ∗ 𝑣 𝐶3 2 = 1 2 ∗0,6∗ ∗0,4∗ ∗0,4∗ 3,464 2 =2,7 [𝑁∗𝑚]

16 Simulación de Colisiones - WEB
Tarea Adicional Considerar que la colisión entre el disco B y el disco C no es perfectamente elástica. Si se sabe que dicha colisión está caracterizada por un coeficiente de restitución e=0,85. ¿Qué ocurre con las velocidades de B y C después de la colisión entre ellos? Simulación de Colisiones - WEB