Organización del Computador 1 Lógica Digital 1 Algebra de Boole y compuertas.

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1 Organización del Computador 1 Lógica Digital 1 Algebra de Boole y compuertas

2 Representación de la Información  La computadoras necesitan almacenar datos e instrucciones en memoria  Sistema binario (sólo dos estados posibles)  Por qué? Es mucho más sencillo identificar entre sólo dos estados Es mucho más sencillo identificar entre sólo dos estados Es menos propenso a errores Es menos propenso a errores

3 Lógica digital  Los circuitos operan con valores [0, 1], que pueden ser interpretados lógicamente como [Falso, Verdadero].  Idea: implementar las operaciones lógicas y matemáticas combinando circuitos

4 George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formalizar la lógica proposicional. El libro se llama “Análisis matemático de la lógica”. George Boole 1815-1864 Algebra de Boole El sistema consiste en un cálculo para resolver problemas de lógica proposicional (dos valores posibles [0, 1] y tres operaciones: AND (y) OR (o) NOT (no) )

5 Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: 1 ó 0. Una variable Booleana representa un el balor que puede tomar un bit, que como vimos quiere decir: Binary digIT Algebra de Boole

6 Operadores básicos  Un operador booleano puede ser completamente descripto usando tablas de verdad.  El operador AND es conocido como producto booleano (.) y el OR como co-producto booleano (+)  El operador NOT (¬ ó una barra encima de la expresión) conocido como complemento.

7 Funciones booleanas  Tabla de verdad de esta función:  El NOT tiene más precedencia que el resto de los operadores  Y el AND más que el OR

8 Identidades del Algebra de Boole Identidad1.A=A0+A=A Nula0.A=01+A=1 IdempotenciaA.A=AA+A=A InversaA.˜A=0A+˜A=1 ConmutativaA.B=B.AA+B=B+A Asociativa(A.B)C=A.(B.C)(A+B)+C=A+(B+C) DistributivaA+B.C=(A+B).(A+C)A.(B+C)=A.B+A.C AbsorciónA.(A+B)=AA+A.B=A De Morgan ˜(A.B) = ˜A+˜B ˜(A+B) = ˜A.˜B

9 Ejemplo  Usando identidades booleanas podemos reducir esta función: (X+Y)(X+  Y)(  X+Z) DeMorgan (XX + X  Y+YX+Y  Y)(  X+Z) Distributiva (X + X  Y+YX + 0) (  X+Z) Indempotencia e Inversa (X + X(  Y+Y)) (  X+Z) Nula y Distributiva (X) (  X+Z) Inversa, Identidad y Nula X  X+XZ Distributiva XZ Inversa e Identidad

10 Fórmulas equivalentes  Varias fórmulas pueden tener la misma tabla de verdad Son lógicamente equivalentes Son lógicamente equivalentes  En general se suelen elegir formas normales Suma de productos: Suma de productos: F(x,y,z) = xy + xz +yzF(x,y,z) = xy + xz +yz Producto de sumas: Producto de sumas: F(x,y,z) = (x+y). (x+z).(y+z)F(x,y,z) = (x+y). (x+z).(y+z)

11 Suma de Productos  Es fácil convertir una función a una suma de productos usando la tabla de verdad.  Elegimos los valores que dan 1 y hacemos un producto (AND) de la fila (negando si aparece un 0)  Luego sumamos todo (OR) F(x,y,z) = (¬xy¬z)+(¬xyz)+(x¬y¬z)+(xy¬z)+(xyz)

12 Circuitos booleanos  Las computadores digitales contienen circuitos que implementan funciones booleanas  Cuando más simple la función más chico el circuito Son más baratos, consumen menos, y en ocasiones son mas rápidos! Son más baratos, consumen menos, y en ocasiones son mas rápidos!  Podemos usar las identidades del algebra de Boole para reducir estas funciones.

13 Compuertas lógicas  Una compuerta es un dispositivo electrónico que produce un resultado en base a un conjunto de valores de valores de entrada En realidad, están formadas por uno o varios transitores, pero lo podemos ver como una unidad. En realidad, están formadas por uno o varios transitores, pero lo podemos ver como una unidad. Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertas conectadas con algún propósito Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertas conectadas con algún propósito

14 Compuertas Lógicas  Las más simples: AND, OR, y NOT.  Se corresponden exactamente con las funciones booleanas que vimos

15 Compuertas lógicas  Una compuerta muy útil: el OR exclusivo (XOR)  La salida es 1 cuando los valores de entrada difieren. Usamos el simbolo  para el XOR.

16 Componentes digitales  Combinando compuertas se pueden implementar funciones booleanas  Este circuito implementa la siguiente función: Simplificando las funciones se crean circuitos más chicos!

