FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.

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1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

2 De la misma forma que descomponemos un número en factores primos:
30 = Ahora descompondremos un polinomio en sus factores primos: Ejemplo: x2 + x = (x – 2) . (x + 3)

3 Ejemplos de polinomios primos:
Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Ejemplos de polinomios primos: x x + 1 x - 2 2x + 1 x x4 + 2 En general son primos todos los polinomios de la forma (x – a)

4 Si tomamos el ejemplo inicial:
x2 + x = (x – 2) . (x + 3) x = 2 x = -3 Observamos que si sustituimos la x por 2 se anulará el primer factor. Así mismo se anulará el segundo factor si la sustituimos por -3. En ambos casos se anulará el producto resultante, es decir El VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO. Estos números reales son las RAÍCES del polinomio

5 Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomio
Definición de RAÍZ de un polinomio: Cada uno de los valores reales que sustituidos por la x anulan el valor numérico del polinomio. Si a1 , a2 , a3 , …son raíces de un polinomio, se cumple que: P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . … Atención a este factor k Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomio

6 P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . …
¿Cómo podemos hallar las RAÍCES de un polinomio? Como las raíces son los valores de la x que anulan el polinomio, las hallaremos anulando dicho polinomio, es decir: Resolviendo la ecuación P(x) = 0 O tanteando que valores de x anulan el valor numérico del polinomio P(a) = 0 Veamos varios ejemplos:

7 Ejemplo 1 Si P(x) es un polinomio de segundo grado: Sólo tenemos que
resolver la ecuación x2 + x – 6 = 0 P(x) = x2 + x - 6 x = 2 Si las soluciones de la ecuación son: x = - 3 y son las RAÍCES del polinomio por lo que ya podemos factorizarlo: P(x) = (x -2) . (x +3)

8 Atención a este coeficiente
P(x) = 2x2 + 3x - 2 2 Ejemplo 2 Sea Atención a este coeficiente Resolvemos la ecuación: P(x) = 0 x = 1/2 Como las soluciones son x = -2 Casi tenemos factorizado P(x): P(x) = ? (x – 1/2) .(x+2) Lo conseguiremos añadiendo el coeficiente del término de mayor grado: P(x) = 2 (x – 1/2) .(x+2)

9 Ejemplo 3 Sea P(x) = x2 - 10x + 25 Si observamos con atención, vemos que es el desarrollo de un producto notable: P(x) = x2 - 10x + 25 En este caso (x)2 -2.x.5 +52 a2 – 2ab + b2 Por lo que P(x) = (x – 5)2 (a – b)2 Nos ahorraremos mucho trabajo si sabemos distinguir los PRODUCTOS NOTABLES.

10 × Cociente (x) Ejemplo 4 Sea P(x) = x3 +2x2 –x- 2
Si queremos factorizar o hallar las raíces de un polinomio de GRADO SUPERIOR A DOS, siempre nos queda EL MÉTODO DE RUFFINI SI conseguimos una división exacta de P(x) entre un binomio del tipo (x –a) Es decir de resto 0 Podremos factorizar el polinomio, aplicando: Dividendo = Divisor × Cociente P(x) = (x –a) × Cociente (x)

11 × Cociente (x) En el caso de nuestro polinomio ejemplo
P(x) = x3 +2x2 –x- 2 Conseguimos una división exacta entre (x –1) Así conseguimos el primer factor primo de P(x): 1 1 3 2 1 3 2 P(x) = (x – a) × Cociente (x) x3 + 2x2 – x - 2 = (x – 1) . (x2 + 3x + 2)

12 P(x) = (x – a) Cociente (x)
¿Como conseguimos encontrar esta raíz a ? Siempre lo buscaremos entre los divisores enteros del término independiente de P(x) En el ejemplo: Divisores de -2 P(x) = x3 +2x2 - x - 2 Tantearemos por Ruffini cuales de estos BINOMIOS son divisores de nuestro polinomio P(x), es decir dan resto cero en la división.

13 ⇒  ⇒ Comenzaremos tanteando por las raíces más pequeñas:
Siempre podemos ahorrar tanteos si antes comprobamos para que valores de x se anula el valor numérico de P(x) P(x) = x3 +2x2 - x - 2 Probamos con el 1 1 1 3 2 1 3 2 = Resto ⇒  x = 1 es raíz del polinomio Como la división es exacta ⇒ P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)

14 Seguir tanteando por Ruffini
P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2) Seguimos DESCOMPONIENDO EN FACTORES PRIMOS el polinomio cociente obtenido C(x) = x2 + 3x + 2 Como es un polinomio de grado 2 tenemos dos opciones a elegir: Resolver la ecuación x2 + 3x + 2 = 0 OPCIÓN A Seguir tanteando por Ruffini OPCIÓN B Esta opción es la mejor

