Restricciones de desigualdad

Presentación del tema: "Restricciones de desigualdad"— Transcripción de la presentación:

1 Restricciones de desigualdad
Prob. con restricciones de desigualdad: minx f (x ) s.a c (x )  0 Condiciones necesarias: c (x )  0 f (x ) + c (x )T = 0   0 Tc (x ) =0 1

2 Restricciones de desigualdad
Dificultad: algunas condiciones son desigualdades no podemos reducir el problema a un sistema de ecuaciones Solución: construir problemas aproximados con restricciones de igualdad 2

3 Restricciones de desigualdad
Construcción de problemas aproximados: funciones de barrera: términos en la función objetivo que se comportan como restricción impiden tomar valores fuera de la región factible, y no afectan a los valores en la región factible 3

4 Restricciones de desigualdad
Ejemplo: minx x 2 s.a x  1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 6 8 10 12 14 16 f (x ) = x 2 x 2 - log(x - 1) x  1 4

5 Restricciones de desigualdad
Paso 1. Convertir restricciones: minx f (x ) minx,s f (x ) s.a c (x )  0  s.a c (x ) - s = 0 s  0 Paso 2. Llevar restricciones a la función objetivo minx f (x ) -  i log si s.a c (x ) - s = 0 5

6 Restricciones de desigualdad
Resultado teórico: Sea x* ( ) la solución del problema minx f (x ) -  i log si s.a c (x ) - s = 0 , se cumple que lim0 x* ( ) = x*, donde x* es la solución de minx f (x ) s.a c (x )  0 6

7 Restricciones de desigualdad
Solución del problema modificado: Paso 1. Seleccionar un valor inicial para , por ejemplo, 1 = 1 Paso 2. Tomando como valor inicial x0 = x* (s-1) , resolver el problema minx f (x ) - s i log si s.a c (x ) - s = 0 7

8 Restricciones de desigualdad
Paso 3. Reducir el valor de , por ejemplo, s+1 = 0.1s y volver al paso 2. El proceso se repite hasta que  es del orden del error deseado en la solución Por ejemplo,  = 10-5 8

9 Restricciones de desigualdad
Precauciones con la función objetivo La función objetivo solo está definida para valores positivos de las variables si El punto inicial ha de tener s estrictamente positivo La longitud de paso debe asegurar que todos los puntos tengan las si positivas 9

10 Restricciones de desigualdad
Cálculo de la longitud de paso Queremos que el nuevo punto siga siendo positivo S(k+1) = s(k) + k pk > 0  mini {(s(k))i + k (pk)i} > 0 Condición equivalente: k <   min{ si /(-pi )  pi < 0 } k = min{ 1 , 0.99 } En caso de tener la restricción x  0, también se aplica esto a las xi 10

11 Restricciones de desigualdad
Ejemplo: optimización de cartera minx xTRx s.a mTx  3.5 eTx = 1 x  0 Datos: e = , m = , R = 11

12 Restricciones de desigualdad
Problema modificado: Problema en forma estándar minx,s xTR x s.a mTx - s = 3.5 eTx = 1 x , s  0 Problema con restricciones de desigualdad minx,s xTR x -  (i log xi + log s ) s.a mTx - s = 3.5 12

13 Restricciones de desigualdad
Paso 0. Sean x0 = [ ]T , 0 = [0 0]T Tomamos 0 = 0.1 ¿Valor de s0? Positivo Por ejemplo, s0 = 0.5 > 0 Paso 1.1. ¿Es solución? c (x0) = [ ]T f (x0) + c (x0)T0 = [ ]T 13

14 Restricciones de desigualdad
Paso 1.2. Dirección de movimiento 2L (x0,0) c (x0)T d f (x0) - c (x0)T0 = - c (x0)  c (x0) d = — -0.2  d0 = [ ]T , 0 = [ ]T 14

15 Restricciones de desigualdad
Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso m (x ) = f (x ) +  c (x )  , m (x0) = m (x0) = f (x0) + c (x0)Tc (x0) / c (x0)  = [ ] ’(0) = m (x0)Td0 = < 0 Si probamos con  = 1, x0 +  d0 = [ ]T La función objetivo no está definida 15

16 Restricciones de desigualdad
Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso Mayor paso admisible:  = min{xi /(-pi )| pi < 0} = min{0.5/ , 0.5/2.8593} =  = min{1 , 0.995}  Comprobación de la condición: m (x0 ) = , m (x0 + p0) = m (x0 ) + m (x0 )Tp0 = > m (x0 + p0) Aceptamos el paso 16

17 Restricciones de desigualdad
Paso 1.4. Nuevo punto: x1 = x0 + p0 = [ ]T 1 = 0 + 0 = [ ]T Paso 2.1. ¿Es solución? c (x1) = [ ]T f (x1) + c (x1)T1 = [ ]T 17

18 Restricciones de desigualdad
Programación lineal: minx cTx s.a Ax = b x  0 Transformar el problema: minx cTx - s i log xi s.a Ax = b Aplicar el método de Newton Actualizar s 18

19 EJERCICIO Ejercicio optimización con restricciones. x1 (1+x12) (1+x22)
Problema: min f (x )   (1+x12) (1+x22) s.a x12 + x22 <= 0.8 x >= 0 Punto inicial: x0 = [ ]T , 0 = 0

20 Resultados: ite f || c || || L(x, )|| 4 …. La convergencia es lenta.