Módulo N°2 Plan de Nivelación Razones, proporciones y porcentajes.

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1 Módulo N°2 Plan de Nivelación Razones, proporciones y porcentajes

2 Introducción Mediante el Plan de nivelación se busca proporcionar a nuestros estudiantes una instancia que les permita, en parte, restituir aquellos contenidos básicos y medios que por diversos motivos desconocen o no dominan. Al mismo tiempo se pretende proveerlos de la ejercitación necesaria para los contenidos de niveles superiores o de mayor grado de dificultad.

3 Contenidos Razones, Proporciones y Porcentajes
1. Razones y proporciones Razón Orden en una razón Proporción Serie de razones 2. Porcentajes Cálculo de Porcentajes

4 Aprendizajes esperados
Reconocer que la razón es un elemento que permite comparar dos cantidades. Encontrar el valor numérico de una razón dada. Reconocer una proporción como una igualdad entre razones. Resolver problemas que involucren una proporción. Resolver problemas que involucren serie de razones.

5 1. Razones y Proporciones
Razón Una razón es una comparación entre dos cantidades que se expresa mediante un cuociente, es decir, se puede escribir: ó bien a:b a b y se lee: “ a es a b” Ejemplo: Si Juan y Lulú tienen 8 y 24 años respectivamente, entonces la razón entre sus edades se puede expresar como: 8:24 ó bien 8 24 Módulo N°2, página 2

6 Orden en una razón En una razón, al anotar las cantidades, se debe mantener el orden en que se nombran los elementos que están comparando. Resulta conveniente expresar la razón en la forma más simple posible. Ejemplo: En el ejemplo anterior, las edades de Juan y Lulú están en la razón: 8 24 1 3 8:24 ó bien ó Se puede decir que las edades de Juan y Lulú están en razón 1 es a 3. Módulo N°2, página 2

7 Proporción Una proporción es una igualdad de dos razones: = a b c d
ó bien Se lee: “a es a b como c es a d” y se cumple que a∙d = b∙c (Propiedad fundamental). De acuerdo al ejemplo inicial, las edades de Juan y Lulú “están en razón”: 8 24 = 1 3 Esto significa que 8 es a 24 como 1 es a 3. Módulo N°2, página 2

8 Serie de razones Es la igualdad de 2 o más razones. b a = c d f e
= … = k Ejemplo: Si a y b están en razón 2:5 entonces, se puede decir que: = 4 10 6 15 = … = 0,4 8 20 2 5 a b = k Módulo N°2, página 3

9 a y b podrían ser 2 y 5, 4 y 10 ó 6 y 15. Pero existen infinitas razones proporcionales a 2:5. Luego, lo único que se podría decir es que a es múltiplo de 2 y b, múltiplo de 5. 2 5 a b = = k Si a:b = 2:5, entonces 5∙a=2∙b = k b 5 a 2 = = k a=2k y b=5k

10 Ejemplos de aplicación:
1) Si el ancho y el largo de un rectángulo están en razón 6:7 y su perímetro es 52 cm, ¿cuál es el largo y ancho del rectángulo? x y Si el ancho y el largo del rectángulo están en la razón 6:7, entonces x : y = 6 : x = 6k e y = 7k.  Como el perímetro es igual a 52 cm, entonces: 2(x + y)= 52 2(6k + 7k)= 52 2(13k)= 52 26k= 52 k= 2

11 Si k=2, entonces x = 12 e y = 14. 12 14 El largo y ancho del rectángulo miden 14 y 12 centímetros respectivamente.

12 2) ¿Cuál es el valor de x en la proporción ?
20 x–3 2 15 = Si 20 x–3 2 15 = 2 ∙ 20 = 15(x – 3) 40 = 15x – 45 = 15x 85 = 15x 85 = x 15 17 = x 3

13 3). El motor de una máquina motobomba para extraer
3) El motor de una máquina motobomba para extraer agua, funciona con una mezcla de aceite y bencina. En esta mezcla, por cada 2 litros de aceite, hay 15 litros de bencina. Si en un estanque hay 68 litros de mezcla, ¿cuántos litros de bencina hay? Solución: La razón entre los litros de aceite y bencina es 2:15. Luego, podemos expresar los litros de aceite como 2k y los litros de bencina como 15k. Como en el estanque hay 68 litros de mezcla, entonces: 2k + 15k = 68 17k = 68 17 k = 68 k = 4 Por lo tanto, hay 60 litros de bencina en el estanque.

14 4). En valor absoluto, la diferencia entre dos números
4) En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 135. Si éstos están en la razón 8:3, ¿cuál es el número mayor? Solución: Si los números están en la razón 8:3, entonces podemos expresarlos como: 8k y 3k. Además, si su diferencia es 135, entonces: 8k – 3k = 135 5k = 135 k = 27 Si k = 27, los números son 8∙27= 216 y 3∙27=81. Luego, el número mayor es 216.

15 Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 4 y las actividades de la página 9. (Solucionario en página 11)

16 2. Porcentajes Se puede pensar en porcentajes como una razón que se compara con 100. El símbolo % representa por ciento o por cada 100. Porcentaje % Razón Fracción Decimal 10% 10 100 1 0,1 20% 20 5 0,2 25% 25 4 0,25 75% 75 3 0,75 Módulo N°2, página 5

17 Por ejemplo: La expresión: “ El 20% de 260 es 52” 100 20 ∙ 260 = 52
se puede escribir como: 1 ∙ 260 =52 5 52 = 52 y así podemos comprobar su veracidad.

18 Por ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 2.500?
Conclusión: Si a% se puede escribir como a , 100 entonces a% de b se puede expresar como: a ó ab ∙ b 100 100 Por ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 2.500? 2.500 100 20 ∙ = 5 1 500

19 Cálculo de porcentajes
Ejemplo: a) ¿Cuál es el 25% de 480? de es 25 ∙ 480 = x 100 1 ∙ 480 =x 4 120 = x El 25% de 480 es 120.

20 b) ¿De qué número, 120 es el 25%? 25 ∙ x = 120 100 1 ∙ x = 120 4
480, es el número cuyo 25% es 120.

21 c) ¿Qué porcentaje de 480 es 120?
x ∙ 480 100 = 120 x ∙ 480 = 120∙100 x ∙ 480 = x = 480 x = 1.200 48 x = 100 4 x = 25 El porcentaje es 25.

22 ∙ ∙ 16.000 d) ¿Cuál es el 10%, del 25%, del 75%, del 20% de 16.000?
100 20 25 x = 10 ∙ 75 ∙ x = 16.000 1 10 ∙ 4 3 5 x = 3 ∙ 16.000 160∙5 ∙ x = 3 100 5 ∙ x = 3 ∙ 20 x = 60

23 Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 8 y las actividades de la página 9. (Solucionario en página 11)