RESISTENCIA DE MATERIALES UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema :Estados de Esfuerzos y Deformaciones.

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1 RESISTENCIA DE MATERIALES UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema :Estados de Esfuerzos y Deformaciones Tema 7 Estados de Esfuerzos y Deformaciones

2 ÍNDICE DE CONTENIDO UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos Sección 3 - Esfuerzos Principales Sección 3 - Esfuerzos Principales Sección 4 - Estado plano de deformación Sección 4 - Estado plano de deformación Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Sección 6 - Deformaciones principales Sección 6 - Deformaciones principales Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana Sección 8 - Círculo de Mohr Sección 8 - Círculo de Mohr

3 ÍNDICE DE CONTENIDO UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Índice de contenido Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Sección 10 – Rosetas de Deformación Sección 10 – Rosetas de Deformación Sección 11 – Resumen de Ecuaciones Sección 12 - Ejercicios Sección 12 - Ejercicios

4 ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor. Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes. En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté equilibrado.

5 En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura.Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 1 - Estado general de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

6 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (   ) y uno cortante (  xy ) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo  indica la dirección normal al plano de corte. ___________________________________________________ TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS PLANOS UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

7 _________________________________________________ Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen  x,  y y  xy sobre el elemento: P x =− σ x ⋅ dy − τ xy ⋅ dy ⋅ tan θ P y =− σ y ⋅ dy ⋅ tan θ − τ xy ⋅ dy Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

8 q,podremos Siproyectamosestasfuerzassobreladirección obtener el valor del esfuerzo   : ;; θxyθxy θ cos θ ∑ F=P ⋅ cos θ+P ⋅ sin θ+σ ⋅ dy = 0 Luego, al desarrollar la expresión nos queda: σ=σ ⋅ cos 2 θ+σ ⋅ sin 2 θ+ 2 ⋅ τ ⋅ sin θ ⋅ cos θ θxyxy Si utilizamos la identidades trigonométricas: cos 2 θ= 1 + cos2θ sin 2 θ= 1 − cos2θ 2 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ=sen 2θ Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronicaa

9 Podemos plantear finalmente: Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación  respecto a la dirección x. Si planteamos la misma expresión para un ángulo  ’=  +90º, nos queda: θ σ=σ= σ+σσ+σ xyxy 2 + x σ−σσ−σ y 2 () ()() () ⋅ cos2θ +τ xyxy ⋅ sin2θ θ'θ' σ=σ= xyxy σ+σσ−σσ+σσ−σ xyxy 2 () ()() () +⋅ cos ( 2θ + 180 ) +τ xyxy ⋅ sin ( 2θ + 180 ) Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

10 Recordando que trigonométrica mente se cumple que: cos ( α )+ cos ( α+180 )= 0 sin ( α )+ sin ( α+ 180 )= 0 Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple: σ x +σ y =σ θ +σ θ' =ctte Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

11 Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano . Si proyectamos ahora las fuerzas P x y P y sobre la dirección  ’ (perpendicular a  ), tenemos: Recordando las identidades trigonométricas: ;; θ'xyxy θθ' cos θ ∑ F=P ⋅sin θ−P ⋅cos θ+τ⋅dy=0∑ F=P ⋅sin θ−P ⋅cos θ+τ⋅dy=0 Desarrollando la expresión nos queda: τ =−( σ − σ )⋅ cos θ ⋅ senθ − τ ⋅ sin 2 θ+τ ⋅ cos 2 θ θθ'xyxyxy cos 2 θ= 1 + cos2θ sin 2 θ= 1 − cos2θ 2 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ=sen 2θ Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

12 Podemos plantear finalmente: Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación  respecto a la dirección x. Si planteamos la misma expresión para un ángulo  ’=  +90º, nos queda: θθ'θθ' τ =− σ−σσ−σ xyxy 2 ()() xyxy ⋅ sin2θ +τ ⋅ cos2θ θ'θ τ =− σ−σσ−σ xyxy 2 ()() xyxy ⋅ sin ( 2θ + 180 ) +τ ⋅ cos ( 2θ + 180 ) Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

13 ; Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revés. cos ( α )+ cos ( α+180 )= 0 sin ( α )+ sin ( α+ 180 )= 0 Si sumamos los esfuerzos cortantes para  y  ‘ veremos que se cumple: τ θθ' +τ θ'θ = 0τ θθ' =− τ θ'θ Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos Recordando que trigonométrica mente se cumple que: UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

