Circunferencias Trigonométricas

Presentación del tema: "Circunferencias Trigonométricas"— Transcripción de la presentación:

1 Circunferencias Trigonométricas

2 Circunferencias Trigonométricas
Definición, elementos y propiedades. Líneas trigonométricas. Líneas trigonométricas auxiliares. Problemas resueltos.

3 1. Definición, elementos y propiedades
X Y’ (-) X’ R = 1 + - x + y = 1 2 Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema, esta circunferencia tiene como característica fundamental, el valor del radio que es la UNIDAD (R = 1). Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas trigonométricas

4 Elementos de la circunferencia
Se tiene los siguientes elementos: O (0 ; 0): Origen de la circunferencia. A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de cualquier magnitud. B (0 ; 1): Origen de complementos. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos. B’ (0 ; -1): Sin denominación específica. P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y) (+) B(0;1) A(1;0) (-) B’(0;-1) A’(-1;0) R = 1

5 Propiedades de la circunferencias
Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD. Cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales mide 90º, 100g ó π/2 rad. Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, o sea, los segmentos OA´ y OB´ son negativos. L R = 1 x + y = 1 2 Arco A B Por formula: θ = L ; R=1 R θ = L ; θ =L 1 “Es decir, que el numero de radianes del ángulo central es igual a la longitud del arco pero sólo como arco numérico”. tg 45º tg π 4 tg= π rad tg 0,7854 = 1 Ángulo en grados sexagesimales Ángulo en radianes Arco numérico Número real ( R)

6 2. Líneas trigonométricas.
Línea seno Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal. B A B’ A’ 1 P(x;y) θ Q En el OQP: Sen θ = PQ OP 1 y . . . Sen θ = y De la figura: Sen AP = Sen θ = PQ = y

7 Análisis de la línea seno
Valores Cuadrantales. -1 1 +∞ -∞ 180º 360º 0º 270º 90º -1 ≤ Sen α ≤ 1 0º 90º 180º 270º 360º Sen 1 -1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 0 a 1 Creciente (+) Q2 1 a 0 Decreciente Q3 0 a -1 (-) Q4 -1 a 0

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Línea Coseno Representación: B B’ A A’ 1 P(x;y) θ Q N Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. En el PNO: Cos θ = NP OP 1 x . . . Cos θ = x De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x

9 Análisis de la línea coseno
90º -1 1 +∞ -∞ 180º 360º 0º 270º -1 ≤ Cos α ≤ 1 Valores Cuadrantales. 0º 90º 180º 270º 360º Cos 1 -1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 1 a 0 Decreciente (+) Q2 0 a -1 (-) Q3 -1 a 0 Creciente Q4 0 a 1

10 Línea Tangente Representación: . . .
B B’ A A’ 1 T( 1 ; y1 ) θ P Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el TAO: Tg θ = AT OA 1 y1 . . . Tg θ = y1 De la figura: Tg AP = Tg θ = AT = y1

11 Análisis de la línea tangente
180º ----- ---- 90º 360º 270º 0º -∞ +∞ - ∞ < Tg α < +∞ Tg 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 0 a +∞ Creciente (+) Q2 -∞ a 0 ( - ) Q3 Q4

12 Línea cotangente Representación: . . .
B B’ A A’ 1 T( x1 ; 1 ) θ P Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos B(0; 1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el TBO:Cotg θ = BT BO 1 x1 . . . Cotg θ = x1 De la figura: Cotg AP =Cotg θ = BT = x1

13 Análisis de la línea cotangente
- ∞ < Cotg α < +∞ 270º ----- ---- 90º 0º +∞ -∞ 180º 360º Valores Cuadrantales. cotg 360º 270º 180º 90º 0º Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 +∞ a 0 Decreciente (+) Q2 0 a -∞ ( - ) Q3 Q4

14 Línea Secante Representación: . . .
B B’ A A’ 1 T( x2 ; 0 ) θ P Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco, se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco: OP En el O P T : Sec θ = OT 1 x2 . . . Sec θ = x2 De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2

