Presentado por: Yuli Domínguez Portal Educa Panamá Grupo Océano.

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1 Presentado por: Yuli Domínguez Portal Educa Panamá Grupo Océano.
Proporcionalidad Presentado por: Yuli Domínguez Portal Educa Panamá Grupo Océano.

2 Proporcionalidad Antecedente 8 3 Consecuente Sean dos razones, por ejemplo: 6 y 3 Se denomina razón al cociente entre dos cantidades: la razón de 8 a 3, por ejemplo, es el cociente de 8 entre 3. las razones se suelen escribir en forma de fracciones; en estos casos el numerador se denomina también antecedente, y el denominador, consecuente.

3 Si al efectuar la divisiones correspondientes se obtiene el mismo resultado para ambas razones, se puede establecer una igualdad entre una y otra: 6 = 3

4 Se tiene la proporción:
Esta igualdad se denomina proporción. En general, dados cuatro números, a, b, c, y d, si Se tiene la proporción: 6 = 3 a = m y c = m b d

5 Se lee << a es a b como c es a d>>
Se lee << a es a b como c es a d>>. En el caso del ejemplo numérico anterior, la proporción se lee: << 6 es a 4 como 3 es a 2>>.

6 La Constante o factor de proporcionalidad es el resultado de dividir el antecedente por el consecuente de una razón. En el ejemplo anterior, la contante de proporcionalidades 1,5.

7 Las proporciones que no son continuas se denominan ordinarias.
Se dice que una proporción es continua cuando sus medios son iguales, por ejemplo , en la siguiente Proporción: 4 = 6 6 9 Las proporciones que no son continuas se denominan ordinarias.

8 Propiedades de las Proporciones
En toda proporción, el productos de los extremos es igual al producto de los medios: a = c a . d = b . c b d Por ejemplo, en la proporción 6 = 3

9 Se cumple que = 12 y =12, se comprueba que la igualdad es cierta y la proporción es correcta. La suma antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente: a = c a+b = c +d b d a c

10 La suma de antecedentes y el consecuente de la primera razón es a su consecuente como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente. Con la misma proporción del ejemplo, se tiene: a = c a+b = c + d b d b d

11 La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente. Si se sigue con el ejemplo tomado: a = c a-b = c - d b d a c

12 La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente. a = c a-b = c - d b d b d

13 La suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su diferencia como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su diferencia: a = c a +b = c + d b d a - b c - d

14 La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su suma como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su suma: a = c a - b = c - d b d a + b c + d

15 Una proporción también se puede transformar en otra de las siguientes maneras:
Intercambiar los extremos entre sí: a = c d = c b d b a Intercambiar los medios entre sí: a = c a = b b d c d Cambiar de orden las razones: a = c c = a b d d b

16 Propiedades de las proporciones
Invertir las razones: a = c b = d b d a c Invertir las razones y permutar los extremos: a = c c = d b d a b Invertir las razones y permutar los medios: a = c b = a b d d c Invertir las razones y permutarlas: a = c d = b b d c a Propiedades de las proporciones

17 Series de Razones Iguales
Se denomina serie de razones iguales a un conjunto de varias razones con la misma constante de proporcionalidad, unidas por signo de igualdad. Su forma general es: a = c = …= y b d z

18 a+ b + …+ y = a = c = y b +d+ …+ z b d z En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente:

19 Se verifica, por ejemplo:
2 = 4 = 8 Así, en la serie = = 8 Se verifica, por ejemplo:

20 Cálculo de los valores de una Proporción
Si se desconoce uno de los valore de una proporción, por ejemplo, el de x en 8 = 24 x

21 Al despejar la incógnita, se obtiene:
Resulta sencillo deducir su valor, mediante la aplicación de la primera propiedad de las proporciones, según la cual el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Por tanto: 8. X = Al despejar la incógnita, se obtiene: X= = 120 = 15

22 Cálculos de Porcentajes y sus Aplicaciones en la Vida Cotidiana
En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, como, por ejemplo, en todo tipo de comercios, en los cuales los productos se rebajan un 10%(lo que se lee << diez por ciento>> ), un 25% o cualquier otro porcentaje. De forma general, hallar el valor del a% de una cantidad de b, significa encontrar el valor x tal que se cumpla la proporción: x = a b

23 Tras despejar la incógnita x, se obtiene:
Como se sabe que, en una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, de la proporción anterior se deduce que: X = a . b. x = a.b 100

24 Así, para calcular el tanto por ciento de un número, como puede ser el 15 % de 60, se multiplica la cantidad de la que se busca el porcentaje (60) por dicho porcentaje (15), y se divide por 100: X= = 900 = 9

25 Por, tanto que el 15% de 60 es igual a 9
Por, tanto que el 15% de 60 es igual a 9. se observa que esta operación se puede describir también como la multiplicación de la cantidad de la que se busca en el porcentaje a% por la razón: a 100

26 El proceso inverso es el calcular qué porcentaje x% representa una cantidad a conocida respecto de otra cantidad b, también conocida. En tal caso, se trata de completar la proporción x = a 100 b

27 la incógnita x, que en este caso es el porcentaje, se calcula a partir de la misma propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los extremos es igual al producto de los medios, y por tanto: x . b = a Una vez se despeja la incógnita x. x= a b

28 De esta manera, para calcular qué tanto por ciento de aprobados de una clase representa el número de aprobados respecto del total de alumnos, se divide el número de aprobados entre el total de alumnos y el resultado se multiplica por 100: si hay 25, y aprueban 18, se divide 18 entre 25, y el resultado se multiplica por 100: X= = = 72 Así pues, en este caso, el porcentaje de alumnos que ha aprobado es del 72 %.

29 Proporcionalidad Directa y Proporcionalidad Inversa
Dos magnitudes se dicen directamente proporcionales cuando al aumento o disminución de una de ellas le corresponde, respectivamente, un aumento o una disminución proporcional de la otra. Si, por ejemplo, al duplicar el número de piedras que había en una bolsa se duplica también su peso, esto significa que el peso y el número de piedras son magnitudes directamente proporcionales.

30 Dos magnitudes se dicen inversamente proporcionales cuando el aumento de una le corresponde una disminución proporcional de la otra, y a la disminución de la primera, un aumento proporcional de la segunda. Si al triplicar el número de trabajadores dedicados a una tarea, el tiempo para la realización de ésta pasa a ser un tercio del que antes era necesario, entonces se puede afirmar que la duración de una tarea y el número de personas que se dedican a hacerla son magnitudes inversamente proporcionales. Se llegaría a la misma conclusión si se estableciese que al emplear un tercio de los trabajadores habituales dedicados a una tarea, el tiempo requerido para su realización se triplica.

31 Gracias…