15 Seguir tanteando por Ruffini
C(x) = x2 + 3x + 2 Si elegimos la OPCIÓN B Seguir tanteando por Ruffini Seguimos buscando otra vez entre TODOS los divisores del término independiente Divisores de 2 1 3 2 Probamos con el 1 1 1 4 (x-1) NO es divisor de C(x) ⇒ 1 4 6

16 ⇒ C(x) = x2 + 3x + 2 1 3 2 Probamos con el -1 (x+1) es divisor de C(x)
1 3 2 Probamos con el -1 (x+1) es divisor de C(x) -1 -1 -2 ⇒ 1 2 Volvemos a aplicar la regla: Dividendo = Divisor × Cociente C(x) = x2 + 3x + 2 = ( x + 1) . (x +2) x = -1 Las raíces del polinomio C(x) son: x = -2

17 Resumiendo todo el Ejemplo 4:
Partíamos del polinomio P(x) = x3 +2x2 –x- 2 Dividiendo entre (x – 1): P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2) Como acabamos de comprobar: C(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2) Finalmente P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)

18 También podemos resumirlo así:
P(x) = x3 +2x2 –x- 2 1 1 3 2 1 3 2 P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2) -1 -1 -2 1 2 P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2) Las raíces de P(x) son 1 , -1 y -2.

19 EJEMPLOS DE FACTORIZACIONES
P(x) = x3 - 3x - 2 Vamos a factorizar Recordemos los pasos a seguir: ¿Podemos sacar factor común? No ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini

20 P(x) = x3 - 3x - 2 Los divisores del término independiente, - 2
son: 1, - 1, 2, - 2. 1 -3 -2 + Probemos con el 1 1 1 1 -2 Como no nos da 0, el 1 no es raíz y tendremos que probar con otro número. Probemos con el -1. . 1 1 -2 -4 En este caso como nos da 0, el -1 es raíz del polinomio 1 -3 -2 x + 1 -1 -1 1 2 Continuamos probando con el -1. 1 -1 -2 Luego el -1 sale de nuevo raíz. -1 2 -1 x + 1 x - 2 1 -2 Además tenemos

21 P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2)
Recopilando los datos obtenidos nos han salido como polinomios divisores de P(x): El -1 ya había salido como raíz al aplicar Ruffini pero podemos tener alguna más igualando a 0 los demás polinomios divisores x + 1, x + 1, x - 2 x – 2 = 0 x = 2 Así P(x) quedará factorizado como: P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) Sus raíces son: -1, -1, 2 Esta es una de las formas de factorizar este polinomio, mediante Ruffini. Otra sería:

22 x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) P(x) = x3 - 3x - 2
Aplicaríamos Ruffini: Resolvemos la ecuación de segundo grado. 1 -3 -2 -1 2 x = -1 El conjunto de todas las raíces son: -1, -1, 2. x2 – x – 2 = 0 x = 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): Así P(x) queda factorizado: -1 x + 1 x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) -1 x + 1 2 x - 2

23 P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6)
Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las mismas preguntas P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x ¿Podemos sacar factor común? Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x). P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) Ahora nos centraremos en factorizar… ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

24 P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =
Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. Comenzaríamos probando con el 1. 2 -3 -11 +6 -2 1 -4 1 14 -2 -6 -13 Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6. 2 1 -7 -2 3 -13 -7 Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0. Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2 x2 - 7x + 3 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3) Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)

25 Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus raíces.
Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación: 2x2 -7x +3 = 0 x1 = 3 (x – 3) x - 3 Las soluciones obtenidas serán: x2 = (x – ½) x – 1/2 2 Por lo tanto 2x2 -7x +3 = ¿Por qué ponemos el 2? Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x2, sino x2. Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

26 P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2
Recopilemos toda la información obtenida: P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): -2 x + 2 3 x - 3 1/2 x – 1/2 x ¡Pero falta otra raíz! Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

27 P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 - 12x2 P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 =
Hagámonos las preguntas: ¿Podemos sacar factor común? Sí, x2. P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 = = x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) Ahora factorizamos: ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado cuatro, utilizaremos Ruffini.

28 Los divisores del término independiente, 12, son:
1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6, 12, -12. x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12 1 2 8 -12 1 1 3 4 12 Comenzamos probando con el 1. 1 3 4 12 Luego el 1 es raíz del polinomio, y así un divisor de P(x) es -3 -12 -3 x - 1 1 4 Probaríamos con el 1, -1, 2, -2, 3 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -3 da 0. Luego si -3 es raíz, otro divisor de P(x) es: x + 3 x2 + 4 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = (x -1)·(x +3)·(x2 + 4)

29 Para acabar de factorizar tomaremos x2 + 4 y hallaremos sus raíces, resolviendo la ecuación:
Dicha ecuación no tiene soluciones reales, luego el polinomio queda factorizado: P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 = = x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = = x2 · (x -1) · (x +3) · (x2 + 4) Sus raíces son: 0, 1, -3,