15 Análisis de la línea secante
1 -1 Sec 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. -∞ 270º 90º -1 1 +∞ Sec  ≤ -1 U Sec  ≥ 1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 1 a +∞ Creciente (+) Q2 -∞ a -1 ( - ) Q3 -1 a -∞ Decreciente Q4 +∞ a 1

16 Línea Cosecante. Representación: . . .
B B’ A A’ 1 θ P T( 0 ; x2 ) Es una del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco. De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2 En el OPT : Cosec θ = OT OP 1 y2 . . . Cosec θ = y2

17 Análisis de la línea cosecante
-∞ 360º 180º -1 1 +∞ 0º Cosec  ≤ -1 U Cosec  ≥ 1 -1 1 Cosec 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. Variación cuadrantal. ( - ) Decreciente -1 a -∞ Q4 Creciente -∞ a -1 Q3 (+) 1 a +∞ Q2 +∞ a 1 Q1 Signo Comportamiento Variación Cuadrante

18 3. Líneas trigonométricas auxiliares
Línea seno verso o verso (vers) Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal. El verso es positivo. Por definición: Vers θ = 1 – Cos θ … l B B’ A A’ ___________ 1 ____________I θ P M De la figura: Vers θ = MA En el OMT : Cos θ OM OP = 1 ll . . . Cos θ = OM … Reemplazamos ll l en : Vers θ = 1 – OM . . . Vers θ = MA

19 Línea coseno verso o coverso (cov)
Es lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad. El coverso se empieza a medir en el origen de coversos que vienen a ser el origen de completo B(0;1); y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical de la circunferencia trigonométrica. El coverso es siempre positivo. B B’ A A’ ___________ 1 ____________I θ P M ___________ ____________I 1 Q Por definición: Cov θ = 1 – Sen θ … l De la figura: Cov θ = BM En el OMP : Sen θ MO OP = 1 ll . . . Sen θ = MO … Reemplazamos ll l en : Cov θ = 1 – MO . . . Cov θ = BM

20 Línea ex-secante o external (ex-sec)
Es el exceso de la secante respecto a la unidad. La exsecante se mide a partir del origen de la exsecantes que vienen a ser el origen de arcos y termina en el punto donde termina la secante de ese arco. Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y en caso contrario es negativa. Por definición: Ex-Sec θ = Sec θ - 1 … l B B’ A A’ 1 θ P Q De la figura: Ex-Sec θ = AQ OQ OP = 1 En el OPQ : Sec θ ll . . . Sec θ = OQ … Reemplazamos ll l en : Ex-Sec θ = OQ - 1 . . . Cov θ = BM

21 4. Problemas de Aplicación
Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP Trazamos la línea PQ A´A, la cual representa la línea seno, entonces: B B’ A A’ o P 1 Q α PQ = Sen α Sen α Además OA representa el radio de la C.T., entonces: OA = 1 Finalmente: S▲AOP = 1 2 (OA)(PQ) S▲AOP = 1 2 (1)(Sen α) S▲AOP = 1 2 Sen α Solución

22 Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas B A´ A B´ O Q P 80º 10º I Sen 10º > Sen 80º II Cos 10º > Cos 80º III Tg 10º > Tg 80º B A´ A O M Q N P 10º 80º B´ A´ B B’ A O N Q M P 10º 80º AP = Tg 10º PM = Sen 10º PM = Cos 10º AQ = Tg 80º QN = Sen 80º QN = Cos 80º AP < AQ PM < QN PM > QN Tg 10º < Tg 80º Sen 10º < Sen 80º Cos 10º > Cos 80º Falso Falso Verdadero

23 , hallar entre qué límites varía “a”
Problema 3: Si Cos θ = 3a - 4 5 ; θ Є π 2 3π , hallar entre qué límites varía “a” Del gráfico: -1 ≤ Cos θ < 0 C.T O π π/2 3π/2 0,2π -1 Cos θ - ∞ + ∞ -1 ≤ 3ª - 4 < 0 5 -5 ≤ 3a - 4 < 0 -5 ≤ 3a < 4 -5 ≤ a < 4 3 a Є - 1 3 ; 4 Solución

