DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. Dinámica de un Sistema. Colisiones Cuando dos partículas se aproximan entre sí, su interacción mutua altera su movimiento,

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1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

2 Dinámica de un Sistema. Colisiones Cuando dos partículas se aproximan entre sí, su interacción mutua altera su movimiento, intercambiando momentum y energía. "....el momentum total de un sistema aislado de partículas es constante"... Choque de dos bolas de billar iguales Choque de dos partículas alfa "el cambio de momentum de una partícula en un intervalo de tiempo es igual y opuesto del cambio de otra en el mismo intervalo "... v2v2 m2m2 v’ 2 m’ 2 v2v2 m2m2 v’ 2 m’ 2

3 ) Si Q = 0 no hay cambio de E K y la colisión es “elástica” Si Q ≠ 0 hay cambio de E K y la colisión es “inelástica” Si Q = 0 no hay cambio de E K y la colisión es “elástica” Si Q ≠ 0 hay cambio de E K y la colisión es “inelástica” Dinámica de un Sistema. Colisiones Recordando que: Aplicando el Principio de Conservación de la energía al sistema se tiene: Considerando que solo las fuerzas internas entran en acción durante un choque, tanto el momentum como la energía totales del sistema son conservadas. El Principio de Conservación del momentum requiere: Introduciendo una cantidad Q definida como:

4 Dinámica de un Sistema. Colisiones Elásticas e Inelásticas choque elástico En física, se denomina choque elástico a una colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Colisiones Elásticas o Choque Elástico: E K se conserva perfectamente elástico En mecánica se hace referencia a un choque perfectamente elástico cuando en él se conserva la energía cinética del sistema formado por las dos masas que chocan entre sí. Para el caso particular que ambas masas sean iguales, se desplacen según la misma recta y que la masa chocada se encuentre inicialmente en reposo, la energía se transferirá por completo desde la primera a la segunda, que pasa del estado de reposo al estado que tenía la masa que la chocó. perfectamente elástico En mecánica se hace referencia a un choque perfectamente elástico cuando en él se conserva la energía cinética del sistema formado por las dos masas que chocan entre sí. Para el caso particular que ambas masas sean iguales, se desplacen según la misma recta y que la masa chocada se encuentre inicialmente en reposo, la energía se transferirá por completo desde la primera a la segunda, que pasa del estado de reposo al estado que tenía la masa que la chocó. En otros casos se dan situaciones intermedias en lo referido a las velocidades de ambas masas, aunque siempre se conserva la energía cinética del sistema. Esto es consecuencia de que el término "elástico" hace referencia a que no se consume energía en deformaciones plásticas, calor u otras formas. Los choques perfectamente elásticos son idealizaciones útiles en ciertas circunstancias, como el estudio del movimiento de las bolas de billar, aunque en ese caso la situación es más compleja dado que la energía cinética tiene una componente por el movimiento de traslación y otra por el movimiento de rotación de la bola. En otros casos se dan situaciones intermedias en lo referido a las velocidades de ambas masas, aunque siempre se conserva la energía cinética del sistema. Esto es consecuencia de que el término "elástico" hace referencia a que no se consume energía en deformaciones plásticas, calor u otras formas. Los choques perfectamente elásticos son idealizaciones útiles en ciertas circunstancias, como el estudio del movimiento de las bolas de billar, aunque en ese caso la situación es más compleja dado que la energía cinética tiene una componente por el movimiento de traslación y otra por el movimiento de rotación de la bola.

5 Dinámica de un Sistema. Colisiones Elásticas e Inelásticas Las colisiones en las que parte de la energía cinética se pierde, producen deformaciones permanentes de los cuerpos y se denominan inelásticas. Colisiones Inelásticas o Choque Inelástico: E K no se conserva choque inelástico Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. En el caso ideal de un choque perfectamente inelástico entre objetos macroscópicos, éstos permanecen unidos entre sí tras la colisión. La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve la energía cinética, sí se conserva el momentum lineal total del sistema. perfectamente inelástico Q De un choque se dice que es " perfectamente inelástico " (o "totalmente inelástico") cuando disipa toda la energía cinética disponible, es decir, cuando el coeficiente de restitución Q vale cero. En tal caso, los cuerpos permanecen unidos tras el choque, moviéndose solidariamente (con la misma velocidad). Antes de la colisión, la mayor parte de esta energía corresponde al objeto de menor masa. Tras la colisión, los objetos permanecen en reposo respecto al centro de masas del sistema de partículas. La disminución de energía se corresponde con un aumento en otra(s) forma(s) de energía, de tal forma que se cumple el Pincipio de la Termodinámica.

