CONSTRUCIONES GEOMETRICAS 5 - CÓNICAS

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1 CONSTRUCIONES GEOMETRICAS 5 - CÓNICAS
Construcciones elementales

2 Ejercicio Nº 17 Elementos de la elipse

3 Ejercicio Nº 18 Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos

4 Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad el lado menor AE en el mismo numero de partes.

5 Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4. Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.

6 Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada

7 Ejercicio Nº 19 Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focos Trazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.

8 La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.

9 Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.

10 Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.

11 Ejercicio Nº 20 Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b. Dados los ejes

12 Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.

13 Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores. Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.

14 Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise

15 Ejercicio Nº 21 Construcción de una elipse dados una pareja de diámetros conjugados Dados una pareja de diámetros conjugados A’-B’ y C’-D’

16 Trazamos la circunferencia de diámetro A‘ B'.

17 La perpendicular por O corta a la circunferencia en D1 y C1 .

18 Unimos los puntos D1 y D’ así como C1 y C’.

19 Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D' Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada

20 Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse

21 Ejercicio Nº 22 Puntos de intersección de una recta con una elipse Sea la elipse dada por sus elementos, focos, ejes y la recta r.

22 Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la focal y pasan por el otro foco, lo que tenemos que determinar son los centros de estas circunferencias.

23 Trazamos la focal del foco F de radio 2a, se halla el simétrico de F' respecto a la recta r punto F'1 .

24 Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O en la recta r, que corta a la focal en 1 y 2, la cuerda 1-2 y la recta F'-F'1 se cortan en el centro radical Cr.

25 Desde Cr trazamos las tangentes a la focal, que nos dan los puntos de tangencia T1 y T2

26 Unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con F dando los puntos I1 e I2, que son los puntos de intersección de la recta con la elipse, a la vez son los centros de las circunferencias tangentes a la focal de F y que pasan por el otro foco F'

27 Ejercicio Nº 23 Hallar los ejes una elipse dada por una pareja de diámetros conjugados A'B' y C'D'.

28 Por el centro O se traza la perpendicular a A‘ B' y se lleva OP=OA',

29 Se une P con D' y se traza la circunferencia de centro O1 y diámetro PD', con centro en O1 y radio O1O se traza la semicircunferencia MON. Uniendo O con M y N se obtienen los ejes de la elipse buscada.

30 Unimos O1 y O obteniendo los puntos G y H

31 La magnitud de los ejes es a = OH y b = OG que transportamos sobre cada uno de ellos respectivamente

32 Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F', N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF' FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OA Siendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp) La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse

33 Ejercicio Nº 25 Tangentes desde un punto P a una elipse utilizando la circunferencia principal

34 Trazamos la circunferencia principal Cp de centro en O y radio OB = OA

35 Unimos el punto P con el Foco F’ y con centro en 1 punto medio de PF‘, trazamos la circunferencia de diámetro PF'

36 Los puntos de corte con la Cp puntos M y N son los puntos por los que pasan las tangentes unimos estos con P y tenemos las tangentes t y t' a la elipse

37 Determinamos los simétricos F' respecto a las tangentes puntos F1' y F2'. Unimos estos puntos con el otro foco F y determinamos los puntos de tangencia con la elipse T y T'

38 Ejercicio Nº 26 Tangente a la elipse paralelas a una dirección dada d utilizando la circunferencia principal

39 Trazamos la circunferencia principal Cp

40 Trazamos por el foco F una perpendicular a la dirección d

41 Por los puntos M y N de intersección con la Cp son los puntos por los que pasan las tangentes por estos puntos trazamos las paralelas a la dirección dada d.

42 Hallamos los simétricos del foco F respecto de las tangentes t y t' puntos F1 y F2 .

43 Unimos los puntos F1 y F2 con F' y determinamos los punto de corte con las tangentes puntos T y T' que son los puntos de tangencia con la elipse

44 Ejercicio Nº 27 Construcción de la hipérbola por haces proyectivos
Ejercicio Nº 27 Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’

45 Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.

46 Se traza un rectángulo BMPN.

47 Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.

48 Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..

