Si un primer experimento se puede hacer de m formas diferentes y un segundo experimento de n formas diferentes, entonces los dos experimentos juntos se.

Presentación del tema: "Si un primer experimento se puede hacer de m formas diferentes y un segundo experimento de n formas diferentes, entonces los dos experimentos juntos se."— Transcripción de la presentación:

1 Si un primer experimento se puede hacer de m formas diferentes y un segundo experimento de n formas diferentes, entonces los dos experimentos juntos se pueden hacer de m. n formas diferentes. Modelos diferentes de camisetas según color, talla y calidad: 1. Diagrama en árbol: Principio general de recuento MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

2 Variaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos distintos. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones ordinarias se representa por V m,n. V m,n = m (m – 1) (m – 2) …(m – n + 2) (m – n + 1) ¿De cuántas formas pueden llegar 8 corredores a la meta? 2. Variaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

3 Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos repetidos o no. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación. El número de variaciones con repetición se representa por VR m,n. VR m,n = m n ¿Cuántos resultados distintos se Pueden obtener al lanzar dos dados? 3. Variaciones con repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

4 Permutaciones ordinarias de n elementos son los distintos grupos que se pueden formar de manera que: En cada grupo entren n elementos. Dos grupos son distintos si difieren en el orden de colocación de los elementos. El número de permutaciones ordinarias de n elementos se representa por P n. Si en un campeonato participan 5 equipos, ¿de cuántas formas pueden llegar a la meta? P n = n (n – 1) (n – 2) … 3. 2. 1 4. Permutaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

5 n! = n. (n–1). (n–2).......... 3. 2. 1 Observa V m,n = m. (m–1). (m–2). ….. (m – n + 1) = m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n) (m – n –1)....2.1 (m – n) (m – n –1)....2.1 = = m! (m – n)! Haciendo m = n, para conservar la validez de la fórmula debe ser 0! = 1 La notación n! permite escribir de manera compacta números grandes. El número 100! tiene 158 cifras. 100!= 93326215443944152681699238856266700 4907159682643816214685929638952175999932299156 0894146397615651828625369792082722375825118521 0916864000000000000000000000000 5. Factorial de un número natural MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

6 Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m), son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que: En cada grupo entren n elementos distintos. Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias se representa por C m,n ¿De cuántas formas se pueden elegir tres asignaturas optativas entre cinco? Biología Física Historia Latín Matemáticas x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C 5,3 = V 5,3 P3P3 = 10 6. Combinaciones sin repetición MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

7 Esto también se puede escribir de la siguiente forma: m (m –1) (m–2) … (m – n +1) (m – n )! m! (m – n)! = m! m! (m – n)! C m,n =  mnmn Esta última expresión recibe el nombre de número combinatorio m (m–1)... (m – n +1) n! En general: C m,n = V m,n PnPn = 7. Números combinatorios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

8  m0m0 = 1  mmmm = 1  mnmn =  m m – n  mnmn =  m n – 1 +  m + 1 n 8. Propiedades de los números combinatorios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández

9 1 ( ) 1010 1 ( ) 1111 1010 1 2 1 ( ) 2121 2222 2020 1 3 3 1 ( ) 3131 3232 3030 3333 1 4 6 4 1 ( ) 4141 4242 4040 4343 4444 1 5 10 10 5 1 ( ) 5151 5252 5050 5353 5454 5555 Triángulo de Pascal 1 6 15 20 15 6 1 ( ) 6161 6262 6060 6363 6464 6565 6666 m0m0 = ( ) nnnn =1 mmmm = ( ) m m–n ( ) mnmn + ( ) m n–1 ( ) m+1 n 9. Números combinatorios: Triángulo de Pascal o Tartaglia MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández =

10 (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 1 = a + b (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b 2 + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 +5ab 4 + b 5 1 3 3 1 1 1 2 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Fórmula del binomio de Newton Los números se llaman coeficientes binomiales. ( ) nini 10. Potencia de un binomio MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 19. TÉCNICAS DE RECUENTOJavier Fernández