Introducción Los polinomios y series de Taylor nos permiten a menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie de potencias que converja.

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1 Introducción Los polinomios y series de Taylor nos permiten a menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie de potencias que converja a la función. Los polinomios en general y las series de Taylor en particular son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud, de allí que se intenta buscar un polinomio que se le parezca y se usa dicho polinomio en su lugar. En este proceso es obvio que se pierde la exactitud de cálculo y se gana la operatividad, pues ni modo…aquí un ejemplo.

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4 Aplicaciones a la aproximación

5 Aplicaciones a la aproximación
¿Qué significa la representación en serie de una función? Cualquier función periódica pueden representarse mediante una serie de funciones trigonométricas de frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental de la señal dada. Esta serie es la denominada Serie de Fourier, que puede ser exponencial o trigonométrica. La serie converge el valor de la función, es decir, a medida que se suman más términos a la serie ésta es más “parecida” a la función que representa.

6 Series de Fourier Bueno, así como los polinomios y series de Taylor nos permiten a menudo aproximar una función por polinomios, o hallar una serie de potencias que converja a la función. El análisis de Fourier es muy similar, sólo que ahora nos plantearemos la aproximación de una función por combinaciones de funciones seno y coseno elegidas adecuadamente. Obviamente la primera pregunta que uno se hace es ¿por qué vamos a querer aproximar ahora una función por combinaciones de senos y cosenos ?. ¿Dónde se da esto de poder combinar senos con cosenos?.

7 En particular, lo que por ahora a un informático le interesa está relacionado con el análisis de circuitos, tratamiento de la señal, cuyo análisis se sustenta en el análisis de Fourier. Recientemente se ha desarrollado una herramienta, las ondículas (wavelets en inglés) que suponen un refinamiento del análisis de Fourier y que están teniendo una importancia decisiva en el tratamiento de la señal. Las wavelets se han usado para comprimir los archivos digitales de huellas dactilares del FBI, se usan en la mayoría de las películas de animación que se realizan en la actualidad, en los formatos de imagen jpg (a partir de 2000), en la detección de cánceres, en los estudios geológicos, entre otros.

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9 FOURIER vs WAVELETS:Descomposición de una señal en “ondas”

10 El análisis de wavelets está especialmente indicado para señales con pulsos o intermitencias: sucesos que ocurren de manera no periódica. Para señales no periódicas Fourier da muy poca información, al perder casi toda información temporal, es decir, Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitentes. Esto es que si añadimos un impulso “localizado” en el tiempo a una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarán. Cuando un sistema es lineal, el análisis de Fourier proporciona mucha información sobre los mismos. Al estudiar sistemas no lineales, ninguna descomposición global según el análisis de Fourier tendrá éxito. En tal caso, se debe limitar a una expansión local, que es lo que hace el análisis de wavelets (como un desarrollo tipo serie de Taylor).

11 En general, un sistema es una transformación aplicada a una señal de entrada (x) para obtener una señal de salida (y). En este contexto, existen Sistemas Lineales que son sistemas Invariante en el tiempo, y Sistema No lineal que son Variante en el tiempos. Desde luego que existen otras clasificaciones, sistemas dinámicos, sistemas con memoria y sin memoria, etc

12 En particular, cualquier secuencia arbitraria puede representarse como suma de impulsos escalados y retardados, por ejemplo la Reverberación, es un sistema lineal invariante en el tiempo. La Reverberación es lo que le ocurre a un sonido cuando recorre el camino desde la fuente a los oídos de un escucha. Por otra parte, la reverberación en un cuarto es el producto de la superposición de muchos ecos. Por ejemplo…

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14 Los resortes es otro de los ejemplos mas sencillo de un sistema lineal invariante con el tiempo, pues, el resorte se va alargando linealmente dependiendo de la masa que se ponga en ella sin vencer su constante de estiramiento y no toma en cuenta el tiempo en que se mantenga la masa.

15 Supongamos que deseamos conocer que tipo de frecuencias que contiene un trozo de música (o un sismograma). Para conocer eso, se hace una transformada de Fourier, y se puede dibujar dos gráficos que van a indicar la amplitud y la fase de cada frecuencia. En esta parte, vamos a estudiar funciones continuas (analógicas) del tiempo t, y sus transformadas de Fourier asociadas. Lo primero es lo primero, …., ¿cómo determino la amplitud, período y fase de una senoidal?. Ahhh!!!. Por ejemplo, - ¿Cuál es la amplitud, período de la función. Y= 2sen(x/2), o la - ¿ amplitud, período y fase de y= 2sen(3x + ∏/2) + 3.???

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24 Una masa que esté fija a un resorte, que tenga movimiento armónico simple vertical describe una curva senoidal, la que en términos generales es la representación gráfica de una onda. En forma similar se procede con una onda de agua, en donde los puntos altos de una senoidal se le llamas crestas y a los puntos bajos, valles.

