Conceptos básicos de diferencias finitas (en 1D)

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1 Conceptos básicos de diferencias finitas (en 1D)
Trabajamos con las ecuaciones del modelo matemático en su forma diferencial (puntual) i.e. : para (x) en x [x0 ,xL] con C.B. adecuadas Esto puede extenderse directamente a 2D y 3D y a problemas no estacionarios : (x,y,z,..,t)

2 y los valores numéricos de la solución aproximada en esos puntos:
Conceptos básicos de diferencias finitas (en 1D) Proponemos (planteamos) la solución numérica aproximada en términos de una discretización del dominio, dada por un conjunto de puntos (xi) i=1,2,...n+1 y los valores numéricos de la solución aproximada en esos puntos: (i) i=1,2..n+1 / i ~ (xi) Elegidos los (xi) i=1..n+1, tenemos n+1 incógnitas para determinar nuestra solución : (i) i=1,..n+1 -> necesitamos n+1 ecuaciones algebraicas

3 La discretización del dominio elegida
Conceptos básicos de diferencias finitas (en 1D) La discretización del dominio elegida ( los (xi) i=1,2,...n+1 ) podrá ser uniforme (equiespaciada) o no. Equiespaciada : xi= x0 + (i-1)*h x1= x0 xn+1= xL

4 Conceptos básicos de diferencias finitas (en 1D)
Cada punto (nodo) xi de los (xi) tiene asociado un valor i de la solución numérica aproximada (i). Construimos las ecuaciones algebraicas que deben verificar los (i) en cada xi a partir aproximaciones en diferencias finitas a las derivadas ( en términos de los (i) e (xi) ). Estas aproximaciones son sustituídas en las ecuaciones diferenciales del modelo matemático, obteniendo ecuaciones algebraicas que deben ser verificadas en cada xi. En los puntos de frontera ( x1 y xn+1 ) debemos incorporar la discretización de las condiciones de borde.

5 Desarrollo de Taylor de (x) en torno a xi