RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ESCALERIZACIÓN.

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1 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR ESCALERIZACIÓN.

2 Algunas puntualizaciones previas.
Resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas significa hallar el conjunto de ternas que verifican las 3 ecuaciones a la vez. Llamamos combinación lineal de 2 o más ecuaciones a la ecuación que se obtiene de sumar miembro a miembro a esas ecuaciones, previamente multiplicadas por un número real.

3 Dos sistemas son equivalentes si ambos tienen el mismo conjunto solución.
Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de ellas por una combinación lineal de las ecuaciones del sistema, se obtiene un sistema equivalente, siempre que la ecuación sustituida no esté multiplicada por 0.

4 Método de escalerización.
Este método consiste en ir transformando un sistema en otros equivalentes hasta obtener un sistema escalerizado. Para ello se deben ir sustituyendo ecuaciones del sistema por combinaciones lineales en las que se eliminen incógnitas. Veamos un ejemplo:

5 Consideremos el sistema lineal:
Realicemos combinaciones lineales en las que eliminemos x (puedes elegir de acuerdo al sistema cuál de las variables conviene eliminar). En (A) sustituimos e2 por la C.L. 3e1 + e2, ecuación que nombraremos e4.

6 Ahora realizamos otra combinación lineal en la que se cancele la incógnita eliminada anteriormente.
En el nuevo sistema sustituimos e3 por la C.L. 2e1 – e3, ecuación que nombraremos e5.

7 Obtenemos así el sistema (A’) equivalente al (A)
Obtenemos así el sistema (A’) equivalente al (A). Trabajando con las dos ecuaciones obtenidas, realizamos una nueva C.L. en la que se cancele alguna de las dos incógnitas. Por ejemplo, en (A’) sustituimos e5 por la C.L. e4 + 4e5, ecuación que nombraremos e6 y que sólo tiene una de las incógnitas.

8 Se obtiene así el sistema escalerizado (A’’) que es equivalente al sistema (A’), que a su vez es equivalente al sistema (A). Por lo tanto, los tres sistemas tienen el mismo conjunto solución. Trabajando en (A’’) podemos ir hallando el valor de las distintas variables, componentes de la o las ternas solución.

9 En e6 obtenemos el valor de z:
Luego, por sustitución, obtenemos el valor de las restantes incógnitas.

10 En e4 sustituimos z por 1 y hallamos y:

11 Por último en e1 sustituimos y por 0,5 y z por 1 para hallar x:

12 Por lo tanto, el sistema original (A) tiene una única terna solución: (– 2 ; 0,5 ; 1). Por tener una única terna solución se dice que el sistema (A) es compatible determinado y su solución es:

13 Andrea Brasesco y Ana Medeiros
Autoras Andrea Brasesco y Ana Medeiros Fecha de Publicación: 18 de octubre de 2017 (2012) Referencias bibliográficas Anton, H. (1997) Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México. Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.