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26 Para que exista sonido deben existir los siguientes elementos:
 Un foco emisor que produzca vibraciones.  Un medio material elástico que las propaga.  Un detector, que en el caso de los seres humanos y el resto de los animales es el oído. Los sonidos se diferencian unos de otros por sus cualidades fundamentales, tres de estas cualidades son:  Tono  Intensidad sonora  Timbre

27 Los patrones de onda de sonido producidas por la mayor parte de los instrumentos musicales no son senoidal. Las figuras características producidas por un diapasón, una flauta, un violín y un gong, cada uno ejecutando la misma nota, se ilustra en la siguiente figura, capturada por un Osciloscopio. Un osciloscopio, es un instrumento de laboratorio el cual se puede conectar a un micrófono y que muestra las ondas en una pantalla. En Internet se puede encontrar "osciloscopios virtuales" que permiten hacer experimentos con ondas de sonoras.

28 Aunque cada uno tiene su propio patrón característico, las cuatro son periódicas.
Si una onda es no senoidal pero periódica se puede representar muy cercanamente como se quiera por una serie de suma de ondas senoidal que formen una serie armónica. De hecho se puede representar cualquier función periódica como una serie de términos seno y coseno al usar técnica matemática basada en el teorema de Fourier. Lo importante es notar que aunque la onda no sea senoidal se puede representar por medio de una suma de senos y cosenos.

29 Las ondas mecánicas, ya sean transversales o longitudinales, se pueden representar por medio de las funciones trigonométricas. El sonido son ondas longitudinales, donde la amplitud tiene que ver con la intensidad o volumen y la frecuencia está relacionada con el tono y con la posición en la escala musical.

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36 A continuación se presentan algunas funciones que se pueden trabajar por medio de series infinitas y que involucran las funciones seno y coseno. Estas funciones, denominadas series de Fourier, tienen gran aplicabilidad en fenómenos físicos, por ejemplo en la transferencia de calor y en el sonido, como se ya se ha motivado. Un hecho interesante es que una función periódica f(t) con periodo T se puede escribir como una combinación lineal de las funciones: Donde es conocida como frecuencia o velocidad angular y T es el período. En tal caso f se puede escribir como:

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41 Considerar que la señal dada es x(t)
Considerar que la señal dada es x(t). Se pide calcular los coeficientes de la Serie Trigonométrica de Fourier, es decir, an, bn y a0. Notar que como la señal no tiene ningún tipo de simetría, las integrales para hallar los coeficientes de la serie serán por tramos (3 tramos). Sin embargo, si hacemos uso de desplazar la señal tanto en la dirección de las ‘x’ como en la de las ‘y’, se pueden simplificar los cálculos.

42 Consideremos la señal v(t)=x(t-2)-2, que es una señal que se obtiene desplazando a x(t)
“para abajo”, es decir, restando 2 en amplitud a toda la señal, con lo que queda: y luego retardándola 2 unidades de tiempo (flecha roja): Nota: Podría haberse obtenido v(t) adelantando a x(t) en 4 unidades de tiempo (flecha azul) y la solución es igualmente válida: v2(t)=x(t+4)-2. Puede verse que la señal obtenida finalmente es una señal par.

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49 Piecewise[{{1-x, 0<=x<1}, {0, 1<x<=2}}]

50 ExptoTrig[FourierSeries[Piecewise[{{1-x/Pi,0<x<Pi},{0,-Pi<x<0}}],x,5]]

51 Las series de Fourier son series con términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. ¿Pero donde se pueden dar este tipo de funciones.??

52 Los sucesos que se repiten con una cierta periodicidad son relativamente comunes en la naturaleza. Por ejemplo, las olas en el mar, las estaciones a lo largo del año, la transmisión del sonido, el péndulo de un reloj, las señales electromagnéticas emitidas por una antena, etc. Las series de Fourier y la transformada de Fourier han jugado y continúan jugando un papel fundamental en el estudio de estos problemas y el desarrollo de las Matemáticas.

53 En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de señales, ellas pueden ser: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo. La aplicación del osciloscopio nos permite entender un poco mejor como son estas señales que se pueden determinar calculando la Serie de Fourier para cada una de estas.

54 A la hora de estudiar fenómenos periódicos tenemos dos frentes abiertos.
- Conocer las leyes de la física que gobiernan el sistema que queremos modelar, ya se trate del movimiento de un fluido para estudiar las olas del mar y el otro que es - Cual es la relación entre la electricidad, el magnetismo, voltajes, resistencias y lo que sea necesario para estudiar una señal eléctrica.

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58 Lo que nos interesa es el aspecto matemático del problema
Lo que nos interesa es el aspecto matemático del problema. ¿Cómo podemos describir uno de estos sistemas? . El principio que vamos a aplicar es el de divide y vencerás.!!. ¿Cómo así.?? .. Se procede a dividir el problema en términos sencillos utilizando senos y cosenos y después combinar funciones de este tipo para obtener sistemas más complicados.

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60 se obtiene lo siguiente.

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