24 Determina la variación de : Problema 4:
E = 5 Sen2 + 2;  Є π 2 ; Del gráfico: -1 ≤ Sen 2 < 0 Multiplicando todo ( x 5 ): -5 ≤ Sen 2 < 0 C.T O π π/2 3π/2 2π - ∞ + ∞ -1 Sen 2 Sumando (+2) a cada miembro: -3 ≤ 5 Sen 2 + 2 < 2 -3 ≤ E < 2 -5 ≤ a < 4 3 -3 E Є ; 2 Solución

25 < Analizando la figura: Problema 5: o π/6 π/2 C.T. π 3π/2 0.2 π m
AA´P = mAP 2 30º 15º (ángulo inscrito) A´OC = Tg 15º = OC 1 2 - √3 = OC S▲CA´B´ = (B´C)(OA´) 2 B´C = 3 - √3 OA´ = 1 o P B A´ B´ 15º C 2 - √3 1 A 30º S▲CA´B´ = (3 - √3) (1) 2 S▲CA´B´ = 3 - √3 2 u2

26 Problema 6: En la figura, PM = 0.8. Hallar OS Resolución:
La línea PM representa el Seno θ, veamos: OMP : Sen θ = PM OP ; OP = 1 PM = 0,8 P S A o C.T. θ M 1 0,8 Sen θ = 0,8 1 4 5 La línea OS representa el Sec θ, veamos: Sec θ = OS OP ; OP = 1 θ 4 3 5 OPS Sen θ = OS 1 OS = Sec θ OS = 5 3

27 Problema 7: Calcular el área de la región sombreada Resolución: o C.T.
Tg  Analizando las líneas notables en la C.T.: Tg  = AT OA ; OA = 1 Veamos: Tg  = AT 1 AT = Tg   1 S▲A´OT = (A´O)(AT) 2 A´O = 1 AT = Tg  S▲A´OT = (1) (Tg ) 2 S▲A´OT = 1 2 Tg 

28 hallar entre qué limites varía la expresión:
Problema 8: Si θ Є - π 4 ; π hallar entre qué limites varía la expresión: A = 4 Tg2 θ - 1 Tenemos: π 4 < θ - < o 1 -1 B´ B A´ A π 4 -π Luego: -1 < Tg θ < 1 0 ≤ Tg2 θ <1 Al cuadrado: 0 ≤ 4Tg2 θ< 4 Mult. (x 4): -1 ≤ 4Tg2 θ < 3 Resta. (-1): -1 ≤ A < 3 A Є [-1;3

29 Problema 9: De la figura, hallar E= bc + df ae Analizando la Grafica:
Entonces tenemos: (a ; b) = (1 ; Tg ) b = Tg  a = 1 (1 ; Tg  ) B` B (0 ; Cosec ) (Cos ; Sen ) O 1  A A´ Sen  Cos  Cosec  Tg  C.T. (c ; d) (a ; b) (e ; f) d = Cosec  c = 0 (c ; d) = (0 ; Cosec ) f = Sen  e = Cos  (e ; f) = (Cos  ; Sen ) Reemplazando: (Tg )(0)+(Cosec )(Sen ) (1)(Cos ) E = E = = 0 + 1 Cos  1 E = Sec 

30 Problema 10: Hallar el área de la región sombreada.
Analizando al grafica: En el OCB: Sen  = OC OB ; OB = 1  C.T. C O A´ A B B´ P Sen  = OC 1 OC = Sen  En el OHC: Sen  = CH OC ; OC = Sen  Sen  = CH Sen  CH = Sen2  En el ▲ A´OC: S▲AÒC= (A´O) (CH) 2 S▲AÒC= (1) (Sen2 ) 2 S▲AÒC= Sen2  2 1