Programación Lineal Antonio H. Escobar Z. 2012 Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia Posgrado en Ingeniería – Maestría/Doctorado.

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1 Programación Lineal Antonio H. Escobar Z. 2012 Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia Posgrado en Ingeniería – Maestría/Doctorado

2 * Una fábrica produce mesas construidas con tubos metálicos y con superficie de vidrio. * La cantidad de mesas fabricadas semanalmente está limitada por la cantidad máxima disponible de tubos metálicos y de metros cuadrados de láminas de vidrio que puede adquirir en el mercado: 50 tubos/semana 75 m 2 vidrio/semana * Se asume que la fábrica vende todas las mesas producidas. Optimalidad en PL e interpretación económica de las variables duales: Ejemplo:

3 Con el propósito de maximizar las ganancias, la fábrica diversifica sus productos. Para esto se diseñan cuatro tipos de mesas y se evalúa la ganancia neta que cada una produce y sus requerimientos de tubos y vidrio. Ejemplo:

4 150 500 200 1 4 1 1 1 2 400 3 1 Lucro : hierro: (tubos) 50 75 vidrio : (m 2 ) cantidad disponible

5 Que modelos debe fabricar y en que cantidad para obtener el máximo lucro?

6 Ejemplo: 150 500 200 1 4 1 1 1 2 400 3 1 Lucro : hierro: 50 75 vidrio : cantidad máxima disponible variables de decisión: x2x2 x1x1 x3x3 x4x4

7 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 50 75 Modelamiento: : hierro : vidrio

8 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 Modelamiento: : hierro : vidrio + + x5x5 x6x6 Variables de holgura

9 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 Caso de estudio: la empresa fabrica únicamente mesas tipo 1 y evalúa la posibilidad de fabricar otro tipo de mesa. : hierro : vidrio + + x5x5 x6x6

10 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 : hierro : vidrio + + x5x5 x6x6 0 0 0 0 0 0 Solución básica: Lucro = 7500 ; x1x1 = 50 ;x6x6 = 25 ; La cantidad de mesas tipo 1 construidas son limitadas por el recurso que primero se agota: cantidad de tubos de hierro disponibles (recurso1). Con 50 tubos puedo hacer 50 mesas tipo 1 (se requiere 1 tubo por mesa). Del recurso 2 (m 2 de vidrio) se usan 50 m 2 y quedan 25 m 2 sobrantes. La restricción 1 se activa y la restricción 2 queda com holgura: x 6 = 25 m 2 0 Solución básica:

11 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 w1 = 150 w2 = 0 + + x5x5 x6x6 0 0 0 0 0 0 Variable dual w: beneficio adicional obtenido cuando se aumenta un recurso en una unidad Al incrementar el recurso 1 de 50 a 51 tubos puedo hacer 51 mesas tipo 1 obteniendo un lucro adicional de 150 (1 mesa más). Al incrementar el recurso 2 de 75 a 76 m 2 de vidrio no obtengo un lucro adicional porque este recurso tiene holgura. 51 76 0

12 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 w1 = 150 w2 = 0 + + x5x5 x6x6 0 0 0 0 Una mesa tipo 2 fabricada (que requiere 4 tubos de hierro) desplaza 4 mesas tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite. Respecto al recurso: m 2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura. En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 2 en lugar de una mesa tipo 1 es: 500 – 4(150) = -100. (no es conveniente). 0 Es conveniente fabricar mesas tipo 2 en lugar de mesas tipo 1 ?

13 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 w1 = 150 w2 = 0 + + x5x5 x6x6 0 0 0 0 Una mesa tipo 3 fabricada (que requiere 3 tubos de hierro) desplaza 3 mesas tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite. Respecto al recurso: m 2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura. En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 3 en lugar de una mesa tipo 1 es: 400 – 3(150) = - 50. (no es conveniente). 0 Es conveniente fabricar mesas tipo 3 en lugar de mesas tipo 1 ?

14 x1x1 x2x2 x4x4 150 + 500+ 200 x1x1 x2x2 x4x4 1+ 4+ 1 x1x1 x2x2 x4x4 1 + 2 max x3x3 + 400 x3x3 + 3 x3x3 + 1 = 50 = 75 w1 = 150 w2 = 0 + + x5x5 x6x6 0 0 0 0 Una mesa tipo 4 fabricada (que requiere 1 tubo de hierro) desplaza 1 mesa tipo 1 (que requiere 1 tubo de hierro cada una). Esto porque esta restricción está en su límite. Respecto al recurso: m 2 de vidrio, no hay afectación de mesas tipo 1 porque esta restricción tiene holgura. En consecuencia, el beneficio neto de fabricar una mesa tipo 4 en lugar de una mesa tipo 1 es: 200 – 1*(150) = + 50. (si es conveniente). 0 Es conveniente fabricar mesas tipo 4 en lugar de mesas tipo 1 ?

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