14 ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 4 - Estado plano de deformaciones Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias (  ). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular   )  Entonces,unelementodiferencialenelplanopuedesufrirtres deformaciones, como se muestra en la figura. _______________________________________________________________

15 TRANSFORMACIÓN DE DEFORMACIONES PLANAS UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado.

16 alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos que resulten muy pequeños: _____________________________________________________ δ x =ε x ⋅ dx+ γ 2 xy ⋅ dx ⋅ tan θ δ y =ε y ⋅ dx ⋅ tan θ+ γ 2 xy⋅dxxy⋅dx Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección , comosemuestraenlafigura.Enprimerlugar,estableceremoslos UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

17 El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de las deformaciones  x y  y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: θ ε=ε= δ x' dx' = δx ⋅ cos θ+δy ⋅ sin θ dx cos θ Al desarrollar esta expresión, nos queda: θxθx 2 ε=ε ⋅ cosθ+ γ xyxy 2 y ⋅ sin ⋅ cos θ+ε ⋅ 2 sinθ+ γ xyxy 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

18 ;; Obtenemos finalmente: θ ε=ε= xyxy ε+εε−εε+εε−ε xyxy γ xyxy 222222 +⋅ cos2θ +⋅ sin2θ cos 2 θ= 1 + cos2θ sin 2 θ= 1 − cos2θ 2 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ=sen 2θ De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para esta expresión también se cumple que: ε x +ε y =ε θ +ε θ' Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

19 Ahora,proyectaremoslas deformaciones  xy  y sobreuna dirección perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que: γ θθ' δ y' δx ⋅ cos ( θ+ 90 ) +δy ⋅ sin ( θ+90 ) = dx' = dx cos θ Al desarrollar esta expresión, nos queda: γ θθ' =− ε x ⋅ cos θ ⋅ sin θ − γ xyxy 2 2 y ⋅ sinθ+ε ⋅ sin θ ⋅ cos θ+ γ xyxy 2 2 ⋅cosθ⋅cosθ Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

20 ;; Obtenemos finalmente: θθ'θθ' 2 ε x − ε y γ xy γ =⋅ sin2θ +⋅ cos2θ cos 2 θ= 1 + cos2θ sin 2 θ= 1 − cos2θ 2 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ=sen 2θ De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para esta expresión también se cumple que: γ θθ' =− γ θ'θ Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos. Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas Utilizando las identidades trigonométricas: UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

21 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable . Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las deformaciones máximas: De lo que resulta: DEFORMACIONES PRINCIPALES UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA dεdε θ = d dθdθ xyxy 2 + xyxy d dθ2 ⋅ cos2θ + ε+εε − εγ xyxy d dθ2 ⋅ sin2θ ()()()()()() dε θ = ε x − ε y ⋅ 2 ⋅ sin2θ + γ xy ⋅ 2 ⋅ cos2θ dθ22

22 Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr varíanlos esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen: Sielevamosambasexpresionesalcuadradoylasylassumamos, queda: Círculo de Mohr Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano Observemoslasecuacionesquedescribencómo θθ' τ =− x σ−σσ−σ y 2 ()() xyxy ⋅ sin2θ +τ ⋅ cos2θ θ σ−σ− σ+σσ−σσ+σσ−σ xyxyxyxy 2 () xyxy =+ ⋅ cos2θ+τ ⋅ sin2θ [ θ σ−σ− σ+σσ+σ xy2 xy2 ]2]2 θθ' 2 +τ=+τ= σ−σσ−σ xy2 xy2 ()()()() 2 +τ+τ xy2xy2 UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

23 Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma: R2=R2= σ−σσ−σ xyxy 2 ()() 2 +τ+τ xy2xy2 De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma: [ σ − σ 2 +τ=R 2 θprom ] θθ' 2 Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA

24 MÉTODO PARA GRAFICAR EL CÍRCULO DE MOHR A continuación describiremos un procedimiento para graficar el círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos. Su tomarán la siguiente convenciones: - Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada. - Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa. - Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj. - Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las ordenadas. UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRONICA Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr

25 caso, xyxy elemento antihorario hace girar al en sentido y  yx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo delasdelas siguiendola ordenadas, convención establecida. También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (  x y  y ) son de tracción. Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Los pasos a seguir son: 1.Graficar los puntos (  x,  xy ) y (  y,  yx ), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos x e y respectivamente. Note que en este Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