49 Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada

50 Ejercicio Nº 28 Determinar los puntos de intersección de una recta con una hipérbola Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta r que queremos conocer los puntos de intersección con la hipérbola

51 Trazamos la circunferencia focal de centro F,

52 Hallamos el simétrico de F' respecto de la recta r punto F'1

53 Trazamos la circunferencia auxiliar de centros E que pase por F y F'1 de radio cualquiera.

54 Unimos los puntos de corte de la circunferencia anterior con la focal puntos 1 y 2 y determinamos el Cr que es el punto de corte con la recta F' F'1

55 Desde Cr trazamos las tangentes a la focal y hallamos los puntos T y T',

56 Unimos los puntos T y T’ con el foco F y determinamos los puntos I1 y I2 puntos de intersección de la recta con la hipérbola

57 Ejercicio Nº 29 Trazar una hipérbola por envolventes Tenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.

58 Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.

59 Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN

60 Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t

61 Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.

62 Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig
Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación

63 Ejercicio Nº 30 Trazar una hipérbola conocidas las asíntotas y un punto P de ella

64 Por el punto P trazamos una recta que corta a las asíntotas en A y D

65 Tomamos la distancia PA y trazamos el punto C, PA = CD.

66 Repetimos la misma operación con otra recta que corta a las asíntotas en M y N, y determinamos el punto R igual que el C; NP = MR

67 Se determinan todos los otros puntos restantes de la misma forma trazando rectas que pasen por el punto P o por los otros puntos hallados C, C’, R y R’

68 Ejercicio Nº 31 Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior P, mediante la circunferencia principal Cp. Se conocen el eje AB y los focos F y F' de la hipérbola, y un punto cualquiera P exterior a ella.

69 Trazamos la circunferencia principal Cp

70 Unimos el punto P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF y centro O1 que corta a la Cp en los puntos M y N.

71 Por los puntos M y N pasan las tangentes a la hipérbola unimos M y N con P y tenemos las tangentes t y t' Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'

72 Hallamos los simétricos de F respecto a las tangentes t y t' puntos F1 y F2 que unidos con el otro foco F' nos determinan los puntos de tangencia T y T'

73 Ejercicio Nº 32 Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada, mediante la circunferencia principal Cp. Conocemos el eje AB y los focos de la hipérbola y la recta d que nos da la dirección que queremos trazar las tangentes.

74 Trazamos la circunferencia principal Cp de centro O y radio OA = OB

75 Por F' trazamos la perpendicular a la dirección dada d que nos determina los puntos M y N, puntos por los que pasan las tangentes a la hipérbola paralelas a la dirección dada d, foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola

76 Trazamos estas tangentes t y t', por M y N y paralelas a la dirección dada d

77 Hallamos los simétricos de F' respecto a las tangentes t y t' puntos F'1 y F'2.

78 Unimos F'1 y F'2 con el otro foco F que nos da los punto de tangencia T y T' con la hipérbola

79 Ejercicio Nº 33 Trazar una parábola por envolventes Tenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.

80 Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.

81 Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp

82 Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.

83 Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.

84 Ejercicio Nº 34 Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva

85 Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.

86 Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.

87 Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.

88 La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R
La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen los demás puntos

89 La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje

90 Ejercicio Nº 35 Intersección de una recta con una parábola
Ejercicio Nº 35 Intersección de una recta con una parábola. Se conocen el eje y el foco F y la directriz de la parábola, y la recta r.

91 Hallamos el vértice de la parábola V y trazamos la tangente en el vértice tv que así mismo la circunferencia principal Cp.

92 Hallamos el simétrico de F respecto de la recta r punto F'.

93 Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por F y F' de centro en el punto O.

94 Prolongamos la recta FF' que corta a la directriz en el punto Cr, centro radical se traza la tangente Cr-T

95 Este segmento se lleva sobre la directriz con una circunferencia de centro Cr y radio Cr-T que nos determina los puntos A y B.

96 Por A y B se trazan las perpendiculares a la directriz que cortan a la recta r en los punto I y I' que son los puntos de intersección de la recta r con la parábola.

97 Ejercicio Nº 36 Determinación de una parábola conociendo dos tangentes y los puntos de tangencias en cada una . Conocemos las tangentes t y t' y los puntos de tangencia T y T'.