6 Dinámica de un Sistema. Colisiones Elásticas e Inelásticas Colisiones Elásticas o Choque Elástico Colisiones Inelásticas o Choque Inelástico Si llamamos v i1 y v i2 a las velocidades iniciales de las partículas de masas m 1 y m 2, entonces por el principio de conservación del momentum tenemos:

7 Se tiene un líquido (o gas) moviéndose a lo largo de un tubo cilíndrico de sección A en dirección del eje X y se desea determinar la fuerza exterior resultante que actúa sobre un elemento de volumen de espesor dx y área A. Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido la fuerza por unidad de volumen Dado que Adx es el volúmen, concluímos que la fuerza por unidad de volumen a lo largo del eje X debida a la presión es: Los principios generales que rigen para un sistema de partículas pueden ser aplicados al movimiento de un fluído (liquido o gaseoso) A P P' Xv dx X P'P dx vA Sean P y P´ la presión a la izquierda y derecha del volumen diferencial. Si a la izquierda el fluido ejerce una fuerza PA sobre el elemento mismo mientras que a la derecha lo hace con otra P´A, la componente en X de la fuerza exterior resultante que el resto del fluido ejerce sobre el volumen debido a la presión será:

8 Además de la presión pueden existir otras fuerzas exteriores como la de los campos gravitacional, eléctrico o magnético. Si f e representa a cualquiera de estas fuerzas por unidad de volumen la ecuación del movimiento es: Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido Si la fuerza f e es conservativa tenemos que f e = - dE p /dx donde E p es la energía potencial por unidad de volumen entonces: En el caso del movimiento estacionario, si dt es el tiempo requerido por el elemento de fluido para moverse una distancia dx podemos escribir:

9 Dinámica de un Sistema. Ecuación de Bernoulli Ecuación de BERNOULLI expresa la conservación de la energía en el fluido. El primer término es la energía cinética por unidad de volumen; el segundo la energía potencial por unidad de volumen asociada a la presión, y el tercer la energía potencial por unidad de volumen de todas las fuerzas exteriores. La Ecuación de BERNOULLI expresa la conservación de la energía en el fluido. Suponiendo se trata de un fluido incompresible (densidad =cte) la ecuación se transforma en: TEOREMA DE BERNOULLI: "si un fluido es incompresible (δ = cte) el cambio de energía en un fluido permanece constante"... En el caso particular en que la fuerza exterior sea la gravedad: Si el fluido se mueve en forma horizontal: h 1 = h 2 v1tv1t v2tv2t F 2 =P 2 A 2 A2A2 A1A1 F 1 =P 1 A 1 h1h1 h2h2 v1v1 v2v2

10 Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido ECUACION DE CONTINUIDAD: EL TEOREMA DE BERNOULLI, da lugar a la Ecuación de Continuidad muy importante para discutir el movimiento de un fluido Se tiene un fluido que se mueve bajo condiciones estacionarias, y que no pierde ni agrega masa a lo largo de su recorrido. Sean A 1 y A 2 dos secciones del tubo que se muestra en la figura. La cantidad A 1 v 1 [m 3 s -1 ] llamada caudal, representa para el caso, el volumen de un cilindro de base A 1 y altura v 1 que atraviesa A 1 en la unidad de tiempo. Recordando que la densidad δ es la masa por unidad de volumen, el flujo másico [kg s -1 ] en la sección A 1 puede determinarse como el producto de δ 1 A 1 v 1. Análogamente el flujo másico en la sección A 2, es igual a δ 2 A 2 v 2. El principio de conservación de la masa, bajo las condiciones establecidas requiere que ambas masas sean iguales: Si el fluído es incompresible, la densidad permanece contante y la ecuación anterior se transforma en: La ECUACION DE CONTINUIDAD expresa la conservación de la masa del fluído.

11 Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido FLUJO LAMINAR NUMEROS Re; Poiseuille; incompresible y uniformemente viscosofluido newtoniano La ley de Poiseuille permite determinar el flujo laminar estacionario Φ V de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. donde V es el volumen del líquido que circula en la unidad de tiempo t; v media la velocidad media del fluido a lo largo del eje X ; r el radio interno del tubo, Δ p la caída de presión entre los extremos; η la viscosidad dinámica y L la longitud a lo largo del eje X. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar también del siguiente modo válida para todos los tipos de flujo : donde Re es el número de Reynolds y ρ es la densidad del fluido. En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la pérdida de carga, el factor de pérdida por fricción o el factor de fricción de Darcy λ en flujo laminar a muy bajas velocidades en un tubo cilíndrico. FLUJO LAMINAR FLUJO TURBULENTO

12 Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido Considerando que el fluido( δ=cte ) además interactúa únicamente con el campo gravitacional la energía potencial será E p = mgh y recordando que la δ=m/V la ecuación de Bernoulli nos permite comparar dos estados, dos posiciones de una misma corriente. APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI: y P1P1P1P1 v1v1v1v1 P2P2P2P2 v2v2v2v2 De acuerdo a esta ecuación se observa que en un tubo horizontal a mayor velocidad, menor será la presión e inversamente.

