@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 6 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS U.D. 6 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 CRECIMIENTO Y FÓRMULA EN RACIONALES U.D. 6.2 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Si f´(x) > 0 la curva crece y si f´(x) < 0 la curva decrece. Resolviendo ambas inecuaciones, una u otra, cuando proceda, se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece. EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. OBTENCIÓN DE TRAMOS DE CRECIMIENTO

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 OBTENCIÓN DE TRAMOS DE CRECIMIENTO Sea la función: y = 2.x 3 + 3. x 2 – 12.x – 5 – 2 1 x f´(– 3) > 0  Crece f´(0) 0  Crece f´(– 2) = 0 f´(1) = 0 f´´(– 2) 0  Mínimo

5 Matemáticas 2º Bach. CCSS5 EJEMPLO 3 Sea la función: y = 2 / (x 2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x 2 – 4)– 2.2x] / (x 2 – 4) 2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x 2 – 4) 2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Ejemplos @ Angel Prieto Benito

6 Matemáticas 2º Bach. CCSS6 EJEMPLO 4 Sea la función: y = ln (x – x 2 ) Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. Hallamos el dominio de dicha función: x – x 2 >0 x.(1 – x) > 0 Producto positivo 1.-x > 0 y 1 – x > 0  0 < x < 1 Es una solución. 2.-x < 0 y 1 – x < 0  x < 0 y x > 1 No hay otra solución Dom f(x) = (0, 1) Hallamos su derivada: y ‘ = (1 – 2.x) / (x – x 2 ) y ‘ = 0  1 – 2.x = 0  x = ½ Los intervalos son: (0, 0,5) y (0,5, 1) y’ (0,25) = (1 – 0,5) / (0,25 – 0,25 2 ) = 0,5 / (0,25 – 0,0625) > 0 Creciente en (0, 0,5) y’ (0,75) = (1 – 0,75) / (0,75 – 0,75 2 ) = 0,25 / (0,75 – 0,8059) < 0 Decreciente en (0,5, 1) Ejemplos @ Angel Prieto Benito

7 Apuntes 2º Bachillerato C.S.7 Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- La recta x = 1 es una asíntota vertical. b).- La recta y = 1 es una asíntota horizontal. SOLUCIÓN Para que la recta x = 1 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1) Para que la recta y = 1 sea una asíntota horizontal debe tener la forma: f(x) = 1 + k/x Aunando ambas expresiones: f(x) = 1 + k / (x – 1) Operando: f(x) = (x – 1 + k) / (x – 1) La función más simple será: f(x) = x / (x – 1) FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS E1

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- La recta x = – 2 es una asíntota vertical. b).- No hay ninguna asíntota horizontal. SOLUCIÓN Para que la recta x = – 2 sea una asíntota vertical se tiene que anular el denominador. Tendrá la forma: f(x) = k /(x + 2) Para que no halla una asíntota horizontal el numerador no debe poder simplificarse con el denominador en el infinito. Tendrá la forma: f(x) = e x / (x + 2) Pues si hallamos el límite: A.H.: y = lím [e x / (x + 2)] = +oo x  oo FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS E2

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Escribe una función que verifique las siguientes condiciones: a).- Las rectas x = – 1 y x = 1 son asíntotas verticales. b).- La recta y = x es una asíntota oblicua. SOLUCIÓN Para que la recta x = – 1 y x = 1 sean asíntotas verticales se tiene que anular el denominador en dichos valores de x. Tendrá la forma: f(x) = k /(x – 1).(x + 1) Para que haya una asíntota oblicua el grado del numerador debe ser un grado mayor que el denominador, en este caso de grado tres. Tendrá la forma: f(x) = x 3 / (x 2 – 1) Pues si hallamos el límite: A.O.: m = lím [f(x)/x] = lím [x 3 / (x 3 – x)] = 1 x  oo x  oo FÓRMULA MEDIANTE LAS ASÍNTOTAS E3