98 Unimos los puntos de tangencia y tenemos la recta T-T', hallamos el punto medio M de este segmento TT', unimos M y N y tenemos la dirección del eje que es la recta MN.

99 Tomamos un punto cualquiera P y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 1 y 2 se unen estos y determinamos la tangente t'' que es otra tangente a la parábola, determinamos el punto de tangencia trazando por P una paralela al eje que nos determina el punto T''.

100 Si tomamos el punto M punto del eje de la parábola y por el trazamos las paralelas a las tangentes que cortan a estas en los puntos 3 y 4 se unen estos y determinamos el vértice V de la parábola Para determinar mas puntos se repite el procedimiento tomando puntos diferentes sobre la recta TT'.

101 Ejercicio Nº 37 Tangentes a la parábola desde un punto exterior P utilizando la tangente en el vértice Tenemos una parábola definida por el eje, vértice A el foco F '.

102 Se traza la directriz d por B, FA = AB que como sabemos es perpendicular al eje (que es la circunferencia focal Cf de la parábola) a continuación por A trazamos la tangente en el vértice tv que es la circunferencia principal Cp.

103 Unimos P con el foco F y trazamos una circunferencia de diámetro PF, que corta a la tangente en el vértice tv en los puntos M y M' puntos que pertenecen a las tangentes

104 Unimos P con M y M' puntos que pertenecen a las tangentes y tenemos las tangentes t y t' desde el punto P a la parábola.

105 Unimos el foco F con los puntos M y M' y tenemos los punto F1 y F2 puntos de la directriz por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.

106 Por los puntos F1 y F2 trazamos paralelas al eje y nos determina los puntos de tangencia con la parábola T y T'.

107 Ejercicio Nº 38 Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada r utilizando la tangente en el vértice Datos el eje, el foco F y el vértice A

108 Trazamos la directriz d y la tangente en el vértice tv, teniendo presente que AB = AF

109 Por el foco trazamos la perpendicular a la dirección dada r que corta a la tangente en el vértice tv en el punto M y a la directriz en el punto F'.

110 El punto M es un punto de la tangente buscada por M trazamos una paralela a la dirección dada r y tenemos la tangente buscada.

111 Por el punto F' punto de corte de la perpendicular con la directriz trazamos otra paralela al eje que nos el punto T punto de tangencia con la parábola.

112 Ejercicio Nº 39 Construcción de la elipse por el método de los 12 puntos. Se conocen los ejes. Vemos el dibujo de la circunferencia, el punto M es la mitad del radio de la circunferencia (cuarta parte del lado AB) Si unimos E con B y el otro extremo del diámetro con M las rectas se cortan en un punto de la circunferencia

113 Se traza el rectángulo de lados igual a los ejes

114 Se dividen los lados en cuatro partes iguales el lado AB el punto M es la cuarta parte y el lado BC el punto N es también la cuarta parte, se procede igual en las otras mitades de los lados.

115 Se une M con el extremo del eje mayor punto 3 y el otro extremo E con el punto B y nos da el punto P punto de la elipse se repite la operación y tenemos cuatro puntos.

116 Se une N con el extremo del eje menor punto 6 y el otro extremo punto 12 con el punto C y nos da el punto 4, punto de la elipse.

117 Se repite la operación y tenemos otros cuatro puntos.

118 Con los otros cuatro puntos extremos de los ejes tenemos los doce puntos que unimos y tenemos dibujada la elipse.

119 Ejercicio Nº 40 Construcción de una parábola por tangentes Conocemos el eje de la parábola, la tangente en el punto P a la parábola (PV).

120 Determinamos el simétrico de P respecto al eje punto P' y trazamos la tangente P'V.

121 Se dividen PV y P'V en el mismo numero cualquiera de partes.

122 Se numeran las dos tangentes correlativamente pero en orden inverso.

123 Se trazan las rectas 1-1, 2-2, 3-3,
Se trazan las rectas 1-1, 2-2, 3-3, , que son las tangentes a la parábola y trazamos la misma.