26 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr 2.Trazar una línea que una los puntos (  x,  xy ) y (  y,  yx ) y definir la dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de las abscisas en el valor  prom. 3.Con centro en el punto (  prom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (  x,  xy ) y (  y,  yx ). Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

27 VENTAJAS DE TRABAJAR CON EL CÍRCULO DE MOHR ParadefinirelcírculodeMohr,sólonecesitanconocerselos parámetros  x,  y y  xy, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa: -Elesfuerzonormalycortanteparacualquierplanodelelemento diferencial. -Los esfuerzos principales (  1 y  2 ). -Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales (  p1 y  p2 ). -El esfuerzo cortante máximos (  max ) -Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante máximo. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

28 Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección , se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2  respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos   y   ’ en el plano en cuestión. Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido antihorario. Notequeparaelcaso mostrado, el esfuerzo   es de tracción (+) y el esfuerzo cortante   ’ trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

29 Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (  ). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal. losplanosNotequeen dondeocurrenlos esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo. Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2  =180º, es decir,  =90º. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

30 El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas. Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x. Notequepara Mohr, cualquier losplanos círculode donde ocurren entre losesfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos existe siempre un ángulo 2  =90º, es decir,  =45º. Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

31 Círculo de Mohr para Deformación plana Observemos las ecuaciones que describen cómo varían las deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen: Observe esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones: ;; γ θθ'θθ' 2 quelasecuacionessonidénticasalasreferidasa =− ε−εε−ε xyxy 2 ()() γ xy ⋅ sin2θ + 2 ⋅ cos2θ θ ε−ε− xyxy 2 =+=+ xyxy 2 () ε+εε − εγ xyxy 2 ⋅ cos2θ +⋅ sin2θ y σ→εσ→ε y x σ→εσ→ε x xyxy γ xy τ → 2 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

32 deesfuerzos,estaDemodoque,deformaanálogaalcaso ecuación puede rescribirse de la siguiente manera: Donde: Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable  en vez de , y el eje de las ordenadas se referirá a  /2 en vez de , y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente. θ [ε−ε[ε−ε prom γ ]2 +θθ']2 +θθ' 2 [][] 2 =R2=R2 R2=R2= ε−εε−ε xyxy 2 + () [() [ γ xyxy 2 ]2]2 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

33 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Recipientes de pared delgada Designaremosrecipientesdepareddelgadaatodos aquellos contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación: mismo. Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos. CASOS DE ESTADO PLANO DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN t Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del r ≥ 10 Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

34 En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (  T ), y el otro tiene dirección longitudinal (  L ). En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales (  T ). Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

35 Finalmente puede ________________________________________________________ L Donde P es la presión interna del recipiente. plantearse: P ⋅ π ⋅ r 2 =σ ⋅ 2π ⋅ t ⋅ r L σ=P ⋅ r 2t Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Sitomamosunaporción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

36 T σ=Pr⋅tσ=Pr⋅t Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Alhaceruncortelongitudinalenelrecipientecilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse: P ⋅ r ⋅ L=σ T ⋅ t ⋅ L Finalmente : Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

37 ______________________________________________________ Entonces, puede plantearse: σ T =P ⋅ r 2t Tema 7- Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse: P ⋅ π ⋅ r 2 =σ ⋅ 2π ⋅ t ⋅ r T Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

38 BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZOS COMBINADOS … Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

39 Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 10 - Rosetas de deformación ROSETAS DE DEFORMACIÓN En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones: ε=εcos 2 θ+εsin 2 θ+γsin θcos θ θ a xayaxyaa ε=εcos 2 θ+εsin 2 θ+γsin θcos θ θ b xbybxybb ε=εcos 2 θ+εsin 2 θ+γsin θcos θ θ c xcycxycc Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

40 RESUMEN DE ECUACIONES Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector: ΔV = dV =− q ( x ) Δxdx ΔM = dM =V Δxdx V: Fuerza Cortante en una sección transversal M: Momento Flector en una sección transversal x: Distancia desde un extremo de la viga Tema 7 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica

41 ESFUERZO NORMAL DEBIDO A MOMENTO FLECTOR: σ= M ⋅ y I  : Esfuerzo normal en un punto de la sección transversal M: Momento flector sobre la sección transversal y: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversal I: Momento de inercia de la sección transversal - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones Universidad Piloto de Colombia Facultad de Ingenieria Programa de Ingenieria Mecatronica