13 Dinámica de un Sistema Movimiento de un Fluido EFECTO VENTURI y P1P1P1P1 v1v1v1v1 P2P2P2P2 v2v2v2v2 El efecto Venturi se observa cuando un fluido en movimiento en un conducto cerrado, su presión disminuye al aumentar la velocidad luego de pasar por una zona de sección mayor a otra menor del ducto. Este efecto se explica mediante el Principio de Bernoulli y la Ecuación de Continuidad y su aplicación permite medir velocidades dentro de un sistema hidráulico o neumático relacionándola con la presión. Por el Principio Conservación de la energía, si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la presión disminuye. Si el ducto es horizontal h 1 y h 2 son iguales, y la ecuación de Bernoulli será: v 1 Reemplazando la Ecuación de Continuidad (2) en (1), encontramos (3) y despejando, por ejemplo, v 1 se tiene (4):

14 Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido Que la presión sea inversamente proporcional a la velocidad explica porque levanta vuelo un aeroplano. P 2 ; v 2 P 1 ; v 1 AERODINÁMICA: La relación entre la velocidad y la presión de un fluido lo explica el teorema de Bernoulli permitiendo diseñar perfiles aerodinámicos. Con el teorema se demuestra como el vuelo posible y como se crea la sustentación cuando una corriente de aire actúa sobre las alas de un avión. Flujo a lo largo de un perfil alar: los puntos se mueven con el flujo observándose que las velocidades son mayores en la superficie superior que en la inferior. Los puntos negros están en función de la escala de tiempo, y se separan a partir del borde de ataque. Perfil Kármán–Trefftz. Angulo de ataque 8°, flujo laminar

15 Dinámica de un Sistema. Sustentación de un ala de avión Si A es la superficie del ala del avión, y si por arriba de la misma el aire pasa con una velocidad v s y por debajo con v i < v s, la sustentación la analizamos por el teorema de Bernoulli: Donde: h s ; h i = altura de los filetes de corriente de aire por arriba y abajo del ala ( hs ≈ hi porque a grandes alturas el espesor del ala no es significativo.) δ = densidad del aire g = gravedad = 9.8 m/s² Por lo tanto: La sustentación estará dada por:

16 P 0 P 1 v 1 Es uno de los instrumentos mas exactos para medir la velocidad de un gas. El equipo de la figura consta de un tubo en “U” con un líquido manométrico en su interior. La presión P 0 es igual a la presión del gas y es también la de la rama izquierda del dispositivo, en tanto P 1 es la presión en la boquilla y también de la rama derecha; puede calcularse aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1, considerando que δ es la densidad del gas; que la velocidad v 1 es igual a cero y que ambos puntos se encuentran en el mismo nivel. Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido TUBO DE PITOT P 1 >P 0 h Como la P 1 >P 0 el líquido manométrico dentro del tubo en U se desplaza originando una diferencia de altura h. Sea la densidad del líquido manométrico por lo que: Combinando ambas ecuaciones se tiene: Los aviones usan sistemas basados en este equipo para determinar su velocidad respecto al aire. hh v0v0v0v0 v0v0v0v0 P0P0P0P0 P0P0P0P0 P0P0P0P0 P0P0P0P0 P 1 ; v 1 =0 01

17 El tubo de pitot mide la velocidad a partir de la diferencia de presión entre el punto 1 y el punto 2. Por un extremo entra el aire impulsado por la velocidad del avión en el punto 1 y la presión en 2 es la presión atmosférica exterior que se mide a través de la toma estática, situada en un lateral de la nave. Ambas presiones coinciden en una cámara donde se mide la diferencia de presión, se le denomina presión dinámica. Dinámica de un Sistema. Movimiento de un Fluido TUBO DE PITOT El tubo de pitot sirve pues para conocer a qué velocidad el avión choca contra el aire. Su funcionamiento se basa también en la ecuación de Bernoulli y llevan incorporados sistemas de calefacción para evitar que se hielen y se obstruya la toma dinámica.

18 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: [1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004) Física Universitaria. Volumen 1. México. [2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de Física II. Editorial Aguilar. Madrid. [3] ALONSO, M. y FINN, E. (1976) Física. Vol I: Mecánica. Fondo Educativo Interamericano. U.S.A. [4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico. [5] FISICA GENERAL. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM. FIN DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS FIN