17 Ejemplo: La función Mayoría ABCM 0000 0010 0100 0111 1000 1011 1101 1111

18  NAND y NOR son dos compuertas muy importantes.  Con la identidad de De Morgan se pueden implementar con AND u OR.  Son más baratas y ambas por sí solas son un conjunto adecuado para la lógica proposicional. Es decir que cualquier operador se puede escribir usando cualquiera de ellas. Compuertas lógicas

19 NAND y NOR

20 Ejercicio  Ejemplo: NOT usando NAND  Utilizando solo NAND o NOR realizar circuitos con la misma funcionalidad que el AND y OR

21 Circuitos combinatorios  Producen una salida específica (casi) al instante que se le aplican valores de entrada  Implementan funciones booleanas  La aritmética y la lógica de la CPU se implementan con estos circuitos

22 Sumadores  Como podemos construir un circuito que sume dos bits X e Y?  F(X,Y) = X + Y (suma aritmética)  Que pasa si X=1 e Y=1?

23  Podemos usar un XOR para la suma y un AND para el acarreo  A este circuito se lo llama Half-Adder Half-Adder X Y  C Half Adder

24 ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: 1 + 1 1 ___________________ Full Adders

25 ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: 1 + 1 1 ___________________ 0

26 ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: 1 1 1 + 1 1 ___________________ 1 0 Full Adders

27 ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: 1 1 1 + 1 1 ___________________ 1 1 0

28 Full Adder X Y Ci  Co Full Adders ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: 1 1 1 + 1 1 ___________________ 1 1 0 En el caso de los Full Adders se asume que poseen una entrada más, el acarreo.

29  Cómo es la tabla de verdad de un Full Adder?  Podemos mejorar nuestro half-adder para considerar un “acarreo” en la entrada. Full-Adder

30  ¿Podemos adaptar nuestro half-adder para convertirlo en un full adder? Full Adders

31 Half Adder X Y Ci  Co Full Adder Half Adder  C  C X Y Full Adders

32  He aquí el full adder Full Adders

33 Ejercicio:diseñar un sumador de cuatro bits usando half y/o full adders. Ae B  As Full Adder A A B  As Half Adder A 4 A 3 A 2 A 1 B 4 B 3 B 2 B 1 + C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 Adders

34 A 4 A 3 A 2 A 1 B 4 B 3 B 2 B 1 + C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 A1A1 B1B1  As HA  As FA  As FA Ae  As FA Ae A2A2 B2B2 A3A3 B3B3 A4A4 B4B4 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5 Sumador de cuatro bits: Adders

35 Decodificadores  Decodificadores de n entradas pueden seleccionar una de 2 n salidas  Son muy importantes, por ejemplo: Seleccionar una locación en una memoria a partir de una dirección colocada en el bus memoria Seleccionar una locación en una memoria a partir de una dirección colocada en el bus memoria

36 Decodificadores - Ejemplo  Decodificador 2-a-4 Si x = 0 e y = 1, que línea de salida queda habilitada?

37  Selecciona una salida de varias entradas  La entrada que es seleccionada como salida es determinada por las líneas de control  Para seleccionar entre n entradas, se necesitan log 2 n líneas de control. Multiplexores Demultiplexor Exactamente lo contrario Exactamente lo contrario Dada una entrada la direcciona entre n salidas, usando log 2 n líneas de control. Dada una entrada la direcciona entre n salidas, usando log 2 n líneas de control.

38  Así luce un multiplexor 4-a-1 Si S 0 = 1 y S 1 = 0, que entrada es transferida a la salida? Multiplexor - Ejemplo

39 Función Mayoría

40 Ejercicio: Implementar la función Mayoría con un Multiplexor

41

42 Ejercicio  Construir una ALU de 1 bit  3 entradas: A, B, Carry A, B, Carry  Cuatro operaciones: A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry) A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry)  Salidas Resultado, Carry Out Resultado, Carry Out

43 Alu de 1bit Decoder Full Adder

44 Alu de 1bit

45 Un ALU de 8 bits

46 Memoria ROM

47 ROM usando un decoder

48 Links  Libro Tanenbaum  Demo compuertas: http://www.play- hookey.com/digital/derived_gates.html http://www.play- hookey.com/digital/derived_gates.htmlhttp://www.play- hookey.com/digital/derived_gates.html  Para ver Compuertas logicas en detalle: http://www.csc.sdstate.edu/%7egamradtk/ csc317/csc317notes.html http://www.csc.sdstate.edu/%7egamradtk/ csc317/csc317notes.html http://www.csc.sdstate.edu/%7egamradtk/ csc317/csc317notes.html