Teorema de Jordan 7 de julio de 2006.

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1 Teorema de Jordan 7 de julio de 2006

2 En el plano se cumple el Teorema de Jordan y se desea que se cumpla un análogo cuando estamos dibujando con la computadora.

3 Teorema de la curva de Jordan
Sea c una curva cerrada simple en el plano 2 . Entonces el complemento de la imagen de c consiste de dos componentes conexas distintas. Una de estas componentes es acotada (el interior) y la otra es no acotada (el exterior). También c es la frontera de cada componente.

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5 El círculo más chiquito que se puede dibujar es….

6 Presentar circulito

7 El círculo más chiquito que se puede dibujar…(situación)
Blancos y negros; ambos 4-conexos Blancos y negros ambos 8-conexos Los negros, de los que se esperaría formaran una curva (conjunto conexo), son puntos (frontera) aislados y los blancos tienen dos componentes conexas. Aquí la contradicción es que en el caso del plano, si tenemos cuatro puntos aislados, su complemento tiene una única componente conexa. Los negros forman un conjunto conexo (curva cerrada) y los blancos tienen una única componente conexa. Debería de haber dos componentes conexas blancas.

8 El círculo más chiquito que se puede dibujar…
Negros: 8-conexidad; Blancos: 4-conexidad. Los negros forman una curva (conjunto conexo y frontera de los blancos). Los blancos presentan dos componentes conexas que corresponderían al interior y al exterior. El teorema de Jordan se cumple.

9 Negros: 8-conexidad; Blancos: 4-conexidad.
Ventaja: Las “curvas” negras son conexas (como pasa cuando las “dibujamos” en una hoja de papel (el plano)). Desventaja: Las “curvas” blancas no son conexas, “de una pieza”.

10 El círculo más chiquito que se puede dibujar…
Negros: 4-conexos; Blancos: 8-conexos. Negros son puntos aislados y los blancos forman una única componente conexa. (Quítese al plano un conjunto finito de puntos aislados y no se rompe la conexidad del complemento. Para convercerse, piense en el plano como una hoja de papel y a los puntos aislados que estamos quitando como picaduras de la hoja con un alfiles, si los piquetes son “poquitos” la hoja de papel no se rompe en al menos dos pedazos. )

11 Negros: 4-conexos; Blancos: 8-conexos.
Ventaja: Las “curvas” blancas son conexas (como pasa cuando las “dibujamos” en una hoja de papel (el plano)). Desventaja: Las “curvas” negras no son conexas, “de una pieza”. ¿Cuál pareja de conexidades es mejor? Depende de su aplicación….

12 Generación de curvas 11 de julio de 2006

13 Algoritmo de generación de líneas rectas: Propiedades deseables.
Visualmente, la línea se deberá de ver tan recta como sea posible. Se deberá poder distinguir el comienzo y el final de una recta. Si hay varias rectas “pegadas” en el dibujo, no se deberán de distinguir saltos (huecos) entre ellas.

14 Cada línea deberá aparentar tener un grosor visual “parejo”.
Se deberá de poder dibujar “rápidamente”. Presentar los archivos recta y rectas

15 Cálculo En términos muy generales:
La derivada en un punto corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x, f(x)). Si la función es “bonita” en una vecindad “pequeña” del punto x esta recta tangente se “parece muchísimo” a los valores que la función toma en esa vecindad. Para dibujar una curva se deberá hacerlo trazando pequeños segmentos de la recta tangente.

16 dy/dx = f(x,y) = g(x,y)/h(x,y) …..(2.1)
y(x) es una solución de (2.1), f(x,y(x)) nos da la tangente de la gráfica de y(x) en el punto (x,y(x)). A cada (x,y) le podemos asociar el vector (1, f(x,y)).campo vectorial. Encontrar y(x) se corresponde a encontrar una curva (parametrizada) x→(x, y(x)); curva integral

17 Tenemos el punto p0 =(x0, y0 ) y queremos dibujar a una curva que pasa por este punto.
Dibujamos un “pedacito” de tangente: La recta que pasa por el origen con inclinación igual a dy/dx es el conjunto de todos los puntos de la forma ε(h (x0, y0 ) , g(x0, y0 ) ; ε tomando valores pequeños.

18 Empezamos a construir la curva a partir de p0 (=(x0, y0 ) )
Empezamos a construir la curva a partir de p0 (=(x0, y0 ) ). Dibujamos un pedacito de recta hasta llegar al punto p1 = p0 + ε(h (x0, y0 ) , g(x0, y0 ) ; luego unimos este punto con otro pedacito de recta con p2 = p1 + ε(h (x1, y1 ) , g(x1, y1 ); ……………… Y sucesivamente, pi+1 = pi + ε(h (xi, yi ) , g(xi, yi ) …

19 Εn realidad se deberá tomar ε como εi porque en principio puede variar
Εn realidad se deberá tomar ε como εi porque en principio puede variar. Es cómodo darlo como constante. De todos modos tenemos un “error” que puede crecer y lo que estamos dibujando sea muy diferente de la curva que queremos mostrar.

20 Digital Differential Analyzer DDA
Son algoritmos basados en la idea anterior.

21 Caso particular: la curva es una recta
(x1,y1) (x0,y0)

22 La pendiente de esta recta es igual a
ε> 0

23 La ecuación para los puntos toma la forma:
(pi+1 = pi + ε(h (xi, yi ) , g(xi, yi )) pi+1 = pi + ε((x) , (y))

24 La bronca se reduce a dibujar líneas rectas
(algoritmo de Bresenham). Si queremos dibujar una recta, hay que recordar que pi tiene coordenadas enteras. Al calcular pi+1 tenemos que redondear a coordenadas enteras. Esto depende de cómo escojamos a ε.

25 DDA simple Sea m:= max (|(x)|, |(y)| ). Escoger ε= 1/m.
Ejemplo. Genere la línea discreta que une (1,2) con (6,5). |(x)|= 5; |(y)|= 3; m= 5; ε =1/5. pi+1 = pi + ε((x) , (y)) se traduce en pi+1 = pi + (1 , 3/5). P0=(1,2) ; p1 = (1,2) + (1 , 3/5)= (2, 13/5); P2=(2, 13/5) + (1 , 3/5)= (3, 16/5); p3= (3, 16/5) + (1 , 3/5)= (4, 19/5); p4= (4, 19/5) + (1 , 3/5)= (5, 22/5); p5= (5, 22/5) + (1 , 3/5)= (6, 15/5)= (6,5).

26 DDA simétrico Sea m:= max (|(x)|, |(y)| ).
Escoger ε= 2-n , donde 2n-1 m< 2n . Ejemplo. Genere la línea discreta que une (1,2) con (6,5). |(x)|= 5; |(y)|= 3; m= 5; ε =1/8; ε (x)= 5/8; ε (y)= 3/8; pi+1 = pi + ε((x) , (y)) se traduce en pi+1 = pi + (5/8 , 3/8).

27 P0=(1,2) ; p1 = (1,2) + (5/8 , 3/8)= (13/8, 19/8);
….etc