Le propongo un juego….

Presentación del tema: "Le propongo un juego…."— Transcripción de la presentación:

1 Le propongo un juego…

2 Le propongo un juego… Necesitamos tener dos dados de diferentes colores, digamos rojo y azul. Son dados comunes, con seis caras, y en cada cara hay un número del uno al seis. El juego consiste en tirar los dados y sumar los resultados de cada uno. ¿Cuáles son las posibles sumas que se pueden obtener? (Piense usted sola/solo primero). Al tirar cada dado se pueden obtener seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Pero como son dos dados, las sumas son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12

3 Le propongo un juego… O sea, se pueden obtener once números. Vamos a repartirnos estos números entre usted y yo. Usted se queda con estos: 2, 3, 4, 10, 11 y 12. Y yo me quedo con: 5, 6, 7, 8 y 9. Es decir, le dejo a usted seis posibles sumas, y yo me quedo con cinco. Después, tiramos los dados. Gana el que tiene el “número suma” (o sea, que el número que dé la suma de lo que indiquen los dados esté en su lista, que nos repartimos arbitrariamente).

4 Le propongo un juego… Por ejemplo, si al tirarlos, el rojo cayó en 1 y el azul en 2, la suma resulta ser 3 y usted es el ganador. Es que usted se quedó con el 3 entre los números que nos repartimos. En cambio, si el rojo sale en 3 y el azul en 5, entonces gano yo, porque yo tengo el 8 entre mis números.

5 Le propongo un juego… Ahora sí, la apuesta. ¿Le parece justa la división que hicimos de los números? Usted se quedó con seis de ellos y yo con cinco. Pero igualmente, si le permitieran optar, ¿preferiría quedarse con los números que tiene o preferiría cambiar y tener los que me tocaron a mí? Ahora, la/lo dejo a usted con usted mismo.

6 Solución… Lo curioso de este problema es que si bien usted tiene seis posibilidades para ganar y yo cinco, yo tengo muchísimas más chances que usted. No sólo muchísimas más chances, sino que tengo ¡el doble de posibilidades de ganar que usted! ¿Por qué? (¿No le dan ganas de pensar el problema otra vez ahora que ya leyó el último párrafo?) Mire la tabla que figura acá abajo. A la izquierda figuran los posibles resultados del dado rojo; en el medio, los resultados del dado azul, y a la derecha están las sumas posibles.

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8 ¿Qué enseña esta tabla? Es que si bien usted tiene en su poder seis de los posibles resultados (2, 3, 4, 10, 11 y 12) y yo sólo cinco (5, 6, 7, 8 y 9), las chances que se den en cada uno de los resultados me es favorable en forma abrumadora. Si usted cuenta las cuarta y quinta columnas, mientras usted tiene doce formas de ganar, o sea, combinaciones posibles que lo hacen ganar a usted, yo tengo ¡veinticuatro!

9 En otras palabras, yo tengo el doble de chances que usted de ganar.
Más aún: suponiendo que yo le diera a usted el número cinco (5) como posible suma, usted pasaría a tener 16 a favor suyo y yo aún tendría 20 para ganar. Es decir, aunque parezca anti-intuitivo, porque usted tendría más números que yo que potencialmente lo harían ganar más veces, soy yo el que está favorecido por la distribución de los números.

10 La Probabilidad de un suceso
es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece. Es decir, el cociente entre el número de experimentos en los que sucede y el número total de experimentos realizados. Es remarcable que dada su definición la probabilidad es siempre un número real del intervalo [0,1]. Siendo 0 en los sucesos imposibles y 1 en los sucesos seguros. En ocasiones la probabilidad también se expresa en forma de porcentaje.

11 La Probabilidad de un suceso
En el caso sencillo de un Dado que está diseñado para que caiga sobre cualquiera de sus caras con la misma frecuencia relativa diremos que todos los sucesos (a saber: que salga 1, 2, 3, 4, 5 o 6) son equiprobables. Todo poliedro convexo cuyas caras sean iguales en forma y tamaño cumple la condición de equiprobabilidad. Por pura simetría es obvio que la probabilidad de cualquiera de los 6 sucesos posibles en un Dado de 6 caras es exactamente 1/6.

12 Probabilidad del complementario
Si conocemos la probabilidad de que se dé un suceso A es muy fácil calcular la probabilidad de que no se dé tal suceso -A usando la siguiente fórmula: P(-A)=1-P(A).

13 Intersección de sucesos independientes
Si queremos conocer la probabilidad de que se den dos sucesos simultáneamente P(A^B) y conocemos la probabilidad de cada uno de ellos P(A) y P(B) podemos aplicar la fórmula: P(A^B) = P(A) · P(B) Esto es así siempre que ambos sucesos sean independientes. Es decir, que el resultado del primer experimento no influya en el resultado del segundo. Lanzar un Dado dos veces y que en ambas salga un 1 es un ejemplo de sucesos independientes pues el resultado de la primera tirada no influye en el de la segunda. Aplicando la fórmula a este ejemplo resulta evidente que la probabilidad de sacar un 1 en ambas tiradas es P(A^B)=(1/6)·(1/6)=1/36.

14 P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A^B).
Unión de sucesos Si queremos conocer la probabilidad de que se dé un suceso, el otro o los dos P(A+B) y conocemos la probabilidad de cada uno de ellos P(A) y P(B) hemos de aplicar la siguiente fórmula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A^B). Por ejemplo, si lanzamos un Dado y queremos saber la probabilidad de que salga 1 o 2 hemos de calcular: P(A+B)=(1/6)+(1/6)-0=2/6 ya que la probabilidad de que salga 1 y 2 a la vez en el mismo Dado es nula. Si por el contrario queremos calcular la probabilidad de que salga par o mayor que 4 la fórmula se aplica así: P(A+B)=(3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6 ya que la probabilidad de que salga par y mayor que cuatro en la misma tirada es 1/6 (que es el caso en el que sale el número 6).

15 Probabilidad condicionada
Si queremos saber la probabilidad de que suceda un suceso A a sabiendas de que ya se ha producido otro suceso B que lo altera, tenemos que hacer uso de la fórmula de la probabilidad condicionada P(A/B): P(A/B) = P(A^B) / P(B) Por ejemplo, si lanzamos un Dado, la probabilidad de sacar un 4 es de 1/6. Sin embargo, la probabilidad de haber sacado un 4 si sabemos que va a salido par es de 1/3 ya que P(A^B)=1/6 (porque sólo el 4 cumple simultaneamente las condiciones de ser par y 4) y P(B)=1/2 (ya que la mitad de los números son pares) de donde P(A/B)=(1/6)/(1/2)=1/3.